◆ わからない問題はここに書いてね ◆ - 1078053072

123：名無し研究員さん：2004/03/21(日) 11:31: ↑
ゴメソ
四段目のマチガイ
124：名無し研究員さん：2004/03/21(日) 11:47: もしsumだったらこんな感じになると思うんだけどなあ・・・（無責任）
「（私が）5個の時計を設定して、（あなたは）いくつかの時計を進めて5個の時計が同じ時刻をさすようにし、
更に、それぞれの時計の進めた時間の区間を加算するものとする。
私はこの合計ををどの位の大きさにする(させる)ことができるだろうか？
たとえ、あなたがどうその時計を巧妙に操作するにしても。」
125：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/21(日) 13:56: ありがとうございます。
おっしゃるとおりsumの間違いです。
しかし1440でも2880でも違うんだよな～
0でもいいような・・・
ちなみに"不親切極まりない問題"らしいです。
126：こけこっこ：2004/03/22(月) 20:36: f(x)=f'(x) という微分方程式を解くとき，まずはじめに，両辺をf(x)で割りますよね。
そのとき，f(x)≠0 と f(x)=0 で場合分けすることになりますが，
この「f(x)≠0」という意味は，
「任意の実数xに対して，f(x)≠0 が成立する」・・・A
と言う意味なのでしょうか。それとも，
「f(x) は f(x)=0 という定数関数ではない」・・・B
という意味なんでしょうか。

ここで，f(x)≠0 という意味をBの方で解釈した場合について考えます。
このとき，ある実数tに対して，f(t)=0 が成立するときは，
x≠t という条件下においてのf(x)≠0 としなければならないんでしょうか。

勉強していてなんとなく疑問に感じたのでお願いしますです。。
127：こけこっこ：2004/03/22(月) 20:43: ちなみに，旧々課程の「微分・積分」の教科書を持っているんですが，
それによると，なぜか微分方程式の問題では「0で割ってはいけない」
という意識が微妙に薄れた記述がなされています。

(答案)
y=y'
y'/y=1
両辺をxで積分し，logy=x+C (C：積分定数)
・・以下続く
といった感じで，y=0かどうかには触れずに，いきなり両辺をyで割ってしまっています。
当時の高校生だった方々は，現実的にはどういう対応をしていたのでしょうか？
128：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/22(月) 21:00: 黙秘します
129：名無し研究員さん：2004/03/22(月) 21:23: yが高等的に0じゃないときは割ってよいと思う
130：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/22(月) 23:36: 　　　　　　　　　⊂⊃
　　　　　　　　　　∫ 　　・～
　～・　　＿＿＿__ 　　
　　　／￣　 //u　0￣＞
　 ∠|　　　　U　τ　　<　　　
⊂二|　　　　　u│.0＿＞
　　　￣∠／￣ζ＿;:
131：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/22(月) 23:37: >>130
セミナースレどうするんでしょうか？
132：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 00:16: >>131
９待ちかと思ってたんですが。
定理の証明俺も考え直してみます。
133：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 00:31: >>132
(4.2)',(4.3)',(4.4)が未解決という認識でよろしいですか？
134：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 00:37: あ、えっと(4.2)もです。
135：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 00:44: >>134
あ、(4.3)もですね。
136：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 00:55: (4.3)は本に載ってるので問題ないと思うんですが。
いやー、このあたり難しいです・・・
137：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 01:09: >>136
セミナースレの>>338-350の問答を９が納得した時点で解決。
と思ってたもので。。

このあたり、最初の小関門ですかね。
結果についてまとめたら
　　　逆像についてはある程度ラフに扱える
ってことが言えますね。各自で発見すべきことかもしれないけど。
138：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 02:01: >>137
こけ氏の質問どうなんでしょう？
実は俺も、そういうもんなんだ、とやりすごしてた所なんですが。
139：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 02:24: >>138
f(x)とf'(x)がxの値に関わらず等しいなら
A={x|f'(x)≠0}とおくとAにおいてf'(x)/f(x)=1です。
で、R-Aにおいてf(x)=f'(x)=0です。
R-A=φなら問題ないわけですよね。
A=φならこの微分方程式の解はf(x)は恒等的に0ですね。
R-A≠φでA≠φのときですが、このときは
R-Aでf(x)=f(0)*e^x、Aでf(x)=0ですがf(0)=0でない限りこのfは
連続性を失う。よってこの微分方程式の解は
R-A=φでf(x)=f(0)*e^xかA=φでf(x)≡0。
R-A≠φ∧A≠φとなることはありえない。

ってかんじかなあ。
140：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 02:37: >>139
＞R-Aでf(x)=f(0)*e^x、Aでf(x)=0ですが
R-AとAは逆ですよね？
納得です。
ちゃんと考えると結構難問ですね。
入試でここまで要求されることはないですよね？
141：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 02:47: >>140
あ、失礼。逆です。
＞入試でここまで要求されることはないですよね？
…ない…と思いたいですね。なんだか無駄に厳密にやってる感じだし。
ここを厳密に考えられる力と、変数分離形が解ける力と、どちらが大切か
のバランスを考えたらここまでさせてはいけない気がしますが。
…ちょっと採点基準会議ものかもしれないですね。
「ただし{x|f'(x)≠0}=Rとする」の一言がほしいところです。
142：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 02:48: 1つ疑問が・・・
＞Aでf(x)=f(0)*e^x、R-Aでf(x)=0ですが
微分方程式をAで解くっていうのは問題ないんでしょうか？
(Aが不連続(？)でも問題ないんでしょうか？)
143：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 02:55: >>142
ははあ。
Aが連結(まあ区間のことだと思ってください)ならオッケーですね。
Aが区間の和集合の形ときもオッケーと。
Aがディスクリートのとき(有限集合みたいに点がぽつぽつある集合のことだと思ってください)なら
連続性からf(x)≡0のケースになりますね。

ってのは納得いきませんか？
144：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 03:10: 納得です。
Aがディスクリートのときはあり得ないんですね。(A=Φになる)
145：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 03:17: 微分方程式っていう時点で微分可能なんだから連続性が結構使えるんですね
146：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 03:25: >>144-145
そうですね。
こういうのをもし大学入試で出題するなら、
微分方程式を解くことがメインではない問題で
出してほしいところですね。
　　　　　　　
　　　　　　　　　　微分可能ならば連続

ってのを決まり文句みたいに思ってる人が結構いるかもしれませんが
ちゃんと使えるケースもあるということで。
147：438：2004/03/23(火) 15:33: ちょっとお邪魔させてください。。
実は、本スレ>>445の問題で、9さんの指摘を解決するために>>479の続きとして僕が考えていた
ものは、まさに上で議論されていたことなんですよ。
もしこのことを利用すれば僕の答案の不備は埋まるのでしょうか。
横槍で申し訳ないのですが、どうしても気になったので・・・・

昔の教科書か・・・漏れも見てみたいな・・
148：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 16:45: >>147
では、上の議論を考慮に入れた精密な答案を作成してみてください。
前みたいに(続き)などと書かずに、1からお願いします。
149：438：2004/03/23(火) 17:19: >>148
了解です。自分でもそうしたかったのですが、本スレでは完全な答案を載せるタイミングを
見逃してしまったのでｗ、この機会にまとめたいと思います。

載せる場所はここでよいのでしょうか？とりあえず答案を作成しにいってきます
150：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 17:27: >>149
ここでどおぞ。問題文も添えて。
151：438@爆死：2004/03/23(火) 18:35: 自分の議論に致命的な欠陥を発見してしまった・・・

問題は「すべてのxで|f'(ｘ)|≦|ｆ(x)|, f(0)=0を満たしているような微分可能な関数f(x)を求めよ. 」。

僕の基本方針はf'(ｘ)/ｆ(x)=g(x)とおいて両辺積分・・・・というものでしたが、
f'(ｘ)が連続かわからない→g(x)が連続かわからない→g(x)は積分可能かわからない
と言う事態が発覚。
漏れの解き方ではﾀﾞﾒﾎﾟだったようです・・・鬱　＿|￣|○
152：こけこっこ：2004/03/23(火) 20:43: >>Ενταξει先生，LAR-men先生ありがとうございました。
10％ほど理解できた悪寒。
入試ではそれほどの厳密性は要らないぽいですね。。
(教科書がそうなっているように)
そこらへんは常識的に対処していこうと思いました。
153：438：2004/03/24(水) 15:21: 僕の方法でもf'(x)の連続を仮定すればいけるとは思いますが、
やっぱり>>151の問の解法は本スレに書かれていたものが一番エレガントですね。
この問題で実数や関数の連続性といったものに対する認識の甘さに気づかされました。
先生にはいろいろお手数かけてしまいすみませんでした。 m(__)m
154：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/24(水) 15:48: >>153
c.f.>>108-116
155：臺地：2004/03/31(水) 09:17: 何でも、ｆ（ｘ）=Σ[n=0,∞]a^n*cos(b^n*π*x) （0<a<1、bは奇数、ab>1+1.5π）
という関数は各点で微分不可能な連続関数らしい。証明は・・・（畧、か・・・・
156：名無し研究員さん：2004/03/31(水) 10:38: >>155
詳細ｷﾎﾞｿﾇ
157：臺地：2004/03/31(水) 12:50: >>156
本にこの関数が紹介されてたけど、
「・・・この関数は連続であるが、どこの点xを取ってもlim[h→0]f(x+h)-f(x)/h=±∞となって、
微分不可能であることが示される。（この証明は容易でない。証明を知りたい人は～」
と書いてあって証明そのものは他の本に丸投げされてたっつｰことっす。。
158：９ （SpxcWT76）：2004/04/13(火) 20:58: …ふと思い出した。
任意の x∈Q で微分不可能、任意の x∈R－Q で微分可能な関数があった気がする。
ディラック函数だっけ？？？
159：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/14(水) 01:02: >>158
うひ、そんなのも
どの辺の分野で出てきますか？
160：名無し：2004/04/14(水) 09:05: 超関数ですね
161：９ （SpxcWT76）：2004/04/14(水) 21:25: 超関数。。。だったっけ？
162：クウラ：2004/04/15(木) 23:08: 超関数って値が０のところではいたるところ微分可能だったっけ？

とかとぼけてみるテスト
163：９ （SpxcWT76）：2004/04/19(月) 07:50: 前に本スレで出てきましたが、
　　f(x)＝1　(when x∈Q)
　　　　＝0　(when x∈R－Q)
とすると、（要はこれってQの定義関数ですよね）
f は任意の x∈R－Q で微分可能、
任意の x∈Q で微分不可能になりませんか？？？

学校逝っちきます。
164：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/19(月) 11:21: >>163
なりません。

問題にしましょうか？

問題　χ_Q∈R^Rはいかなるx∈Rでも微分可能でないことを示せ.
165：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/19(月) 22:22: >>164
高校範囲で解けますか？
166：９ （SpxcWT76）：2004/04/19(月) 22:30: >>164
ならないんですか。。。じゃあたぶん俺の勘違いですね。
問題、考えてみまつ。
167：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/19(月) 23:24: >>165
極限をどれほど正確に理解してるかによりますが。

ε-δは要りませんが。
168：９ （SpxcWT76）：2004/04/21(水) 00:49: うーん。ε-δも必要ないんですか。。。
169：名無し研究員さん：2004/04/21(水) 00:55: >>168
ええ、
lim[x→a]f(x)=b
の高校生的な定義で十分かと。
170：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/21(水) 00:55: ↑また名前忘れ。
171：n （oBOk1n/o）：2004/04/22(木) 00:10: 今回も簡単でした
172：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/22(木) 00:48: >>164
なんかそもそも連続でない気がするんですが・・・

ある区間でf(x)が連続であるとすると、実数の連続性よりある有理数a,無理数bがあって
f(x)は[a,b]で連続とできる。すると中間値の定理よりf(a)=1とf(b)=0の間の
任意の実数cに対して、f(x)=cとなるxが存在することになるが、これはf(x)の定義に矛盾。
よってf(x)は∀x∈Rで不連続、よって微分不能。
173：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/22(木) 02:09: >>172
＞ある区間でf(x)が連続であるとすると、実数の連続性よりある有理数a,無理数bがあって
＞f(x)は[a,b]で連続とできる。

この部分を詳しく書いてください。
174：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/22(木) 18:02: 検索したところ、
①実数の任意の開区間は必ず有理数を含む。
②実数の任意の開区間は必ず無理数を含む。
と言う定理がありました。

f(x)が(p,q)で連続とすると、①を用いてp<a<qなる有理数aが存在し、
②を用いてa<b<qなる無理数bが存在することがわかります。
[a,b]⊂(p,q)よりf(x)は[a,b]で連続・・・

↑の証明は大学の範囲なので、
よくわかってないのに使うな!といわれればおしまいなんですけど、高校範囲なら
直感的に書いても大丈夫じゃないかなと思ってやってしまいました・・・
175：９ （SpxcWT76）：2004/04/23(金) 06:44: そうか！！fは連続関数ではないのか！！！
こんな感じじゃダメですか？？？

Qの定義関数
　　f(x)＝1　(when x∈Q)
　　　　＝0　(when x∈R－Q)
について、任意のx∈Rでfは不連続である。

［証］　x_0∈R を任意の定数としたとき、
x_0に収束する有理数列、x_0に収束する無理数列（こんな言い方しますか？）が
共に存在するので、それらの数列によってxをx_0に限りなく近づければ、それぞれ
　　lim[x→x_1, x∈Q]f(x)＝1, lim[x→x_1, x∈R－Q]f(x)＝0.
となる。その極限値が異なるので、fは不連続。
176：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/04/28(水) 17:03: >>175
それでオッケーです。
下から二行目のx_1はx_0ね。

できたらx_0が有理数の時と無理数の時に分けて
x_0に近づく有理数列と無理数列を実際に構成する方が
親切な説明かもしれませんね。
177：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/01(土) 00:27: >>175
そおか、それなら項広範囲っすね・・・流石
結局不連続ってことでＦＡ？
178：９ （SpxcWT76）：2004/05/01(土) 00:36: >>176
x_0∈Q の場合、
a_n:＝(x_0)[(10^n)√2]/{(10^n)√2}　([・]はGauss記号)　とすれば
これはx_0に収束する無理数列。

x_0∈R－Q の場合、
a_n:＝[(x_0)(10^n)]/(10^n)　([・]はGauss記号)　とすれば
これはx_0に収束する有理数列。

こんな感じでおｋでしょうか？？

>>177
任意のx∈Rで不連続ってことになるね。
179：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/01(土) 00:44: なる！！
その型の数列、ver11.0の最初でも見ましたね・・（て言うかもっと前に出てきたんでしたっけ）
ところでそのスレの>>39って未解決じゃないですか？ふと気になってみた
180：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/03(月) 05:30: >>179
ver12.0あたりで解決したような、してないような…
181：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/03(月) 08:47: なるほどそうなのでつか
つかぬことを申しましたm(_ _)m
182：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/04(火) 01:37: >>181
問題そのものに対するちゃんとした回答は得られてないので
再掲しておきましょう。
臺地くんたちの挑戦を期待して。。。

問題
αを正の実数とする。
αが有理数であるための必要十分条件は
「どんな自然数の組(p, q)に対してもp, qに無関係な自然数nで
{α｝∩( (q/p) , ((q (1/n))/p) )=Φ
となるものが存在する。」
であることを証明せよ。
183：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/11(火) 16:38: 返事遅れて申し訳ありません。いえ決して問題をスルーしようとしていたのではなく、
問題を「≠Φ」のままで解釈していたため「また題意が把握できない・・・orz」と言う状況
に陥ってました・・。・・・やっぱり言い訳にしか聞こえないですね（謝
今から気を取り直して取り組みたいと思います。。
184：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/13(木) 01:15: だめだﾜｶﾝﾈｰ○|￣|＿

考えたこと：
α∈Q⇔∀(p,q)∈N^2;∃n∈N〔{α｝∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕を示す
必要性はnを十分大きく取れば示せる。
十分性は、対偶：￢(α∈Q)⇒∃(p,q)∈N^2;∀n∈N〔{α｝∩(q/p , (q＋(1/n))/p)≠Φ〕
を示せばよい。しかし大きなnに対してやはり=Φとなる・・・・・破綻

どの部分の解釈がまずいのでしょうか
185：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/13(木) 02:05: >>184
>>182の日本語と>>184の論理式は同じじゃないですね。
186：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/13(木) 17:17: >>185
やはりそうでつか・・・問題文の意味を把握できていないようです。
特に「p, qに無関係な自然数n」ってのが頭に引っかかって・・・・
これって「ある自然数ｎが定まり、全てのp,qで～」ってことでしょうか？
すると命題は
α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕
かなぁと思ったのですが・・・・
187：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/13(木) 18:10: >>186
その通りでございます。
188：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/16(日) 20:38: では突撃。

α>0のもとで
α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕を示す。

（必要性）
q/p>=αのとき明らかに{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φだからq/p<αの時を考える。
αは有理数だからα=b/aとおけて、q/p<b/a,bp-aq>0。ここで
q＋(1/n))/p<=b/a⇔n>=a/(bp-aq)・・・①(>0)で、bp-aqは自然数だから十分大きなnをとれば
任意のp,qに対して①が成立。
このときq/p<q＋(1/n))/p<=α、つまり{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ。
以上より{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ。

（十分性）
対偶：￢(α∈Q)⇒∀n∈N;∃(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p)≠Φ〕
　　　　　　　　　　⇔∀n∈N;∃(p,q)∈N^2{q/p<α<(q＋(1/n))/p}・・・②を示す。
ここで、αとしては0<α<1をみたす無理数を考えればよい。

┃∵0<α<1なるαに対して②が成立しているとする。
┃この場合各nに対してq/p<α<(q＋(1/n))/pを成立させている(p,q)=(p_0(n),q_0(n))とおくと、
┃各nに対してp=p_0(n),q=q_0(n)＋p_0(n)*[α]と定めることにより、
┃全ての正の無理数αで②が成立することが分かる。

(�)n=1のとき
任意の自然数kに対してI_k=(1/(k＋1),1/k)とすると、0<α<1なる無理数αはすべて
∪[k=1,∞]I_kにふくまれる。∴∃k;I_k∋α⇔∃k;(1/(k＋1)<α<1/k<=2/(k＋1))。
よってp=k 1,q=1と定めていくと②が成立。

(�)n>=2のとき
J_m=(k/m,(k＋1)/m)とする。（mは任意の自然数で、kは1<=k<=m-1を満たす自然数）
α>0だから∃m;J_m∋α。ここでα∈J_m⇒∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}を示すが、
それにはk=1の時のみ示せばよい。
(∵q pkを改めてqと置きなおせばk>=2の場合もOK)
そこで1/m<α<2/m⇒∀n∈N;∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}を示す。

(p,q)=(m,1),(mn,n＋1),・・・・,(mn^r,��[i=0,r]n^i)・・・・(無限に続く)・・・・・として得られる
開区間(q/p,(q＋(1/n))/p)の全ての和集合を取ると、これに含まれているαの満たす条件は
α∈(1/m,1/m＋1/mn)∪(1/m＋1/mn,1/m＋1/mn＋1/mn^2)∪・・・・・
・・・∪(��[i=0,r]1/mn^i,��[i=0,r＋1]1/mn^i)∪・・・・・
⇔α∈(1/m,1/m＋1/mn＋1/mn^2)・・・・・・(∵αは無理数)これを繰り返して
⇔α∈(1/m,��[r=0,∞]1/mn^r)=(1/m,1/m＋1/m(n-1))

(1/m,1/m＋1/m(n-1))及び、
(p,q)=(m(n-1),n),・・・・,(m(n-1)^r,��[i=0,r](n-1)^i)・・・・(無限に続く)・・・・・として得られる
開区間(q/p,(q＋(1/n))/p)の全ての和集合を取ると、これに含まれているαの満たす条件は
上と同様に計算してα∈(1/m,��[r=0,∞]1/m(n-1)^r)=(1/m,1/m＋1/m(n-2))。

以下同様にしていくと、α∈(1/m,1/m＋1/m(n-3)、α∈(1/m,1/m＋1/m(n-4)・・・・・・
・・・・・α∈(1/m,1/m＋1/m(n-n 1)=(1/m,2/m)がわかる。
∴1/m<α<2/m⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}
∴α∈J_m⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}
mは任意であり、J_m∋αなるJ_mが必ず存在するので、
結局α∈(0,1)⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}

以上(�)(�)より②が示された。

∴α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕□
189：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/16(日) 20:42: やたら長いのは作文能力ないからでつ・・・・ora

あと文字化けしてますね・・
(�)は(i)、(�)は(ii)のつもりでした
190：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/05/17(月) 00:32: 　　　　　　　　　　　　　　人
　　　　　　　　　　　　　（＿_）
　　　　　　　　　　　　（＿＿）
　　　　　　　ｳﾝｺｰ　　(・∀・,,）
　　　　　　　　　　　　O┬O　)
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191：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/17(月) 00:48: ヽ( ・∀・)ﾉｳﾝｺｰ
192：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/18(火) 18:31: >>188
長らくお待たせ。

(必要性):十分大きなnとは実際には何ですか？
その値の算出が困難でないのなら構成しといたほうがよいかと。

(十分性):言いたいことは伝わったのですが
n≧2のときはどうにかして書く順序を逆にしたほうがいいでしょうね。
つまりα∈(1/m,2/m)⇒∃q/p;α∈(q/p,(q (1/n))/p)がよく見えるような
順序で。
193：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/18(火) 20:57: 拙い答案見ていただき感激です・・・

必要性：a＋1以上の自然数ですね。わざわざ限定する必要もないかなと思って省略してました

十分性：頭の中で考えたことをそのまま答案に表したらこうなっちゃいました。。。
これでも結構ふんばったんですが、自然な流れで
α∈(1/m,2/m)⇒∃q/p;α∈(q/p,(q＋(1/n))/p)
を示すにはどう書いたらよいか混乱してしまって・・・・再挑戦の余地有りですね。。

ともかく時間割いて頂きありがとうございました！！
194：こけこっこ：2004/06/20(日) 19:39: [ｔ大スレの過去問]
a,b,cは相異なる数、x、y、zは連立方程式
x+ay+a^2*z=a^3,x+by+b^2*z=b^3,x+cy+c^2*z=c^3
の根とするとき、a^3+b^3+c^3をx、y、zで表せ。

この問題、ほとんどの人は↓のように解くと思います。

＞a，b，cはtに関する3次方程式 t^3-zt^2-yt-x=0 の3解であるから，
＞解と係数の関係より，a+b+c=z，ab+bc+ca=-y，abc=x．
＞∴ a^3+b^3+c^3=(a+b+c){(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}+3abc=3x+3yz+z^3・・・答

でも，t^3-zt^2-yt-x=0 という3次方程式は実数係数の方程式とは限りません。
複素数係数の方程式に解と係数の関係を用いて，大減点(記述式の場合)される
可能性ってありますか？
この問題の場合、特に「a,b,cは相異なる数」っていう条件が書いてあるので
出題者の意図は「0で割らないことに注意して真面目に連立方程式解けや(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!」
という風に感じたのです。

「複素数係数の方程式にも解と係数の関係は使える」
「複素数係数の2次方程式にも解の公式は使える」
この２つが数学的に正しいことは既成事実として知っていますが、
これを果たして記述式で堂々と既知のこととして振舞ってもいいのかだろうか？
という疑問です。特に上記の問題のような場合、どういうふうに採点されるんでしょうか？
195：名無し研究員さん：2004/06/21(月) 01:47: >>194
複素係数でも成り立つんだから使ってOKに決まってるやん。
196：こけこっこ：2004/06/21(月) 04:38: >>195
おはやうございます。

使っても大丈夫ですたか（´Д｀;）。。意味ないことを心配し杉ですたね。
197：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/21(月) 08:50: 恒等式
a(x-α)(x-β)=ax^2+bx+c(a≠0)が成立する条件は
x,a,b,cが実数でも複素数でも同じってことでおｋでは？

n次方程式が必ず重複をこめてn個の解を持つことは・・流石に認めてもらえるでしょうし
ていか前俺が出した問題じゃん(＾-＾;)
198：名無し研究員さん：2004/06/21(月) 12:59: >>194
なぜ「a,b,cは相相違なる数」との条件が課されているのかよく考えてみよ。
199：名無し研究員さん：2004/06/21(月) 21:55: ３次方程式の解と係数の関係は、
(x-α)(x-β)(x-γ)=0
⇔x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0
から導かれるけど、ここでα,β,γには実数とか複素数とかの制限を課してないから、
もちろん実数でも複素数でも成り立つ。

”複素数係数で断らないといけないのならば、実数係数でも断らないといけない”のではないだろうか。
でも、”実数係数で断らなくていい”は（おそらく）真なので、対偶を取って、
”実数係数で断らなくてもいい　ならば　複素数係数でも断らなくてもよい”
ということになると思う。
200：こけこっこ：2004/06/21(月) 22:51: >>197-198
ありがとうございます。。
Σ(ﾟДﾟ)！！438氏は台地氏？

>>199
なるほど。。。対偶のところが素晴らしい（´Д｀;）。。
よくわかりました。ありがとうございます
201：Renaissance(☆6) （DTxrDxh6）：2004/06/21(月) 22:58: 臺地くんは438というHNで今年の三月七日、
ver[5e]で９マンスレデビューしました。
202：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/22(火) 15:22: >>200
ver[5e],[10√2]はあまりレスを読んでないですね？（￣ー￣）ﾆﾔﾘｯ

>>201
なんかそんな風に言われると恥かしくなってきまつね(^-^;)
203：こけこっこ：2004/06/26(土) 15:04: 本スレ155の[1]が解けません＿|￣|○
途中まで考えたのでカキコしておきます

[問題]f(x)(x≠０)は実関数で、次の条件を満たしている。
(イ)f(xy)=f(x)f(y)
(ロ)f(x)≠０
(ハ)f(x)は連続関数である
(ニ)f(x)は奇関数である
f(x)を求めよ。
204：こけこっこ：2004/06/26(土) 15:04: ｆ（ｘ）は奇関数であるから、以下ではf(x)の定義域をｘ＞0として考える。
（イ）でｙ＝ｘとすると、f(x^2)={f(x)}^2＞０．（∵（ロ)より、ｆ（ｘ）≠０）
よって、任意の正の実数ｔに対して、ｆ（ｔ）＞０であるから、ｆ（ｘ）＞０．
このとき、ｇ（ｘ）＝log{ｆ（ｘ）} (x＞0) とおけて、
任意の正の実数ｐ、ｑに対して、g(ｐｑ)=g(ｐ）+g(ｑ)となる。(∵（イ））
ここで、ｐ＝e^s、ｑ＝e^t (s、ｔは任意の実数）として、
ｇ（e^s)=h(s) とおけば、ｈ（ｓ＋ｔ）＝ｈ（ｓ）＋ｈ（ｔ）・・・☆

任意の実数ｓ、ｔで☆が成立し、ｈ（ｓ）は連続な実数値関数だから、
☆の式から、ｈ（ｓ）={ｈ（１）}ｘ＝〔log{f(e）}〕＊ｓ　と定まると思う。
この場合ｈ（ｓ）が微分可能なら証明はできるけど、ｈ（ｓ）が微分可能であるか
どうかは分からないので確証は持てません（´Д｀;）

で、ここの証明がクリアできれば、
ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）＝ｘ^〔{log{f(e)}〕になる。
log{f(e)}=ｋとおけば、ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｋ（ｘ＞０）、ｆ（ｘ）＝－ｘ＾ｋ（ｘ＜０）
かなと思った。
205：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/26(土) 18:14: 漏れはこう考えました。ノートないので雑です・・・

ｆ(ｘ)は奇関数だからとりあえずｘが正のときを考える。ｘ>0のとき、f(x)=｛f(√x)｝^2＞0。
ｆ(1)=1。m,nを整数としてf(x^(n/m))=f(x)^(n/m)。

ある1以外の正の実数αに対し、f(α)=α^rとなる実数rが存在する。有理数qをとる。
x=α＾qに対し、f(x)=α＾(rq)=x＾r。任意の実数pに収束する有利数列q_kが存在し、
この点列に沿って極限を取るとlim[k→∞]f(x＾q_k)=lim[k→∞](x^q_ｋ)^r=(x^p)^r。
一方f(x)の連続性より、k→∞つまりx^q_k→x＾pのとき
lim[k→∞]f(x＾q_k)=lim[x^q_k→x＾p]f(x＾q_k)=f(lim[x^q_k→x＾p]x＾q_k)=f(x＾p)。
∴f(x＾p)=(x^p)^r。p=log{x}yとして、f(y)=y^r。

f(y)=y^r(y>0),f(y)=-y^r
206：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/26(土) 18:15: おっと

f(y)=y^r(y>0),f(y)=-|y^r|(y<0)　か
207：名無し研究員さん：2004/06/27(日) 06:03: >>204
h(x)の連続性で証明できます。牛涎日暮の問題07（3）。
208：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/27(日) 07:36: おお、確かに。。
>>204
(･∀･)ｶｺｲｲ!方法ですね。。f(x+y)=f(x)+f(y)まで直せるとは思わなかったorz
209：名無し研究員さん：2004/06/27(日) 15:22: >>207
9manスレでも昔出てきてます。
準同型で連続な関数がy=axに限られることの証明。
210：n厨：2004/06/27(日) 17:08: 【1】は
ｆ(x)=
|x|^k,x>0
-|x|^k,x<0
となります
211：こけこっこ：2004/06/27(日) 21:36: >>207
とても勉強になりました。
でも難しいＹＯ～。定石としてとりあえず暗記したので，
あとで少しずつ考えてみます。

>>210
あ・・絶対値が付きますね（´Д｀;）。。
問題ありがとうございました。
212：名無し研究員さん：2004/07/27(火) 06:43: age
213：我疑う故に存在する我：2004/10/16(土) 09:44: .　　　　　　　 ,ｲ' /／ .::::／:::::::! .／ /　 /　　 ,ｲ! 　 l:|Lﾘﾚ／ィﾘ　ｌ　iﾄ　　 j!
　　　　　　　/ i /　.::::::./:::::::::;: ﾚ〃/　〃　.:/ ,ｲ|　ｌｌ j!　　マl!l　 |　ハ　/
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. ヽニ -ｧ /　..:::,' i::::::::/　..::::;ｒ' ./ |l　　　　　　　　';::::::l ハヽ、
　　　　,'　i　..:::/::::!::::;ｒ ..::::／::::/　 !l　　　　　　　　 V/　　|! ｀`ー'　　馬鹿レイナ
　　　　{i ,' .:::〃:::::ﾚ'　.:／:::::::: !　　|l　　＼　　　　　ヽ､　ﾘ
　　　　ゝ| .:::i :::::;ｒ　.／.::::::::::/l　　 |_!　　　 ',.　　　　 ', ヾ､
　　　　ヽ ::ｌ:: ::/ ／ ..::::::::::/:::|　　 !　ヽ､　　'､　　　　 ',　ヽ
　　　　　',　|!:/ /　 .: .:::::::/::::::l　 /　　　 ` ーヽ　　　　ヽリ
　　　　　ヽV 〃　.:　:::::/::::::::::レ　_,. -─ ''　'' ヽ　　　　 V
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214：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/26(火) 00:02:07: >>126-127
今こそその質問を解決してみる
y=y'の場合で考えます。まず、その教科書のように大らかに両辺yで割って
積分して出た解y=Ce^x(Cは0以外の実数)をu_0とします。∀x∈R；u_0≠0です。
で、他の形の解があるかもしれないと仮定して、その解をuとおいてみます。
u_0=u_0'・・・①、u=u'・・・②。
ここでd/dx*(u/u_0)を計算してみると、なんと0になることがわかります！
実際、
(u/u_0)'=(u'u_0-uu_0')/u_0^2　←これに①、②を代入して
=(u*u_0-u*u_0)/u_0^2=0です。

すると、u/u_0=A(Aはxに無関係の定数)⇔u=A*u_0と書けることがわかります。
つまり、y=y'の解の中で、「y=Ce^x(Cは0以外の実数)」と書けないものは、
∀x∈R；y=0(yが恒等的に0)の場合だけなのです。

結局、y=y'⇔y=Ce^x(Cは任意の実数)というわけです。
あとは一点での値(初期値)を指定すれば完全に関数が確定します。
215：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/26(火) 00:09:10: y=y'とかは「初期値問題」の特別な場合らしいです。初期値問題では、
①解は積分を使って具体的に書ける
②初期値問題の解は存在して一意に決まる
そうです。この辺りはよくわかりません。

なんで急にこんなこと書いたかというと(一年以上も前の話なのに・・・)、
授業で出てきたからです。決して俺が自分で思いついたからではないです。。
こけ氏が帰ってきてたのでノリでやりました。すみません。
216：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:49:28: 1 名前：ももんがZ 投稿日： 2005/05/06(金) 16:27:04

有限集合の部分集合は、有限集合であることを数学的帰納法で証明できますか？
デキル人にはできるんでしょうね・・。誰かへるぷみー。。たすけてください
217：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:49:54: 2 名前： Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）投稿日： 2005/05/06(金) 23:53:45

>>1
#A=0とするとA=Φ.Φの部分集合はΦのみ.#Φ=0なので,#A=0のとき,Aの部分集合はみな有限集合.
#A=nであるAの部分集合が皆有限集合であるとし,#B=n+1とすると,B≠ΦなのでBには少なくともひとつの元
が存在する.その元をbとする.
帰納法の仮定より2^(B-{b})のすべての元は有限である.
(2^B)-(2^(B-{b}))={C|C∈2^B,b∈B}であるがこの集合の元Cに対してC-{b}は2^(B-{b})の元であるので
これは有限集合.よってCはC-{b}と{b}に直和分割されるので#C=#(C-{b})+1<アレフ_0.即ちCも有限.

ですかね。

えと、当研究所では単発質問のためのスレッド
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078053072/
をちゃんと用意していますので、次からはそこへどーぞ。

というわけで、このスレッド、消していい？返事ください。
返事があってもなくても、
この>1と>>2だけを上のスレに写して削除しますけど。
219：Phiz：2006/05/18(木) 19:10:41: はじめまして。「問題」ではありませんが、本を読んでいてわからない
部分があったので、質問させて下さい。場違いであれば、そう言って
下さって結構です。

岩波基礎数学選書の「群論」（近藤武）３２ページ(1.17)についてです。

版によって、多少ページ番号が違うかもしれませんが、例1.14の
「４元数型の群」に続く部分です。因みに、今手元にあるのは2002年発行
のものです。

(1.17)の３つ目の式：b^(-1)ab＝a^r　
がなぜ満たされるのか分からなくて困っています。r^2≡1 (mod m)
の条件が必要になる気がするのですが、どうなのでしょうか？
同じ理由により、(1.17)の６行下にある(鄯)式も分からずにいます。

もう数週間考えたのですが、流石に時間をとられすぎなので、どなたか
この本を読んだ方がいれば、教えてくださいm(_ _)m
220：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/05/18(木) 23:20:15: >>219
よおこそ。
場違いでは全然ありませんが、
できれば本を持ってない人にも分かるように書いてもらえないでしょうか。
それでもお答えできないかもしれませんが。
221：Phiz：2006/05/19(金) 14:34:13: わかりました。多少、ごちゃごちゃしそうですが…。

次のような群 Z(m,n,r,k) を構成することを考えます。

構成法：Z(+) ＝{n∈Ｚ|n≧0}（Ｚは整数全体の集合）, rを任意の整数
として、Ｚ×Z(+)の上に、
(i, j)(i', j')＝(i＋i'r^j, j＋j') ((i, j), (i', j')∈Ｚ×Z(+))
によって演算を定義すると、Ｚ×Z(+)は単位元(0,0)を持った半群となる。
（わかりにくいかもしれないので、注意しておくと、i'r^jは、i'×ｒ^j
です…そのままですが…。）

さらに、m, n, k を整数で次の条件が満たされているものとする：
m＞0, n＞0, rk≡k (mod m), r^n≡1 (mod m).
（kは正でなくても構いません）

このときＺ×Z(+)の上の関係：
(i,j)～(i', j') ⇔ j－j'≡0 (mod n), k(j－j')/n ＋i－i'≡0 (mod m).
（２つのmod が違うことに注意）は、補題1.2の条件を満たす半群Ｚ×Z(+)
の上の同値関係である。

｜＜補題1.2＞Ｓは単位元１を持った半群で、Ｓの上に次の条件を満たす
｜同値関係～が与えられているとする：
｜(鄯) x～x', y～y' ⇒ xy～x'y'
｜(鄱) Ｓ∋∀x, Ｓ∋∃x', xx'～1
｜このとき、この同値関係による商集合[S]＝Ｓ/～は演算を自然に定義
｜して群となる。
｜
｜[一応、証明]　Ｓ∋x に対して、xを含む同値類を[x]で表す。このとき、
｜[S]∋[x],[y] に対して
｜(*)　　[x][y]＝[xy]
｜によって[S]の上に演算を定義することができる。それには、この演算の
｜定義が同値類の代表元のとり方によらないこと、すなわち
｜ [x]＝[x'], [y]＝[y'] ⇒ [xy]＝[x'y']
｜を確かめねばならないが、上の条件(鄯)はこれが成り立つことにほかなら
｜ない。Ｓは半群であるから、[S]のこの演算も結合法則を満たす。また[1]
｜は[S]の単位元であり、条件(鄱)は[S]の各元が逆元を持つことを示す。
｜したがって、[S]は演算(*)に関して群になる。　□

したがって補題1.2により、半群Ｚ×Z(+)の上の、この同値関係による
商集合は群となる。これを Z(m,n,r,k) と書くことにする。
（ようやく構成が終わりました…）

ここで、a＝[1,0]（＝(1,0)を含む同値類）, b＝[0,1]とおくと、
a,b は関係：
(1.17) b^n＝a^k , a^m＝1 , b^(-1)ab＝a^r .
を満たすことが直接の計算で確かめられる。

…と書いてあったのですが、(1.17)の３つ目の式が満たされることが
示せません。ab＝ba^r を示そうとやってみたのですが…。

また、さらに↓

『関係(1.17)をみたすような任意のa' , b'を考える。すなわち、a', b'は
(b')^n＝(a')^k , (a')^m＝1 , (b')^(-1)(a')(b')＝(a')^r
を満たす。今、a' , b'から生成される群G'＝<a' , b'>と、
写像ｆ：Ｚ×Z(+) → G'　　（ f((i,j))＝(a')^i(b')^j ）を考えると、
fは、半群Ｚ×Z(+) から G'の上への準同型：
(☆)　f((i,j)(i', j'))＝f((i,j))f((i', j'))
である。』

(☆)の成立が示せずに困っています。

以上、必要と思われることは全て書いたつもりですが、何か不明な点など
あるようでしたら、その旨お伝え下さい。

この疑問点が気になって、全く先に進めない状況なので、ご協力お願い
しますm(_ _)m
222：あしぺた：2006/05/19(金) 20:35:12: 紙を使わず暗算しただけですが

たしかにr^2≡1 (mod m)が示される必要がありますね

b^(-1)ab = (1/r,0)
a^r = (r,0)

ですよね。これらが同値であるにはr^2≡1 (mod m) であることが必要。

う～ん、ちょっと考えましたがr^2≡1 (mod m)を示すことが出来るかは分かりませんでした。

まあ数学書は間違いがあって当たり前ということにそろそろお気づきでしょうけど、
やはり気になりますよねえ。。