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「集合・位相入門」輪読会
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【(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)] の証明】
A∈Ã ⇒ A⊂(∪Ã) を示せばよい。
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈A に対して x∈(∪Ã).
∴ A⊂(∪Ã). （終）
【(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊂C)
⇒ (A⊂(∪Ã) ⇒ A⊂C) （∵(2.17)）
⇔ (∪Ã)⊂C. （終）
【(2.17)' ∀A∈Ã[A⊃(∩Ã)] の証明】
A∈à ⇒ A⊃(∩Ã) を示せばよい。
A∈à のとき、（Ãの共通部分の定義 ∩Ã＝{x| ∀A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈(∩Ã) に対して x∈A.
∴ A⊃(∩Ã). （終）
【(2.18)' [∀A∈Ã(A⊃C)] ⇒ (∩Ã)⊃C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊃C)
⇒ (A⊃(∩Ã) ⇒ A⊃C) （∵(2.17)'）
⇔ ∩Ã⊃C. （終）
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