◆ わからない問題はここに書いてね ◆ - 1078053072

223：Phiz：2006/05/19(金) 22:07:24: >>222
＞b^(-1)ab = (1/r,0)
え～と…分数の1/r が出てくるのはまずい気がしますが、自分では
ab＝[1, 1] , ba^r＝[r^2, 1]
となったところで、[1, 1]＝[r^2, 1]が言えずに困っていたので、
本質的な部分は同じです。レスありがとうございます。

＞数学書は間違いがあって当たり前
そうですね…。間違いであることも疑ってみたのですが…。
本文中には、Z(m,n,r,k)に関連した問や例も出てくるのですが、
それらも全てr^2≡1 (mod m) に関しては書いていないので、
う～ん…と思っているところでした。

間違っているとしても、どこを間違いとして処理すればいいのだろう
という悩みもあり…他の本も見てみたのですが、Z(m,n,r,k)に相当する
群は書いていなかったので、単にr^2≡1 (mod m)を条件に入れれば
いいだけなのか、別の部分が間違っているのかすら分かりません。
う～む…。

あ、質問して終わりというのも悪いので、一応、自己紹介（？）を
しておきます。あまり詳しく書くと、すぐに身元が割れそうなのですが、
所属は東大の物理学科です。よろしくお願いします。
224：あしぺた：2006/05/19(金) 23:21:28: >>223

物理なのに、岩波講座基礎数学の群論にまで手を広げているなんて勉強熱心ですね
2年生くらいかな？

私は4年数学科、大学は内緒＾＾；
こちらこそよろしくお願いします。
225：Phiz：2006/05/19(金) 23:38:31: >>223

将来、数理物理の方面に行きたいので、数学もやっています…が、
実験などに時間をとられた結果、あまり進んでいません（泣）。
思う存分数学ができる生活に憧れます…。
226：Phiz：2006/05/19(金) 23:39:47: >>224　の間違えでした…。
227：Phiz ◆Oudnx64fmo：2006/05/22(月) 21:44:12: ふとひらめいて、かすかな期待を抱きつつ、図書館へ…。
問題の本の問題の箇所を見てみる。

１冊目…表紙からして綺麗な状態。予想通り、役に立たず。
２冊目…薄汚れた表紙。いけるかも、と思いページをめくると…

書き込みを発見！！

『(i, j)(i', j')＝(i＋i'r^{(n-1)j}, j＋j') と定義するとうまくいく。』

感激した瞬間でした…。
う～ん、演算の定義を変更することまでは考えなかった…。

どこの誰だか知らないけど、ありがとうっ！！
でも書き込みはダメだようっ！！
228：あしぺた：2006/05/22(月) 22:59:01: いいアイデアですね。
やっぱり本が間違ってたんだろうね。
さすがT大、気の利いた書き込みありなんて。
229： ◆ZFABCDEYl.：2006/05/27(土) 23:50:16: うーん・・・

∫[0,1]sin(2√(1-x^2))dx って計算可能ですか？
230：うどん ◆csFiRniTeg：2006/06/11(日) 14:13:09: f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

お願いします
231：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/06/11(日) 22:34:27: >>230
できますた。
一応高校範囲で厳密に示せますよ。
232： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/11(日) 22:57:33: >>231

さすがは神！
教えてください！！

x=sinθとおくと
∫[0,π/2]{sin(2cosθ)}cosθdθ
になりますよね・・。この後∫[0,π/4]と∫[π/4,π/2]とで分けるのかなあ
とは思ったんですけど実行はしてないという。解けない気がしちゃって挫折
してたんです。
233： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/11(日) 23:03:00: tan(θ/2)=tとおいても解けなかったので途方に暮れておりました。
近似値解でもいいから知りたいです。
この積分計算はｔ大作悶スレの問題の計算途中で出現した式なんです。
ここで詰まっておりました。
234： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/12(月) 21:48:10: レス番勘違いしてしまいました・・。
すみません！
235： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/12(月) 21:50:18: うどん氏の問題解けません!!!
先生教えてください!

にしてもこの問題はじめて見ました。
236： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/12(月) 21:53:02: うどん氏が解けないってことは僕が解けるはずなかろうて・・。

f(x)={g(x)}^(2m) + a (mは負でない整数、a≧0) とおくのかなあと。
237：いうおい様信者：2006/06/18(日) 01:53:04: 最近引きこもり化しつつあります。

>>230
f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

g(x)=f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)と置く。
すべての実数xに対して、f(x)≧0であることから
f(x)のn次の項はax^nとかける。（a>0かつnは偶数）
したがってg(x)のn次の項の係数もax^nであり、g(x)は最小値のみをもつ。

g(x)は整式であるので最小値ではg'(x) = 0となっていなければならない。
g'(x) = 0のm個の解（ただしmはm<nである負でない整数）をそれぞれ
x1,x2,x3…,xmとすると、
g(x1) = f(x1) + g'(x1) ≧0
同様にしてg(x2),g(x3),…,g(xm)≧0
最小値でg(x)≧0が示されたから、全てのxについてg(x)≧0がいえる。
Q.E.D
238：あしぺた：2006/06/20(火) 09:55:16: >>237
引きこもりしてる割には冴えてますね！
いろいろやりましたがその解法でしか出来ませんでした
239：Je n'ai pas de nom!：2006/06/20(火) 21:59:29: 重積分で出てくる変数変換の公式って二次元のときはグリーンの定理で示せるけど
n次元のときはどうやって示せばいいか教えてください
240：あしぺた：2006/06/21(水) 01:09:59: >>239
杉浦先生の解析入門Ⅱにありますよ
難しいですよ
241： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/22(木) 00:43:30: >>237
神

>>238
生きてた・・Σ(ﾟДﾟ)

＃今日はテスト勉強をした！
かしこさが１あがった！

さすがぁ（＾∀＾ヾ
242：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/08/29(火) 18:58:31: 投下

算数のテストに１００人が参加し、第一問～第五問の五問が出題されました。各問題の正解者は、
第一問９２人、第二問は８６人第三問は６１人、第四問は８７人、第五問は５７人でした。
このテストでは５問中３問以上正解の人を合格者としました。
合格者は最も少ない場合で何人ですか。
243： ◆ZFABCDEYl.：2006/08/30(水) 06:27:27: 受験生100人を2^5=32個の枠1，2，・・・，32に分類する。

[1][2][3][4][5][6][7](8)
[9][10][11](12)[13](14)(15)(16)
[17][18][19](20)[21](22)(23)(24)
[25](26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)

このうち，[ ]の番号に分類された人は合格者(￣ー￣)。
( )の番号に分類された人は不合格者(´；ω；`)。

[1] + [2] + [3] + ・・・ + (32) = 100

[1] + [2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [7] + (8) + [9] + [10] + [11] + (12) + [13] + (14) + (15) + (16) = 92

[1] + [2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [7] + (8) + [17] + [18] + [19] + (20) + [21] + (22) + (23) + (24) = 86

[1] + [2] + [3] + [4] + [9] + [10] + [11] + (12) + [17] + [18] + [19] + (20) + [25] + (26) + (27) + (28) = 61

[1] + [2] + [5] + [6] + [9] + [10] + [13] + (14) + [17] + [18] + [21] + (22) + [25] + (26) + (29) + (30) = 87

[1] + [3] + [5] + [7] + [9] + [11] + [13] + (15) + [17] + [19] + [21] + (23) + [25] + (27) + (29) + (31) = 57

を満たす非負整数[1],[2],・・・,(32)において，
[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[6]+[7]+[9]+[10]+[11]+[13]+[17]+[18]+[19]+[21]+[25]
の最小値を求める。

(32)の大きさから考えるのかな。
244：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/01(金) 22:49:21: 俺は65人だと思うんだけど、答え分かる？＞真の出題者ﾗﾒﾝ氏

不合格者を最大にすることを考える。
100人*5問の解答状況は○：383個、×：117個
不正解は、第一問8人、第二問14人、第三問39人、第四問13人、第五問43人
100人のうち、×を3つ以上持つ人を出来るだけ多くしたい。まず、それは117/3=39(人)を超えない。

次に、不合格者は第三問と第五問を両方間違ってると考えてよい。
なぜなら、第三問か第五問を正解している不合格者Aがいると仮定する。
すると、第三問か第五問でAと同じ問題を間違っている合格者Bがいる。
そこでその問題について、Aの○と、Bの×とを入れ替えても不合格者数は不変。
この作業をくりかえせばよい。

この下で不合格者数が最大になるのは、
8人が第一三五問だけ不正解、14人が第二三五問だけ不正解、13人が第三四五問だけ不正解になる場合。
したがって不合格者数の最大値は35人、合格者数の最小値は65人。
245： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/01(金) 23:18:38: >>244
さすが数学家じゃ！！
不合格者が第三問と第五問を両方間違ってる理由が良く分からなかった
どの設問の正解者にも合格者と不合格者が混在しているから32個の
ブロックのどこを塊にして動かせばよいかが分からなかったです
246： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/01(金) 23:22:42: あれ？ラメ神が出題者だったとは・・。
247：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/01(金) 23:45:54: >>245
合格者は39人以下で、③と⑤の不正解者が39人以上ってことを使ってます。
不合格者で、たとえば③を正解している人がいたら、③の39個の×を不合格者に配分していくときに、
×が少なくとも1個合格者の方に「あぶれる」はず。⑤についても同じ(まあこっちは43個でもともとオーバーしてるけど)。
鳩ノ巣原理って言うんだっけ？
248： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/01(金) 23:51:48: ああそうかぁ。そこに気づけなかった。

さすが東大エリート学生じゃな(￣酈￣)
249：ﾗﾒﾝ氏：2006/09/02(土) 00:25:19: >>244
正解です。流石。
250： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/02(土) 23:00:19: この問題，数値を変えるととても微妙になりますね。
どこをどうやっても鳩ノ巣にひっかからないような数値調整が
できるというか。あとこの問題で面白いと思ったことは
合格者と分散の関係。
251： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/02(土) 23:13:10: 入試の理想は得点分布グラフに２個の山ができてその間の谷で分ける
のが（･∀･）ｲｲ!と聞いたことがある。
この問題の受験生の数を３２人にしていろいろ条件を変えたりすると
何か面白いネタが出来そうなお棺ですな。
252： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:24:20: ああそうだ。ついでだからこの場で数学の質問を
させていただきたいのですが、
253： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:44:43: 直線y=mxと曲線y=f(x)が異なる2点(α,f(α)),(β,f(β))で交わっていて
y=mxとy=f(x)で囲まれる部分を直線y=mxのまわりに回転してできる立体の
体積をVとします。2006/08/19 の問題を自作して気づいたんですが、
垂線を下ろして積分する方法を使うと，体積Vは

V=〔π/{(m^2+1)√(m^2+1)}〕*∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{1+mf'(x)}〕dx

となりますが、傘型分割公式を使うと
V={π/√(m^2+1)}*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
となります。m=1/2，f(x)=sinx とすると確かに両者の値は一致します。

つまり、
〔π/{(m^2+1)√(m^2+1)}〕*∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{1+mf'(x)}〕dx={π/√(m^2+1)}*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
が成り立つはずだから、
∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
という式が成り立つはず。そこで疑問なんですが、
この式は図形的に何か背景のある式でしょうか？？
あとこの式はどんなf(x)やmでも成り立ちますかね？
254： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:45:55: まだ質問を思いついただけの段階で、計算していないので
煮詰めた段階で質問したわけではないのですが、よろしくお願い致します。。
255： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:57:22: 以前、受験前に先生が曲面(円錐)の表面積を求める問題を下さったとき、
表面積の近似の仕方で悩んだことがあったんです。それと同じで
傘型分割の公式の正当性については自分のなかでは消化していなかった
ことに気づきました。面積や体積を求める際の近似の入れ方はとても
難しいので、受験生当時から今現在に至っても自分のレベルは、
完全に「正しいとされる」方法だけを模倣して適用するレベルです。
つまり、自分から積極的に新しく「近似の仕方」を考えて
解く段階には至ってないのです。これは志賀浩二の微積本にも
載っていないので、面積や体積を求める時の「近似の入れ方」と
その正当性の確認方法をマスターしたいのです。
256：ﾗﾒﾝ：2006/09/15(金) 20:45:18: >>255
解法の探求Ⅱに載ってるお
257：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/15(金) 22:45:46: >>253
とりあえず、
＞∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
これは、移行して積分記号の中にすべて式を入れてしまえば、
等式が成立することが置換積分ですぐわかるよ。
258： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:33:56: >>256
お。ありがとうございます。

>>257
その等式を示すことで傘型分割の公式が示されるんですね。
そこらへんをまとめればちょっとした証明問題になりますね。
259： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:44:05: ∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
の証明。

左辺-右辺
=∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{f'(x)-m}〕dx
=[(1/3){f(x)-mx}^3][α,β]
=(1/3){f(β)-mβ}^3 - (1/3){f(α)-mα}^3
=(1/3)*0^3-(1/3)*0^3
=0 (∵ f(β)=mβ，f(α)=mα)

であるから，逆算していけば傘型分割の公式は確かに正しい。
うーんでも何かしっくりしない・・。
260： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:49:06: まあ確かにこういうふうに逆算的に考えれば
傘型分割の公式の正当性についてはいちおう納得はできますね。
まあそれで良しとするかな・・。
261： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:57:49: ていうかやっぱ別にどうでもいいことなのかも。
曲線y=f(x)から直線y=mxに下ろした垂線の足を
集めて回転させても、傘型図形の側面積を集めて
積分してもどっちでも同じだよってことなんだな。やっぱ。

受験生的には前者の考え方の方が馴染みがあるから
敢えて傘型分割の概念を導入する必要はないってことか。
同じ結果になるわけだし，それだったら何も難しい近似を入れる必要は
ないというか。
262：ﾗﾒﾝ：2006/09/16(土) 00:58:02: ＞面積や体積を求める時の「近似の入れ方」と
＞その正当性の確認方法をマスターしたいのです

これ載ってるお
263： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 01:47:05: >>262
ぐお！買うしかないですな(￣ー￣)
264：ﾗﾒﾝ：2006/09/21(木) 17:15:26: http://www2.ic-net.or.jp/~takaken/game/index.html

WATTA Freak stage4　わからない・・・orz
265：&lrm;：2006/09/21(木) 20:32:38: テスト
266：ﾗﾒﾝ：2006/09/21(木) 22:10:34: 全クリアー

ｷﾀ━━━ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ━( ﾟ∀)ﾉ━(　　ﾟ)ﾉ━ヽ(　　)ﾉ━ヽ(ﾟ　　)━ヽ(∀ﾟ )ﾉ━ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ━━━!!
　　　　　　　へ　)　　 (　　ノ　　(　　)ﾉ　　 (　　)　　　へ　)　　　へ　) 　　へ　 )
　　　　　　　　　>　　　　>　　　　<　　　　　 <　　　　　　　<　　　　　 >　　　　　 >
267：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/29(金) 22:56:56: ∫[0→∞]exp(-x^2)dxを極座標を用いないで求めたいのですが、、、
268：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/29(金) 23:17:15: >>267
「スレにおける未解決問題。」
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1092449075/l100
の序盤参照。ぎりぎり高校範囲の模様。
ちなみに、動機は？
269：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/29(金) 23:53:01: なんとなく
置換積分を駆使してやりましたが挫折しますた
それどういう風に参照すればいいのか分かりません
270：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/30(土) 00:19:47: 悪い、間違えた
「東大」「数学」「補完」
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1081779039/
の97からを見てみてください。
271：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/30(土) 00:30:13: なるほどぉ
挟み撃ちか　確かに発想としては自然ですよね。勉強になります多。
じゃあ俺は別の方法を模索することにします
272：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/30(土) 23:51:16: Oを原点とするxy平面に２個の格子点P,Qをとり、三角形OPQを作る。
(1)三角形OPQの最小値が1/2であることを示せ
(2)三角形OPQが鋭角三角形であるとき、
　 |↑OP|^2=p、|↑OQ|^2=q、(↑OP)･(↑OQ)=rとおく。
(i)p>rを示せ
(ii)三角形OPQの面積の最小値が3/2であることを示せ。

昔やった問題です
当時(鄱)がうまくできなくて又改めてやってみてもうまくできませんでした（汗）
273：Je n'ai pas de nom!：2006/10/01(日) 04:27:07: OPQの面積は1/2、1、3/2となっていくので
1/2のときと1のとき鋭角にならないこと示して
3/2のとき鋭角になる組み合わせがあることを示すっていうのはどうでしょう
274：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/01(日) 14:20:14: 模範解答では（鄯）をうまく利用していた記憶があるんですが
275：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/02(月) 19:54:03: >>272
省きまくりですが
p,q,rは自然数でp>r,q>r.r>0。p=r+a、q=r+bとおく(a,bは自然数)。pq-r^2>4を示せばよい。
pq-r^2=ar+br+ab。a=b=r=1の場合がありえないのでこれは成立。等号成立確認は容易。
模範解答はもっと上手い？
276：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/03(火) 00:26:27: あーそんな感じだったと思います
どうも。
277：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/03(火) 00:33:01: というかp=r+1 q=r+1って置いてやった跡があるし
278：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/05(日) 23:48:57: Π[k=1～m]4[sin{kπ/(2m+1)}]^2=？
これってどうやれば、、、
279：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 00:06:34: (1+x/n)^n-(1-x/n)^nを級数展開してそして無限積展開してxの項の係数比較したら
できました。数学的な妥当性が怪しいですが。
それ以外の方法は考えられますかね？
280：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 00:17:17: まあ某参考書を読んでたらたまたまこのことが書いてあったんですがｗ
281：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 01:47:28: 倍角の公式と正(2m+1)角形を使って、2m+1
282：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 13:57:10: 勘違いorz
283：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 19:05:00: !と思ったらレスが
複素平面ですかね？
>倍角の公式と正(2m+1)角形を使って、2m+1

f(z)=z^(2m+1)-1と置けばf(z)=0の解はz=exp(-2πki/(2m+1)){k=0,1,2,..,2m}
だからf(z)=(z-1)Π[k=1～2m][z-exp{2πki/(2m+1)}]=(z-1)(z^(2m)+z^(2m-1)+・・・+1)
z=1からf(z)=0のz=1以外の解までの距離は2sin{kπ/(2m+1)}
対称性からF(z)=Π[k=1～2m]|z-exp{2πki/(2m+1)}|=Π[k=1～m]|z-exp{2πki/(2m+1)}|^2=(z^(2m)+z^(2m-1)+・・・+1)
|1-exp{2πki/(2m+1)}|がz=1からf(z)=0のz=1以外の解までの距離2sin{kπ/(2m+1)}に他ならないので
F(1)=Π[k=1～m]4[sin{kπ/(2m+1)}]^2=2m+1■

こんな感じですかね
勘違いはしていない気はしますが、、、
284：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 19:10:32: >>281のレスの正2m+1角形でピンときました。さすがweapon氏
ピントはずれだったらすみませんが
weapon氏も複素平面使いましたか？
285：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 22:19:18: おひさです
>>279
某参考書(大学入試用？)のそのやり方が気になるので、よかったらもう少し詳しく書いてみてくれませんか？

あーそれと「問題作るスレ」の内接円の問題、完全にギブなんでこっちも気が向いたらでいいんで、
あっちのスレに解答載せてくれると嬉しいです。
286：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:48:58: >>285
↑のとややかぶります。
関数f(z)=z^(2m+1)-1を考えてf(z)=0の解はz=exp(-2πki/(2m+1)){k=0,1,2,..,2m}
これより
f(z)=(z-1)Π[k=1～2m][z-exp{2πki/(2m+1)}]
=(z-1)Π[k=1～m][z-exp{2πki/(2m+1)}][z-exp{-2πki/(2m+1)}]
=(z-1)Π[k=1～m][z^2-2zcos{2πk/(2m+1)}+1]
そして
(1-x/(2m+1))^(2m+1)*f({1+x/(2m+1)}/{1-x/(2m+1)})
={1+x/(2m+1)}^(2m+1)-{1-x/(2m+1)}^(2m+1)・・・①
=2x/(2m+1)*Π[k=1～m]2{1-cos(2πk/(2m+1))}{1+x^2/(2m+1)^2*{(1+cos(2πk/(2m+1)))/(1-cos(2πk/(2m+1)))}
=2x/(2m+1)*Π[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2*Π[k=1～m]{1+x^2/(2m+1)^2*{(1+cos(2πk/(2m+1)))/(1-cos(2πk/(2m+1)))}・・・②

ここで①をべき級数で展開すればxの項は2になって、②の方は2/(2m+1)Π[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2
なのでΠ[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2=2m+1になります。
ちなみに参考書は大学入試用ではなくて大学の参考書です。
287：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:49:53: 例の内接円の問題も近いうちに解答を書きます。
288：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:54:52: 図形的な考察を全然してなかったので複素平面が頭になかったのが原因ですねｗ
複素平面で考える方が全然自然で楽なのに、、、ｗ
289：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 09:42:55: >>286
どうもありがとう。恒等式
z^(2m+1)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)・・・(z-α^2m)；α=cos(kπ/2m+1)+isin(kπ/2m+1)
にz=({1+x/(2m+1)}/{1-x/(2m+1)}を代入して係数比較を行った感じですね。
それだけでΠ[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2=2m+1が示せたのはビクーリ。
級数も積も有限個にしか展開していないから、「数学的な妥当性」は全然問題ないんじゃないの？

そういえば、参考までに、n/2^(n-1)=sin(π/n)sin(2π/n)・・・sin((n-1)π/n)を示せって問題が
北大に出てました。
290： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:39:46: >>289

>n/2^(n-1)=sin(π/n)sin(2π/n)・・・sin((n-1)π/n)

ひぇぇぇ・・
すごくカビ臭い(旧課程臭がする)問題じゃ(´Д｀;)
291：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 23:33:06: >>290
旧課程って～1996の？～2005の？
北大の誘導は、、一応新課程でも範囲内だったような。
ていうか確かこの大学2年連続で範囲外の問題出したからまたやりかねないなｗ
292： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:30:30: >>291
～2005のほうです。
～1996のほうはあまり知らないです・・

北大の過去問は一回も見たことがないので良く分かりませんが
いかｓかの80年代後半～90年代前半の過去問はすごいユニークです。
英語と数学がくっついていたり，物理と数学がくっついていたり。
しかも物理は微分方程式まで出ているわ，化学はいつも範囲外だわで。
それでひとつの結論を得ました。
293：geen：2006/11/09(木) 00:37:02: >>291
臺地さんは毎年の入試問題をチェックしてるのですか？
294： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:42:12: 「この学校は英数だけできればおｋ」
295： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:43:21: >>293
すみからすみまで。
296：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/09(木) 01:02:15: >>292
やりたい放題ｗ
制限時間つきじゃなかったら面白いだろうけど、高々2時間程度でやらせるのは地獄だな

>>295　ちげーよｗｗｗｗ

>>293
数年分持ってる大数で特集されてる問題はざっと見たから、記憶に残っているのも結構あるんで。
297： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 01:09:21: >>296
またまたぁ
298：green：2006/11/15(水) 04:55:32: >>296
なるほど
299：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/02/28(水) 23:03:01: 半径が1の球を互いに平行なn-1枚の平面で体積が等しいn個の立体に
分割する。この時n-1枚の断面の円の面積をSn.1,Sn.2,…,Sn.n-1と
する時lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.kの値を求めよ。

これうまく解けないです、、、
300：たま ◆U4RT2HgTis：2007/03/01(木) 23:34:44: 不等式でまじめに評価すると長くなるので，適当に。
中心を原点にとり，球の体積をVとおく．
x=tで球をきった断面積をS(t)とすると，S(t)dtは平面x=tとx=t+dtで
挟まれた部分の微小体積の表す．
このことから，nが十分大きいときx=t～t+dtにある等体積分割平面の個数は
S(t)dt/(V/n)と近似できる．よって，
lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.k
=lim(n→∞){1/(n-1)}∫[-1,1]{S(t)}^2/(V/n)dt
=(∫[-1,1]{S(t)}^2dt)/V
=224π/45

ちゃんと評価するならば，[-1,1]を等間隔分割したときの各区間に入る
等体積分割平面の個数を不等式で評価．Sn.kも区間の端の面積で挟んでおいて，
limの式を挟み撃ち。
このとき、等間隔分割に対して等体積分割の分割数が十分大きくないと
個数の評価が甘くなるので，その辺だけ注意すればちゃんと示せると思いますよ。
301：リンゴ：2007/04/20(金) 11:52:28: P（E1∩E2∩…∩Eｎ）＝P（E1）P（E2｜E1）P（E3｜E1∩E2）×…×P(Eｎ｜E1∩E2∩…∩Eｎ－１)
の証明を教えて下さい。
302：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/04/20(金) 22:44:04: 帰納法じゃね、とあまり考えずにレスしてみる。
303：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/04/21(土) 00:02:25: 右辺を条件付確率の定義に則って計算したら自然に左辺と一致する。

って書いたらだめなんですかね。
304： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:02:21: 数列の極限値の問題で頻出する典型的な難問は，そのほとんどが，
「lim[n→∞]a(n)=α のとき，lim[n→∞]〔n{α-a(n)}〕を求めよ」
といったタイプの∞×0型だと思います。

a(n)が三角関数ネタに絡んでいたり，f(x)=1/x の凸不等式を使ったりと
その内訳は多岐にわたるけど。

そこで僕がふと思ったことは，

a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)

という数列です。もちろん，lim[n→∞]a(n)=0 です。このとき，lim[n→∞]{n*a(n)}・・・★
はどうなりますか？

大昔の受験板とか質問スレに出てきたこのタイプの問題を見てると，
どうやら★は常に収束しそうな気がしてならないんです。
305： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:03:28: 以前，「a(n)=Σ[k=1,n]{1/(k+n)}のとき，lim[n→∞]〔n{(log2)-a(n)}〕を求めよ」
って問題が質問スレにありました。これは長助流に y=1/x の凸性を利用した
面積比較の不等式を作って，はさみうちの原理より1/4に収束することが分かります。
で，気づいたんだけど，このlog2っていう値は∫[0,1]{1/(x+1)}dxに等しいんですよね。

だから，この問題は
「f(x)=1/(x+1) として，数列{a(n)}を a(n)=∫[0,1]f(x)dx-(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n) で定めるとき，
lim[n→∞]{n*a(n)} を求めよ．」
っていう風に言い換えられるんです。
そこで★の極限値を一般化できないかなと考えたんです。
306： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:09:56: そこで，定積分の基礎を根底から考えていくと，
本には
(k-1)/nとk/nの区間ζ(x)の代表値をとると
その極限値はこの代表値の取り方によらず，常に収束し
これを定積分の値としています。（wikiで調べたら
正確にはリーマン積分というみたいだけど。。）
このとき，区間⊿でとる代表値を極端に偏らせても定積分は
１つの値に定まるのだから，★は収束するんじゃないかと考えました。
307： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:15:11: もしお受験公式化できれば受験生としてはロピタルみたいに簡単に計算
できるからいいんじゃないかと思った次第です。慶應とかで便利そうというか。
私大医学部は答えがあってればかなり点を貰えるとか聞くわけでして。もちろん
国立は論述に厳しいから，お受験公式は一切使えないけど。
308： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:23:31: 条件付きだけど一般化できた。

すべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，
a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)
に対し，
lim[n→∞]{n*a(n)}=(1/2){f(1)-f(0)}になりました。
これを使うと長助流の不等式を使わなくてもおｋですね。ただ
f(x)の満たすべき条件がきつくなるけど。
309： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:26:17: lim[n→∞]{n^2*a(n)}もlim[n→∞]{n^3*a(n)}もおんなじ感じで
一般化できそうですな・・。
310： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:42:18: >>308の訂正。

「f(x)(x≧0)は負でないすべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，」
でした。f(x)=1/(x+1)が代表例かな。
311： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 23:20:15: すみません。再訂正

x≧0を定義域とする連続関数f(x)が第一次導関数f'(x)，
第二次導関数f''(x)を持ち，かつ，f''(x)が連続ならば

です・・。

です。
312： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/18(月) 03:42:58: すみませぬ。自作していて，分からない箇所が出てきてしまいました。

n，kを 1≦k≦n を満たす整数とし，(k-1)/n≦x≦k/n を定義域とする
連続関数f(x)の最大値をM(k)，最小値をm(k)とする．
このとき，lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n^2=0，
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n^2=0
が成り立つことを示せ．

これ，本当に成り立つかどうか分からないですが，
うまい証明方法があれば教えてください。
313：Je n'ai pas de nom!：2009/10/07(水) 03:36:34: >>312
ε-δつかわずにできるのかなあ。
「一様連続」とか「有界単調列は収束」とかをつかっていいなら…。

f(x)は[0,1]で連続だから,一様連続.
よって
man{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}<(1/n)
とでき,
0≦[{M(1)-m(1)}+…{M(n)-m(n)}]/n≦(1/n)
よって
lim[{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}/n]=0……★.

{{M(1)+…M(n)}/n},{{m(1)+…+m(n)}/n}はともに有界単調列ゆえ
収束する.
★より両者は同じ値に収束する.
{m(1)+…m(n)}/n≦{f(1/n)+…+f(n/n)}n≦{M(1)+…+M(n)}/n
より
lim{{M(1)+…M(n)}/n}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n}=∫[0→1]f(x) dx
よって
lim{{M(1)+…M(n)}/n^2}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n^2}=0.
314：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2009/10/07(水) 03:37:09: あ、313は僕。
315：Je n'ai pas de nom!：2009/10/26(月) 23:36:04: lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n
も
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n
も有限値。
よって自明。
316：Je n'ai pas de nom!：2009/12/05(土) 01:09:18: 次の問題がわからないので教えてください。

凸多角形を底面とする角錐が与えられた時、
角錐をその頂点を中心とする小さい半径の球面Sで切ると、
切り口は球面上の凸多角形となることを示せ。

よろしくお願いします。
317：Je n'ai pas de nom!：2011/05/07(土) 18:11:12: 模範解答の途中に

　sin(60°-x)+sin(120°-x)
=2sin(90°-x)*cos(-30°)

という変形があったのですが、どのようにして導いているのか検討が付きません。
加法定理でぐちゃぐちゃやってみたのですが分からなくなってしまいました。
お願いします。
318：Je n'ai pas de nom!：2011/05/11(水) 20:36:17: 和積
319：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 06:41:43: 次の問題で質問があります．

楕円x^2/9 + y^2/4 = 1 から直線x+2y=7までの最短距離を求めよ．

自分の解答

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(a^2+b^2)　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと
(a,b)=(9/5,8/5)
mind(a,b)=d(9/5,8/5)=|9/5+16/5-7|/(√(81+64)/25)=2√145/29

となりましたが，①，②を解いたときに(a,b)=(-9/5,8/5)なども出てきます．
でも図で確認してみると，それらは正しくありません．
どのようにしてそれらを不適と示せばよいのでしょうか．
また，自分の解答のプロセスは合っていますか？？少し自信がありません．
320：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 19:06:03: 2chにて、点と直線の距離が違っていることを教えていただきました。
321：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 20:02:36: 結局このようになりました。

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(1^2+2^2)=√5|a+2b-7|/5　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと，(a,b)=(±9/5,±8/5)
ここで，(-9/5,-8/5)は最大距離の点にあたる．
よって，mind(a,b)=d(9/5,8/5)=√5|9/5++16/5-7|/5=2√5/5