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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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一気に全部書くのはつらいので、小出しにしていきます。
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§２ 集合の間の演算
A) 和集合
２つの集合A,Bが与えられたとき、Aの元とBの元とを全部寄せ集めて得られる
集合を、AとBとの和集合といい、A∪Bとあらわす。
内包的記法で表せば
(2.1) A∪B={x｜x∈Aまたはx∈B}
である。
以下、和集合の基本的な性質をのべる。
(2.2) A⊂(A∪B),B⊂(A∪B)
これは、x∈A→x∈(A∪B)、x∈B→x∈(A∪B) を示せばよいが、(2.1)より明らか。
(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂C
A⊂C,B⊂Cとし、x∈(A∪B)とする。(2.1)よりx∈Aまたはx∈B。
x∈AならばA⊂Cよりx∈C。x∈BならばB⊂Cよりx∈C。
したがって、x∈(A∪B)→x∈Cすなわち(A∪B)⊂C。
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>>48
(x=a ⇒ x∈A)においてxにaを代入するとa∈Aを得る
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(2.4) A∪A=A (巾等律)
(2.5) A∪B=B∪A (交換律)
(2.6) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (結合律)
これらは証明を要するものなのかどうかわからない・・・
証明するとすれば、論理学の範疇なので、真理値表とか・・・
(2.6)の両辺をカッコを省略してA∪B∪Cとも書く。さらに(2.6)から
{(A∪B)∪C}∪D=(A∪B)∪(C∪D)=A∪{B∪(C∪D)}=A∪{(B∪C)∪D}={A∪(B∪C)}∪D
が導かれる。この各辺の集合をA∪B∪C∪Dと書く。
1つ目の=は、(A∪B)をA'、CをB'、DをC'と置き換えてみればわかる。残りの=も同様。
一般に、n個の集合A_1,A_2,･･･,A_nがあるとき、A_1∪A_2∪･･･∪A_nという表現の
どこにどのような順序でカッコをつけていっても、結果として得られる集合は全部
同じになる。これは、上と同様に、例えば、A_1とA_2に()がついている場合全てについて
(A_1∪A_2)=B_1と置き換えれば(n-1)個の場合に帰着できる。A_2とA_3、A_3とA_4･･･
の場合も同様。また、k=1,2,･･･,(n-2)として、A_kとA_(k+1)にカッコが付いている場合の1つに、
C∪{(A_k∪A_(k+1))∪A_(k+2)}∪Dがある。A_(k+1)とA_(k+2)にカッコが付いている場合の1つに、
C∪{A_K∪(A_(k+1)∪A_(k+2))}∪Dがある。(CはA_1∪･･･∪A_(k-1)という表現に適当に(どうやっても良い)
カッコをつけた集合。DはA_(k+3)∪･･･∪A_nという表現に適当にカッコをつけた集合。）
よって、(A_k∪A_(k+1))∪A_(k+2)=A_K∪(A_(k+1)∪A_(k+2))より、どのようにカッコをつけても得られる集合
は同じであることを示すことができる。
これを、A_1∪A_2∪･･･∪A_nあるいは∪[i=1,n]A_iと書く。
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わかりにくくてすいません。
1行目にA_1,A_2に()がついたものの全ての組み合わせを書き並べて1個づつ=で結ぶ
2行目にA_2,A_3に・・・
で、各行の等式は(n-1)の場合に帰着できるから成立。
k行目の中の1つと(k+1)行目の中の1つが=。
よって全部=で結べる。
つっこみよろ。しかし時間かかりますな・・・。もっと細分化して回転増やす
っていうのはどうですか？次回、次々回は大変そうですし。
それとも、もっと省略してもいいんんでしょうか？
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>>48
>>51と同じ感じですが、
(a=a ⇒ a∈A), 「a=a」は真, ∴ a∈A.
でいいのではないでしょうか。
>>52
試しに、(2.6)証明してみてくださいｗｗｗｗ
>>53
俺も、思ったよりも時間がかかるなーと思いました。
もう少し細分化してどんどん回しましょうか。
適当なところで区切って、バトンタッチしちゃってください。
あと、細かいことですが
「ならば」は「⇒」を使ったほうがわかりやすいと思います。
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>>52
証明してください。
>>53
数学的帰納法によって示せるわけですね。
細分化するのはいいと思います。
省略はしない方針にしましょう。
>>54
了解しました。>>51氏の言いたかったのもこれかもしれませんが
x=aとして得られるものはあくまで(a=a⇒a∈A)なのであって
a∈Aそのものとは区別する必要があると思います。
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真理値表を使います。
(2.6)は(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)を示せばよい。(p,q,rは命題)
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０００ ０ ０ ０ ０ １
００１ ０ ０ ０ ０ １
０１０ ０ ０ ０ ０ １
０１１ ０ ０ １ ０ １
１００ ０ ０ ０ ０ １
１０１ ０ ０ ０ ０ １
１１０ １ ０ ０ ０ １
１１１ １ １ １ １ １
(2.4)(2.5)も同様。
だめ？
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続き
(2.7) Ａ⊂Ｂ⇔(Ａ∪Ｂ)=Ｂ
(左⇒右)Ａ⊂ＢならばＡ⊂ＢかつＢ⊂Ｂだから(2.3)より(Ａ∪Ｂ)⊂Ｂ。
一方(2.2)より(Ａ∪Ｂ)⊃Ｂ。よって(Ａ∪Ｂ)=Ｂ。
(右⇒左)(Ａ∪Ｂ)=Ｂならば(2.2)よりＡ⊂(Ａ∪Ｂ)だからＡ⊂Ｂ。
(2.8) Ａ⊂Ｂ⇒(Ａ∪Ｃ)⊂(Ｂ∪Ｃ)
A⊂Bならばx∈A⇒x∈B･･･(#)。このとき、y∈(A∪C)⇒y∈(B∪C)を示す。
y∈(A∪C)のときy∈Aまたはy∈C。y∈Aのとき(#)よりy∈Bゆえにy∈(B∪C)。
またy∈Cのときy∈(B∪C)。
(2.9) Φ∪A=A
これは任意の集合Sに対してΦ⊂Sだから(前回参照)、(2.7)のAをΦ、BをAに
置き換えると得られる。
やっと和集合終わりか。ふぅ
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>>56
おぉ、すごい！！！
何か馬鹿にされそうだけど、
真理値表って初めて見ました。
>>57
ここら辺で交代にしますか？？？
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>>58
>>58
じゃ誰かお願いします。
"真理値表"って用語で合ってるかどうか・・・
論理学の単位は取ったんだけど、うろ覚えでつ。
先生これでいいんでしょうか？
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９３６の筆者さんも早く来てほすぃ
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>>60
あ、確かに。
９３６氏に物理学の講義とかしてもらいたいｗｗｗｗ
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>>61
711氏も９３６氏もつっこみだけ参加もアリでいいよね？
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>>59
じゃここから俺が代わります。
>>62
ＯＫですよ。是非参加してほしいです。
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>>56
あれ、これって
0: 正 1: 偽
で読むのかなーって思ったんだけど違うっぽい…
どう読めばいいんでしょうか。
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× 0: 正 1: 偽
○ 0: 偽 1: 正
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>>65
正じゃなくて真ね。
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>>59
p, q, rを命題、A, B, Cを集合とし、
真理表
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０００ ０ ０ ０ ０ １
００１ ０ ０ ０ ０ １
０１０ ０ ０ ０ ０ １
０１１ ０ ０ １ ０ １
１００ ０ ０ ０ ０ １
１０１ ０ ０ ０ ０ １
１１０ １ ０ ０ ０ １
１１１ １ １ １ １ １
を(2.6''),
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
を(2.6'),
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
を(2.6)
とします。
LAR-menさんは
(2.6'')⇒(2.6')…(i)
がいえるからだから
(2.6')⇒(2.6)…(ii)
は言えるっていってますね。
(i)は一目瞭然だとして(ii)はそうでもないような？
というかLAR-menさんもおっしゃるように(i)はむしろ論理学の範疇
であるので、
素朴集合論で
(2.6)を示せっていわれたら(ii)の部分を書けばいいのではないでしょうか。
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>>62>>63
そういってくれてよかった。
私も是非突っ込みだけの参加でもしてほしかったんですが
担当でもない私がいうのも気がひけたもんで黙ってました。
(ちょっと雑談スレ>>50でほのめかしたけど)
あと１０くんにも。こけくんにも。
個人的にはn （oBOk1n/o）くんのフル参加を期待したいところですが。
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>>67
(2.6')⇒(2.6)ですが・・・
x∈(A∪B)∪C⇔x∈(A∪B)∨x∈C⇔(x∈A∨x∈B)∨x∈C⇔x∈A∨(x∈B∨x∈C)
⇔x∈A∨x∈(B∪C)⇔x∈A∪(B∪C)
よって、(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
x∈S∨x∈T⇔x∈S∪Tとしていいものでしょうか・・・
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おっと無意識に69げっとぉぉおぉ
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>>69
ゲットおめ！！！
x∈S∨x∈T⇔x∈S∪T
はS={x|p(x)}, T={x|q(x)}とおくｔ
x∈S∨x∈T⇔p(x)∨q(x)⇔x∈{x|p(x)∨q(x)}
⇔x∈S∪Tでいいでしょう。
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>>70
_、_
（ ,_ﾉ` )y━･~~~ 無意識ねぇ
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真理表の読み方がわからない…orz
たとえば>>56の表で
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０１１ ０ ０ １ ０ １
の行だけ抜き出したとき、これはどうやって読めばいいのでしょうか。
p: 偽, q: 真, r: 真 のとき
p∨q: 偽, (p∨q)∨r; 偽, q∨r: 真, p∨(q∨r): 偽, (p∨q)∨r≡p∨(q∨r): 真
と読めばいいんでしょうか。
でもこれって間違ってませんか…？？？
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>>73
読み方はそれでいいけど、あなたのいうとおり
間違ってるね。ﾗﾒﾝ氏を信用してよく読んでなかった。スマ
…どうしよ。ﾗﾒ氏に直してもらいましょうか。
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すいません。andとorを勘違いしてました。訂正します。
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０００ ０ ０ ０ ０ １
００１ ０ １ １ １ １
０１０ １ １ １ １ １
０１１ １ １ １ １ １
１００ １ １ ０ １ １
１０１ １ １ １ １ １
１１０ １ １ １ １ １
１１１ １ １ １ １ １
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結果的に、ですが間違った真理表は(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)を示すものです。
(∨を∧と読み替えればですが)
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>>75
訂正オッケーです。
念のため…
pq¬p ¬qp∨qp∧qp⇒q| ¬p∨q
00 1 1 0 0 1| 1
01 1 0 1 0 1| 1
10 0 1 1 0 0| 0
11 0 0 1 1 1| 1
です。これで(p⇒q)⇔(¬p∨q)が言えたりする訳です。
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>>77
ありゃりゃ。
大幅にズレた。
全角で書かないとだめなのかな
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これでいいかな？
ｐ ｑ ¬ｐ ¬ｑ ｐ∨ｑ ｐ∧ｑ ｐ⇒ｑ | ¬ｐ∨ｑ
０ ０ １ １ ０ ０ １ ｜ １
０ １ １ ０ １ ０ １ ｜ １
１ ０ ０ １ １ ０ ０ ｜ ０
１ １ ０ ０ １ １ １ ｜ １
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>>78
空白は全角で書かないとだめみたいですよ
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まだズレる…。
ｐ ｑ ¬ｐ ¬ｑ ｐ∨ｑ ｐ∧ｑ ｐ⇒ｑ | ¬ｐ∨ｑ
０ ０ １ １ ０ ０ １ ｜ １
０ １ １ ０ １ ０ １ ｜ １
１ ０ ０ １ １ ０ ０ ｜ ０
１ １ ０ ０ １ １ １ ｜ １
こうか？
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>>75-76
㌧クスです。これで漸く納得しますた。
試しに修正してみますた。
p q ¬p ¬q p∨q p∧q p⇒q | ¬p∨q
0 0 1 1 0 0 1 | 1
0 1 1 0 1 0 1 | 1
1 0 0 1 1 0 0 | 0
1 1 0 0 1 1 1 | 1
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あちゃ。微妙にズレちった。
>>57の続きは今日の夕方ごろにやりたいと思います。
んでは！！
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B) 共通部分
2つの集合A, Bの両方に共通な元全体の集合を
AとBとの共通部分と言い、A∩B で表します。
記号∩は”交わり（meet あるいは cap）”と読みます。
内包的記法で書けば
A∩B={x| x∈A, x∈B}
となります。 # 右辺のコンマは’かつ’の意味。
一般に、A∩B≠φのとき A, B は”交わる”と言い、
A∩B＝φのとき A, B は”交わらない”または”互いに素である”と言います。
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共通部分についても、和集合の場合と同様に、次の事柄が成立します。
(2.2)' A⊃(A∩B), B⊃(A∩B).
(2.3)' A⊃C, B⊃C ⇒ (A∩B)⊃C.
(2.2)', (2.3)' より、A∩B は A, B の両方に含まれる集合のうちで’最大’のものとなります。
(2.4)' A∩A＝A （巾等律） →読み方は「べきとうりつ」で合ってるでしょうか？？
(2.5)' A∩B＝B∩A （交換律）
(2.6)' (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （結合律）
(2.6)' から、>>52と同様にして、A_1∩A_2∩…∩A_n という表現のどこに
どのような順序で括弧をつけても、結果として得られる集合には変わりはありません。
（9-man註；これは結合律を有する演算全般について言えることです。）
そこで、括弧を省略して、この集合を
A_1∩A_2∩…∩A_n または ∩[i=1,n]A_i
と書きます。これは A_1, A_2, …, A_n の共通部分と呼ばれます。
(2.7)' A⊂B ⇔ A∩B＝A.
(2.8)' A⊂B ⇒ (A∩C)⊂(B∩C).
(2.9)' φ∩A＝φ.
ここらへんの証明は全部>>57と同様にしてできます。
(2.8)' の逆は必ずしも成り立たない…(☆) ことを示しておきます。
［(☆)の証明］ 以下に反例を1つ挙げる。
A＝{1, 2, 3}, B＝{1, 3, 4}, C＝{1, 4} とすると、
A∩C＝{1}, B∩C＝{1, 4} だから (A∩C)⊂(B∩C) が成り立つが、
このとき 2∈A, 2∉ฺB だから A⊄ฺB. （終）
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以上の (2.2)-(2.9), (2.2)'-(2.9)' はそれぞれ結び∪と交わり∩についての性質です。
さらに∪と∩との間には、次の分配律とよばれる関係が成立します。
(2.10) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C),
(2.10)' (A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C).
［(2.10)の証明］ # (2.10)'の証明は同様なので省略します。
x∈(A∪B)∩C
⇔ x∈A∪B かつ x∈C
⇔ (x∈A または x∈B) かつ x∈C
⇔ (x∈A かつ x∈C) または (x∈B かつ x∈C)
⇔ x∈A∩C または x∈B∩C
⇔ x∈(A∩C)∪(B∩C). （終）
また、次の吸収律と呼ばれる関係もあります。
(2.11) (A∪B)∩A＝A,
(2,11)' (A∩B)∪A＝A.
［(2.11)の証明］ #(2.11)'の証明は同様なので省略します。
(2.3) より (A∪B)⊃A, 部分集合の定義より明らかに A⊃A.
ゆえに、(2.3)' より ((A∪B)∩A)⊃A
一方、(2.2)' より ((A∪B)∩A)⊂A.
∴ (A∩B)∪A＝A. （終）
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とりあえずここまででストップします。
質問等あればどうぞ。
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>>87
質問じゃないけど、A∩Bは
the intersection of A and B
AとBのインターセクション
って読む人が圧倒的大多数でした。
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>>85
＞A∩B は A, B の両方に含まれる集合のうちで’最大’のものとなります。
この観点は重要です。
同様に
A∪BはA,Bの両方を含む集合のうち’最小’のものですね。
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>>88
あ、それ前にも教わったやつですね。
最近の教科書はそちらで書かれてるんでしょうか。
あと、>>85の「巾等律」の読み方を教えて下さい…
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>>89
デデキントカットのへんで出てきたやつに似てる気がします。
上界の最小が上限、下界の最大が下限、みたいな。
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>>90
教科書でどう読まれてるかはちょっと不勉強で知りません。
会話中ではインターセクションという言い方以外あまり耳にしません。
元のことを要素という人も現実には滅多にいません。元素というひとは
一人も知りません。
冪等律(←本字だとこう)は「べきとうりつ」って読みますよ。
この「冪」って字については解析概論に何か書いてあったような記憶が。。
巾の字を流行らしたのは高木貞治先生であったというのも聞いたことがあります。
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>>91
抽象代数でも測度論でもこんな感じの話は出てきます。
それで、こういう観点が重要だと思うのです。
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９乙
質問ありませぬ
＞A∪BはA,Bの両方を含む集合のうち’最小’のものですね。
ここ書いてませんでした。
重要な事なんですね・・・
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>>92
了解です。
解析概論、今手元にないのでわからないですが
また今度図書館に行って調べてみます。
>>93
了解。
>>94
どんまいｗｗｗｗ
続きの分担どうしますか。
§2はあと C, D, E, F, 問題1-9 がありますけど。
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本買えYO！
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俺Fは最後がよくわからんのでパス。
他の部分ならOK。
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>>97
じゃ、C, Dお願いできますか。
俺がE, Fをやります。
問題はラーメン氏、先生、俺の3人で分割くらいにしましょうか。
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OK。
だけど、先生はいいんだろうか？
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>>99
いいですよ。私がとくべき問題番号を指定してください。
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>>99-100
㌧クスです。どうしようかな。
問題番号を mod 3 で振り分けますか。
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>>101
お二人で決めてください。従いますので。
伝衛門の散歩にいってきます。
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ほほぅ
じゃ4で
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>>103
mod3だっていってんだろうがハゲ！！
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4ってなにー？？？
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>>104
ﾜﾛﾀｗｗｗｗ
微妙に（・∀・）の阿寒…
>>ラーメン氏
では (1,4,7), (2,5,8), (3,6,9) のなかから
お好みのセットをお選びください。
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初の自演ですた
はぁしょーもな
じゃ1
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じゃ俺は3, 6, 9に挑戦します。
C・D: ラーメン氏
E・F: ９−ｍａｎ
問題1, 4, 7: ラーメン氏
問題2, 5, 8: 先生
問題3, 6, 9: ９−ｍａｎ
じゃ、こういう割付けでおながいします。
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了解。
じゃとっととやりますか
-
俺の担当分は明日の夕方頃になると思います。
よろしくおながいします。
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C) 差
A,Bが2つの集合のとき、Aの元であってBの元でないもの全体のつくる集合を
A,Bの差(AからBを引いた差)といい、A-Bで表す。
すなわち、A-B={x｜x∈A∧x○B}
特にA⊃Bである場合には、A-Bを、Aに対するBの補集合という。
○=∈の否定です。すんません。
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D) 普遍集合
数学の理論においては、そのとき考えている集合は全て、ある1つの定まった
集合Xの部分集合である、ということがはっきりわかっているような場合が
少なくない。そのような場合、その定まった集合Xのことを、その考察における
普遍集合または全体集合という。
普遍集合Xが与えられているときには、集合A(Xの部分集合)のXに対する補集合
X-Aを、単にAの補集合といい、通常、記号A^cで表す。(Aの右肩にc)
-
>>111
「xはBの元ではない」は「¬(x∈B)」って表記すればいいんじゃないですか。
-
xをXの元を表す変数とすれば、A^c={x｜x∉ฺA} あるいは、x∈A^c⇔x∉ฺA
である。
A^cの定義から、明らかに次の諸法則が成立する。
(2.12) A∪A^c=X,A∩A^c=Φ
(2.13) A^cc=A (ただし、A^ccはAの補集合の補集合)
(2.14) Φ^c=X,X^c=Φ
(2.15) A⊂B⇔A^c⊃B^c
(2.15)だけ証明しておきます。他のは明らかだと思うので・・・
xをXの元を表す変数とする。A⊂B⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(x∉ฺB⇒x∉ฺA)⇔
(x∈B^c⇒x∈A^c)⇔A^c⊃B^c
また、次の2つの法則は、"de Morganの法則"と呼ばれる。
(2.16) (A∪B)^c=A^c∩B^c
(2.16)' (A∩B)^c=A^c∪B^c
(2.16)の証明:xをXの任意の元とするとき、x∈(A∪B)^c⇔x∉ฺA∪B⇔(x∉ฺA)∧(x∉ฺB)
⇔(x∈A^c)∧(x∈B^c)⇔x∈A^c∩B^c より成立。
(2.16)'も同様。
-
>>113
一応９が用意してくれた記号があったもので。>>114では使いました。
-
>>114
(2.12)の証明をお願いします。
-
(2.12)の証明
xをXの元を表す変数とすれば、
(1つ目)x∈A∪A^ｃ⇔x∈A∨x∈A^c⇔x∈A∨x∉ฺA
(2つ目)x∈A∩A^ｃ⇔x∈A∧x∈A^c⇔x∈A∧x∉ฺA
-
2つ目はA∩A^ｃが空集合でないとすると矛盾、といったほうが
いいのでしょうか
-
あ、1つ目もですか
-
なんかよくわからなくなってきますた
-
>>120
1つ目は
A⊂X,A^ｃ⊂XよりA∪A^c⊂X,
x∈X∧(¬(x∈A∪A^c))とすると
x∈X∧(¬(x∈A)∧¬(x∈A^c))
即ちx∈X∧(¬(x∈A)∧(x∈A)).
これは常に偽.よって
x∈X⇒x∈A∪A^c
即ちX⊂A∪A^c
って感じでいいんじゃないでしょうか。
-
>>121
なるほど。(p⇒q)⇔(¬p∨q)ですか。
>>117の右端x∈A∨x∉ฺAからx∈Xと言ったらまずいですか？
2つ目は、A∩A^ｃが空集合でないとすると、
x∈A∩A^cとなるXの元xが存在するが、
x∈A∩A^ｃ⇔x∈A∧x∈A^c⇔x∈A∧x∉ฺA
となり矛盾。
でいいですか？
空集合であることを示すにはどんな手段があるんでしょうか？
-
>>122の訂正
>>117の1つ目の右端x∈A∨x∉ฺA⇔x∈Xと言ったらまずいですか？
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>>123
いいの・・・かなぁ？？？
特に問題ないようにも思いますけど。
先生の解説待ちってことで…
続き逝きます。
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E) 集合系，巾（べき）集合
集合の集合、すなわち
その元がすべてそれ自身集合であるような集合を、
一般に、”集合系（集合族）”と呼ぶ。
集合系はしばしば、ドイツ大文字で表される。
# ドイツ大文字の表示のしかたがわからないので、
ドイツ語Ａ → Å、Ã （オングストローム、＆Ａｔｉｌｄｅ；）
ドイツ語Ｂ → ℬฺ （＆＃８４９２；＆＃３６４２；）
ドイツ語Ｍ → ℳฺ （＆＃８４９９；＆＃３６４２；）
ドイツ語Ｎ → Ñ （＆Ｎｔｉｌｄｅ；）
などで代用することにしましょう。
-
Xを任意の集合とするとき、
その部分集合全体のつくる集合系、すなわち、
Xのすべての部分集合の集合を、Xの巾集合（power set）と言います。
本書ではこれを ℬฺ(X) で表します。
（確か 2^X って表し方もあったと思います）
特に、X＝φの場合、その部分集合はφただ1つだけなので、ℬฺ(φ)＝{φ}。
一般にXがn個の元から成る有限集合のとき、
ℬฺ(X)は 2^n 個の元を持つ集合となります。 …(☆)
［(☆)の証明］ nに関する数学的帰納法で証明する。
n=1 ならば、Xの部分集合はX自身とφの2つのみであるから(☆)は正しい。
次に n≧2 とし、簡単のため X={1, 2, …, n-1, n}、X'={1, 2, …, n-1} とする。
Xの部分集合でnを含まないものは、X'の部分集合であるから、
それらは帰納法の仮定によって2^(n-1)個存在する。
また、Xの部分集合でnを含むものは、X'の部分集合にnを付け加えて得られるから、
それらも2^(n-1)個存在する。
したがって、Xの部分集合は、全部で 2^(n-1)+2^(n-1)=2^n 個存在する。（終）
# これは X＝φ（すなわちn=0）のときも成立します。
ある1つの普遍集合Xの巾集合ℬฺ(X)の部分集合であるような部分集合系
―すなわちXのいくつかの部分集合から成る集合系― を、
一般にXの”部分集合系”と言います。
-
F) 集合系の和集合，共通部分
1つの集合系Ãが与えられたとき、
Ãに属する少なくとも1つの集合の元となっているようなもの全体のつくる集合を、
’Ãに属するすべての集合の和集合’あるいは簡単に’集合系Ãの和集合’と言い、
記号 ∪Ã ∪[A∈Ã]A ∪{A| A∈Ã} などで表します。
また、Ãに属するすべての集合に共通な元全体の集合を、
’Ãに属するすべての集合の共通部分’あるいは’集合系Ãの共通部分’といい、
記号 ∩à ∩[A∈Ã]A ∩{A| A∈Ã} などで表します。
ここで、論理記号∀、∃についての説明です。
一般に、変数xを含む1つの文章があるとき、’すべてのxに対してpが成り立つ’ことを
∀x(p)
という記号で表し、’pが成り立つようなxが（少なくとも1つ）存在する’ことを
∃x(p)
でという記号で表します。
また、Xを1つの集合とするとき、’Xのすべての元xに対してpが成り立つ’ことと、
’pが成り立つようなXの元xが存在する’ということを、通常それぞれ
∀x∈X(p), ∃x∈X(p)
と表します。
集合系Ãの和集合∪Ã、共通部分∩Ãは、それぞれ
∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)}
∩Ã＝{x| ∀A∈Ã(x∈A)}
と書き表すことができます。
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集合系Ãの和集合∪Ã、共通部分∩Ãは、それぞれ
∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)}
∩Ã＝{x| ∀A∈Ã(x∈A)}
と書き表すことができます。
上の定義から、次のことが成り立ちます。
(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)]
(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C
(2.17)' ∀A∈Ã[A⊃(∩Ã)]
(2.18)' [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∩Ã)⊃C
これらは (2.2), (2.3), (2.2)', (2.3)' の一般化であって、
(2.17), (2.18) は、∪Ãが、Ãに属するすべての集合を
含むような集合のうちで最小のものであって、
(2.17)', (2.18)' は、∩Ãが、Ãに属するすべての集合に
含まれるような集合のうちで最大のものであることを、それぞれ示しています。
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俺がFをパスした理由なんだけど、p21の
¬(∀x∃y∀z(p))≡(∃x∀y∃z(¬p))
が示せませぬ。(述語論理サボったんで・・・)
これと(2.17)の証明お願いします。
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漸く帰還。
>>122
Xを全体集合としてるわけですから一つ目が言えてれば
Φ=X^c=(A∪A^c)^c=A^c∩(A^c)^c=A^c∩A=A∩A^c
でもいいんじゃないでしょうか。
x∈A∨x∉ฺA⇒x∈Xはともかく
x∈X⇒x∈A∨x∉ฺAを言ってもいいかどうかわからんので
>>121のようなことを試みたのです。
>>125
集合系ってのも集合族って言い方の方が耳慣れてる気がします。
ℬฺはドイツ語のBではなくドイツ語のPです。
間違えやすい字だけど。power set のpなのかな？
でもpower setって英語だしな。。わからん。
>>128
>>129でLAR-menさんも仰ってますが、(2.17),(2.18),(2.17)',(2.18)'
の証明をお願いします。
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↑名前入れ忘れました。
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>>130
＞Φ=X^c=(A∪A^c)^c=A^c∩(A^c)^c=A^c∩A=A∩A^c
ヒャー
そうですね！
こういうのってなんか地力の差を感じます。
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Φ=X^cを見落としてた、っていえばそれまでですが、
なんかこういうシンプルなものほど実力の差を感じてしまう
って変ですか？
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>>133
どこに目がいってるかという問題だから、
やっぱり慣れてるかどうかが大きいんじゃないでしょうかね。
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練習量って話じゃないとは思いますが。
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すいません、(2.17),(2.18),(2.17)',(2.18)'今からやりまつ。
巾集合の記号にℬฺは使わないほうがいいんでしょうか。
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¬(∀x∃y∀z(p))≡(∃x∀y∃z(¬p))
後でこれもお願いしますよ
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>>136
ぜんぜんオッケーですよ。2^Xなんかより一般的だと思います。
手書きでもpc上でもぺーの字があんましうまくかけないので
2^Xをつい使ってしまいますが。
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>>137
へい、今から頑張りますｗｗｗｗ
>>138
了解です。
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【(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)] の証明】
A∈Ã ⇒ A⊂(∪Ã) を示せばよい。
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈A に対して x∈(∪Ã).
∴ A⊂(∪Ã). （終）
【(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊂C)
⇒ (A⊂(∪Ã) ⇒ A⊂C) （∵(2.17)）
⇔ (∪Ã)⊂C. （終）
【(2.17)' ∀A∈Ã[A⊃(∩Ã)] の証明】
A∈à ⇒ A⊃(∩Ã) を示せばよい。
A∈à のとき、（Ãの共通部分の定義 ∩Ã＝{x| ∀A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈(∩Ã) に対して x∈A.
∴ A⊃(∩Ã). （終）
【(2.18)' [∀A∈Ã(A⊃C)] ⇒ (∩Ã)⊃C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊃C)
⇒ (A⊃(∩Ã) ⇒ A⊃C) （∵(2.17)'）
⇔ ∩Ã⊃C. （終）
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>>137
[1] ¬(∀x(p))≡∃x(¬p)
[2] ¬(∃x(p))≡∀x(¬p)
を既知とします。
【¬(∀x∃y∀z(p))≡∃x∀y∃z(¬p) の証明】
¬(∀x∃y∀z(p))
≡ ¬(∀x(∃y(∀z(p))))
≡ ∃x(¬(∃y(∀z(p)))) （∵[1]）
≡ ∃x(∀y(¬(∀z(p)))) （∵[2]）
≡ ∃x(∀y(∃z(¬p))) （∵[1]）
≡ ∃x∀y∃z(¬p) （終）
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…ツッコミ等おながいします。
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スマソ。長電話してた。ちょっと待って。
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【(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)] の証明】
A∈Ã ⇒ A⊂(∪Ã) を示せばよい。
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈A に対して x∈(∪Ã). ←(ここもっと詳しくお願いします。①)
∴ A⊂(∪Ã). （終）
【(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊂C)⇒ (A⊂(∪Ã) ⇒ A⊂C) ←(X⇒Yのとき、(X⇒Z)⇒(Y⇒Z)？②)
⇔ (∪Ã)⊂C. ←((P⊂Q⇒P⊂R)⇔Q⊂Rは、正しいと思うけど、どっかで証明したっけ？③)
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すいません、>>140訂正です。
3行目
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)} より）
14行目
A∈à のとき、（Ãの共通部分の定義 ∩Ã＝{x| ∀A∈Ã(x∈A)} より）
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>>145
了解です。
それは気づいてますた。
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>>144
① A∈Ã の条件の下でなら、常に
x∈A ⇒ x∈∪Ã
が成立します。
それは、∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)}という定義から
自明としてよいのではないでしょうか。
② あ、、、マズいですね…考え直しまつヽ(`Д´)ﾉ ｳﾜｧｧﾝ!!
③ 何だかこれもマズいような気がしてきますた（´Д｀；）
少し時間をください。
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∀,∃,∈,Åが混在してるとどうやって形式的に示したらいいかわからんね。
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