「集合・位相入門」輪読会 - 1078049875

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
362：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:05: 途中抜けますたｽﾏｿ

なんか、（「または」と「かつ」で様子が違ってくるのは）写像の1つの特色ですよね。
363：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 18:09: (4.4)はどうしよう。そんなに困らないと思ったけど…。
364：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 18:10: >>362
どこかに書いたけど、逆像なら比較的ラフに扱えるんですがね。
365：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:14: >>363
Aの像からPの像を取り除いた集合が、
(A－P)の像全体に含まれるんですよね。
自分の頭の中では、感覚的にはほぼ自明なんですけど、
式で示そうと思うと…。
>>358のやつも頭では理解してるっぽいんだけど、
式にできないんです。
366：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 18:20: >>365
えーっとね。できるだけ自明って言葉は使わないことにしませんか？
「説明できないことと自明なことってのは別だよ」って指導教官にいわれてた人がいました。
367：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:22: >>366
あ、はい。もちろんそれも解かってます。
(4.4)と>>358もう一度考えてみます。
368：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 19:07: むぅぅ
369：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 19:10: ＞LAR-men氏
(4.4)できます？？？俺はもう全然だめぽなんですけど…
370：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 19:20: 9ｶﾞﾃﾞｷﾅｲﾉﾆｵﾚｶﾞﾃﾞｷﾙﾜｹﾈｰﾖ
371：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 19:26: 工エｴェｪ(´д｀)ｪェｴエ工
372：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 19:33: 二つの同じ文字が出てきたらそれらは普通同じものだと思ってしまいますよね。

直接証明にこだわらなくても…
373：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 19:34: 工エｴェｪ（・３・）ｪェｴエ工
374：９ （SpxcWT76）：2004/03/26(金) 11:51: 　　(4.4).　　f(A－P)⊃f(A)－f(P).

⇔ B－f(A－P)⊂f(P)

？？？混乱するだけ・・・
375：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/26(金) 16:50: >>374
途中までは普通にA⊂B型の命題を証明する風に。
そんで、あとは…。
376：９ （SpxcWT76）：2004/03/26(金) 23:23: うぐぅ。先に進めない
377：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/26(金) 23:45: >>376
(4.4)だけ私がしましょうか？
378：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/26(金) 23:49: >>377
>>358の上の疑問もおねげえしますだ
379：９ （SpxcWT76）：2004/03/26(金) 23:57: おながいします
380：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/26(金) 23:59: >>378
(4.4)
x∈f(A)-f(P)⇔(x∈f(A))∧￢(x∈f(P))
⇔(∃a∈A;f(a)=x)∧￢(∃b∈P;f(b)=x)
⇔(∃a∈A;f(a)=x)∧(∀b∈P,f(b)≠x)
この条件のもとで
￢(x∈f(A-P))であるとすると
￢(x∈f(A-P))⇔￢(∃c∈A-P;f(c)=x)
⇔∀c∈A-P,f(c)≠x.
不合理.

>>358
x∈f(P_1)∩f(P_2)
⇔x∈f(P_1)∧x∈f(P_2)
⇔(∃b∈P_1;f(b)=x)∧(∃c∈P_2;f(c)=x).
これから
∃d∈P_1∩P_2;f(d)=x
はいえなくても不思議ではないのでは。
381：９ （SpxcWT76）：2004/03/27(土) 00:11: >>380
前半…うわぁぁっぁあああん納得ですー！！！！
後半…「または」の場合↓はなぜ言えるんでしょうか。
　　　　自明としてもいいんでしょうか。

(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}
382：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 00:24: >>380
納得です・・・
ふぅ。うぐぅ。
383：Ενταξει＠携帯：2004/03/27(土) 00:25: >>381
えーっと。
考えてみませんか？
384：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 00:30: >>380後半
b,c,dとか文字を変えて考えるべきでした。
385：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 00:38: >>381
(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=x) ⇔ {∃b∈P_1(f(b)=x)}∨{∃c∈P_2(f(c)=x)}
としたほうが誤解がなくてよいと思う
386：９ （SpxcWT76）：2004/03/27(土) 07:24: >>385
あ、なるほど～。それだけでもずいぶん掴みやすくなりますね。
(左辺)⇒(右辺) は明らか、(右辺)⇒(左辺) は背理法でOKですね。
387：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 21:42: じゃ次いきますか
388：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 02:58: B)　全射、単射、全単射

　fをAからBへの写像とすれば、写像の定義によって、その定義域D(f)は
始集合Aと一致するが、値域V(f)=f(A)は、一般には、終集合Bと一致しない。
特に、f(A)=Bが成り立つとき、fはAからBへの全射である、あるいは、fは
AからBの上の写像であるという。f:A→Bが全射であるというっことは、Bの
どの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φであること、すなわちf(a)=bとなるような
Aの元aが少なくとも1つ存在することにほかならない。
　注意　上の語法に対応して、AからBへの一般の写像を、AからBの中への写像
ということがある。
389：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 03:03: >>388
　AからBの上の写像であるという。
→AからBの上への写像であるという。
ではないですか？
390：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 03:13: >>389
すいません。そうです。
391：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 03:20: ＞f:A→Bが全射であるということは、Bのどの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φ

f(A)={b|∃a∈A(f(a)=b)}=Bより、∀(b∈B)∃(a∈A)(f(a)=b)
392：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 03:24: {f|fはAからBの上への写像}⊂{f|fはAからBの中への写像}
なんですかね。それとも
{f|fはAからBの中への写像}∩{f|fはAからBの上への写像}=Φ
なのでしょうかね。
393：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 03:29: 後者でないとわざわざ"中への"と呼ぶ意味がないような気がするんですが、
ぱっと見前者のような気もしますね・・・
394：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 03:31: >>393
そうなんですよ。後者と解釈すべきだと思います。
というか私は後者だと思っとりました。手元にﾃｷｽﾄが
ない人は前者だと思ってしまいそうなので、はっきり後者だと
書いちゃいましょう。松坂の書き方が悪いってことで。
395：９ （SpxcWT76）：2004/03/29(月) 18:08: 松坂さんの書き方から察するに前者だと思いますが…
「一般の写像」ですし。
396：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 19:26: 釣りだよきっと
397：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 19:51: >>396
はははは。釣りだね。
398：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 20:55: 訂正

＞f:A→Bが全射であるということは、Bのどの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φ

f(A)={b|∃a∈A(f(a)=b)}=Bより、b∈B⇔∃a∈A(f(a)=b)
したがって、Bのどの元bに対しても、f^(-1)(b)={a|f(a)=b}≠Φ

こっちのほうが良さげ
399：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 21:23: (続き)

　また、写像f:A→Bは、Aの任意の元a,a'に対し、
　　　　　　　　a≠a'⇒f(a)≠f(a')
あるいは、同じことであるが、(対偶)
　　　　　　　　f(a)=f(a')⇒a=a'
が成り立つとき、AからBへの単射である、またはAからBへの1対1の写像で
あるといわれる。f:A→Bが単射であること(①)は、fの値域V(f)の任意の元bに
対して、f^(-1)(b)がいつもAのただ1つの元から成ること(②)と、明らかに、
同等である。
　写像f:A→Bが同時に全射かつ単射であるとき、fはAからBへの全単射である
という。
400：９ （SpxcWT76）：2004/03/29(月) 21:46: >>396-397
釣りって…？？？

「上への」「中への」の言葉のニュアンスの問題かもしれないけど
「上への写像」⊂「中への写像」　じゃないですか？？？

>>399
単射の定義ですが、
　　　　　　　　a＝a' ⇔ f(a)＝f(a')
と書いても同じことですよね。
401：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 21:57: ①⇒②

bはV(f)の元だから、全てのbについて、f^(-1)(b)≠Φ。あるbに対してf^(-1)(b)が
2つ以上のAの元から成ると仮定して矛盾を導く。あるbに対して、f^(-1)(b)={a|f(a)=b}より、
f(a_1)=f(a_2)=bとなるが(a_1,a_2は相異なるAの元)、これは単射の定義に反する。

②⇒①

全てのb∈V(f)についてf^(-1)(b)={a|f(a)=b}がただ1つの元からなる(#)とき、
ある相異なるAの元a_1,a_2が存在してf(a_1)=f(a_2)となると仮定すると、
b∈V(f)かつb=f(a_1)=f(a_2)となるbが存在し、これは(#)に矛盾。
402：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 22:04: >>400
俺も最初そう思ったんだけど、そうだとすれば、わざわざ"中への"という
言葉は要らないんじゃないかと。写像なのはわかってるんだし。

なるほど。そだね。
403：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/30(火) 02:20: >>398
そうですね。

>>399
はい。

>>400
温泉から帰ってくる途中で>>397だけレスしてしまいましたが、
ぐぐってみるとどちらの解釈をしてる人もいますね。
松坂以外のこの手の本は４、５冊持ってるはずですが、
整理が悪いので、どこにあるか分かりません。探す気力が
出てきたときに調べてみます。

後半そのとおりですね。

>>401
はい納得です。
404：９ （SpxcWT76）：2004/03/31(水) 01:55: >>401
おｋです。

>>403
了解です。

明日東京に引越しします。
ネットつなぐのがその数日後になるので（詳しい日程は未定）、
それまでは携帯からしか閲覧できませぬ（ ´Д⊂ヽ
なるべく早く復帰しますのでよろしくおながいしまつ。
405：９ （SpxcWT76）：2004/03/31(水) 01:56: 明日じゃなかった。今日ですｗｗｗ
406：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 03:38: 「中への写像」について。
ひとつ本が見つかりました。

彌永昌吉、小平邦彦「現代数学概説 I」1961,岩波書店p12.
値域と終集合との一致しているような写像を全射(surjection, Bourbakiによる)という.
　　fがMからNへの全射であるとき,fはMからNへの上への(onto N, sur N)写像であるともいう.
　　(それに対して,MからNへの一般の写像をMからNの中への(into N)写像ということもある)

うー。松坂とおんなじ書き方ですね。{f|fはMからNへの写像}={f|fはMからNの中への写像}なのだろうか。
407：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 21:07: >>406
微妙ですね、、、滅多に使わない言葉だってことでしょうか。
たぶん数学者たちもあまり気にしないんでしょうね。

全単射まで行ったので次はp.33の例1～ですね。
今からまとめてみます。
408：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 23:24: 　例1　f_1, f_2, f_3, f_4, f_5 をそれぞれ次の式で定義されたRからRへの写像とする：
　　　　　　f_1(x)=x+1，　f_2(x)=x^3，　f_3(x)=x^3-x，
　　　　　　f_4(x)=a^x （a>0, a≠1），　f_5(x)=x^2．

f_1はRからRへの全単射。
【全射であることの証明】
　　∀x∈R（f^(-1)(x)＝x-1(∈R)≠φ）。
　　上の議論（>>388,398）よりf_1は全射。
【単射であることの証明】
　　x_1≠x_2 ⇔ x_1+1≠x_2+1 ⇔ f_1(x_1)≠f_2(x_2) であるから、
　　上の議論（>>399-401)よりf_1は単射。
409：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 23:24: f_2もRからRへの全単射。
【全射であることの証明】
　　∀x∈R（f_2^(-1)(x)＝x^(1/3)(∈R)≠φ）。以下同様。
【単射であることの証明】
　　x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 ⇔ f(x_1)≠f(x_2)。以下同様。

f_3はRからRへの全射であるが、単射ではない。
【全射であることの証明】
　　lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
　　f_3は連続写像であるから（p.175以降で扱ってるっぽいです）、
　　中間値の定理より ∀x∈R(∃y∈R(f_3(y)=x)), すなわち ∀x∈R（f_3^(-1)(x)≠φ）。以下同様。
【単射でないことの証明】
　　f_3(0)=f_3(1)=0 だから、f_3は単射の条件を満たさない。
410：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 23:28: ちょっと少ないですけど…もう寝ないといけないので。
続きは明日の午前にちょっとできると思います。
明後日と明々後日はオリ合宿行ってくるので、
その間は適当に進めちゃってください。
411：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/03(土) 00:53: >>408
おｋ。単射であることの証明は対偶バージョンを遣うほうが分かりやすいように思う。
同じことのはずだが。

>>409
f_2について
すべての実数がその三乗根をもつことはあんまり明らかではないのでは。
単射のほうも書いてあることは嘘じゃないけど、その書いてあることを証明しンなんのとちゃうかな。

f_3について
全射の証明。中間値の定理は両端の値が+∞,-∞のときもつかっていい？
412：９ （SpxcWT76）：2004/04/03(土) 08:52: >>411
前半了解です。

f_2について
正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
0の3乗根は0のみ。
これも証明しないとダメですか…？？？

単射のほう、x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 の証明ですか？？？考えてみまつ。

f_3について
良いんではないでしょうか。
lim[x→∞]f_3(x)＝∞ というのは ∀x∈R(∃y_0∈R(∀y≧y_0(f_3(x)≧y))) という意味ですよね。
そしたら中間値の定理適用できると思いますけど。
413：９ （SpxcWT76）：2004/04/03(土) 11:29: 訂正
∀y∈R(∃x_0∈R(∀x≧x_0(f_3(x)≧y)))

学校逝っちきまつ
414：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/03(土) 17:42: >>412
＞正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
＞負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
＞0の3乗根は0のみ。
これなんでっていわれたら困るでしょう。だから自明ではないけど、
準備不足で今の我々には不明として保留にしておきましょう。

単射であることの証明は引き続き考えてください。

lim[x→∞]f(x)＝∞⇒∀y∈R(∃x_0∈R(∀x≧x_0(f(x)≧y)))
だったら中間値の定理が適用できるのはなぜか、というより
中間値の定理を実際に適用した形の証明を書いてください。
415：９ （SpxcWT76）：2004/04/06(火) 07:20: 【x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 の証明】
>>412の
＞正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
＞負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
＞0の3乗根は0のみ。
を認めることにすれば、
x_1, x_2∈R に対して (x_1)^3＝(x_2)^3 ⇔ x_1＝x_2。
⇒, ⇐ฺ それぞれについて、その対偶命題も真であるから、
x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3.　（終）

中間値の定理のはこの後考え松。
416：９ （SpxcWT76）：2004/04/06(火) 21:11: 今度こそ！！！ｗｗｗｗ

f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
　　lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
　　つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
　　f_3は連続写像であるから（p.175以降で扱う）、閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
　　∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀x∈R（f_3^(-1)(x)≠φ）。

※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
417：９ （SpxcWT76）：2004/04/06(火) 21:15: 細かいトコ少しだけ訂正させてください。

f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
　　lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
　　つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
　　f_3はRからRへの連続写像であるから（p.175以降で扱う）、
　　閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
　　∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀y∈R（f_3^(-1)(y)≠φ）。
　　よってf_3は全射。

※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
418：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/07(水) 03:31: >>415
(x_1)^3=(x_2)^3
⇔(x_1-x_2)((x_1)^2+x_1*x_2+(x_2)^2)=0…(A)
(x_1,x_2)∈Rなので
(A)⇔x_1=x_2でどうですか。

＃後半は余計なような。。。

>>416-417
Хорошо.
419：９ （SpxcWT76）：2004/04/07(水) 07:52: >>418
後半は余計っていうのは、どこを指しているんでしょうか？？？
420：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/07(水) 12:27: >>419
⇒, ?? それぞれについて、その対偶命題も真であるから、
x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3.

は何でいるんですか？ってことです。
421：９ （SpxcWT76）：2004/04/07(水) 22:00: あ、不要ですね。（言ってることは同じですけど）
422：９ （SpxcWT76）：2004/04/07(水) 22:08: 次です。
　　　　　　f_4(x)=a^x （a>0, a≠1），　f_5(x)=x^2．
について。

f_4: R→R は単射であるが、全射ではない。ｌ
【単射であることの証明】
　　a>1 ならば x_1＜x_2 ⇔ a^x_1＜a^x_2 ⇔ f(x_1)＜f(x_2)。
　　0<a<1 ならば x_1＜x_2 ⇔ a^x_1＞a^x_2 ⇔ f(x_1)＞f(x_2)。
　　いずれの場合も f(x_1)＝f(x_2) ⇔ x_1＝x_2 が成立するから、単射。
【全射でないことの証明】
　　a>0 のとき ∀x∈R(a^x>0) であるから、
　　たとえば f_4(x)＝a^x＝0 を満たす x∈R は存在しない。
　　よって f_4 はRからRへの全射ではない。

f_5: R→R は全射でも単射でもない。
【全射でないことの証明】
　　∀x∈R(x^2≧0) であるから、
　　たとえば f_5(x)＝x^2＝-1 を満たす x∈R は存在しない。
　　よって f_5 はRからRへの全射ではない。
【単射でないことの証明】
　　たとえば、f_5(-1)＝f_5(1)＝1。よってf_5は単射ではない。
423：９ （SpxcWT76）：2004/04/07(水) 23:04: とりあえずレス待ちの状態ですが、次の例もいっちゃいます。

　例2　Aを任意の集合、Pをその部分集合とするとき、
Pの各元aにa自身を対応させることによって、
PからAへの1つの写像 i を定めることができます。
この写像 i は明らかに、PからAへの単射となります。
（∀x∈P(i(x)＝x) となるように写像 i を定めたので、i(a)＝i(b) ⇔ a＝b。）
これを、「pからaへの標準的単射」と呼びます。
特にP＝Aの場合は、標準的単射 i:P→A は
Aの上への（＝全射）恒等写像 I_A （cf. >>280のex3）となり、
これは単射かつ全射なので、AからAへの全単射となります。
424：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/07(水) 23:21: >>422
Хорошо.

>>423
了解.
425：９ （SpxcWT76）：2004/04/07(水) 23:56: 続きは明日の夕方頃にできると思います。
あー、9日以降の授業のとり方も考えないと…
面白そうな講義たくさんあって結構迷いますね。
426：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/08(木) 00:09: >>425
ここで９ちゃんが取る授業ごとにスレッド立てて、
内容を我々に逐一報告してくれたら、復習になって、
シケプリなんぞに頼らなくたって、単位くらい取れるんじゃないですか？
427：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/08(木) 02:01: 納得です。中間値あたりはよくわかってませんが、とりあえず俺のことはほっといて
先に進んでください。
428：９ （SpxcWT76）：2004/04/09(金) 07:17: すいません続きは今日帰ってきてから…
429：９ （SpxcWT76）：2004/04/09(金) 23:34: 　fをAからBへの写像とするとき、その逆対応 f^(-1):B→A は一般には写像ではありません。
どのような場合にこれが写像となるかについては、次の定理が成立します。

　定理4　写像 f:A→B の逆対応 f^(-1):B→A が写像となるための必要十分条件は，
fがAからBへの全単射であることである．またそのとき，f^(-1)はBからAへの全単射となる．
［定理4の証明］
　　対応 f^(-1):B→A が写像であることは、定義によって、
　　任意の b∈B に対して、f(a)＝b となるような a∈A がただ1つだけ存在することである。
　　このとき a_1≠a_2 かつ f(a_1)＝f(a_2) であることはありえないから、
　　a_1≠a_2 ⇒ f(a_1)≠f(a_2)。よってfは単射。
　　またこのとき ∀b∈B(f^(-1)(b)≠φ)。よってfは全射。
　　次に f:A→B を全単射とする。このとき f^(-1):B→A は写像となるが、
　　その逆対応 {f^(-1)}^(-1)＝f が写像であるから、上の議論から f^(-1):B→A も全単射。　（糸冬）

　f:A→B が全単射である場合、定理4によってその逆対応 f^(-1):B→A も写像となります。
これをfの”逆写像”と言います。この場合は写像の記法に従って、
f^(-1)(b)＝{a} の代わりに f^(-1)(b)＝a と書きます。
このとき明らかに f^(-1)(b)＝a ⇔ f(a)＝b。
430：９ （SpxcWT76）：2004/04/10(土) 00:25: 　C)　写像の合成

　A, B, C を3つの集合とし、2つの写像 f:A→B, g:B→C が与えられたとします。
このとき a∈A を任意に与えれば、まずaのfによる像として f(a)∈B が定まり、
次にf(a)のgによる像として g(f(a))∈C が定まります。
このようにして各 a∈A に対してそれぞれ1つずつ g(f(a))∈C が定まるので、
aにg(f(a))を対応させるAからCへの写像φが考えられます。
この写像 φ:A→C をfとgとの”合成写像”または”積”といい、gof（またはgf）で表します。
定義により、すべての a∈A に対して
　　(gof)(a)＝g(f(a))
となります。

　注意　写像fとgとの合成写像は、上のようにfの終集合とgの始集合（定義域）とが
一致するときに限って、定義されます。

中途半端だけど、今日はここまで。
明日は一日お出かけなので更新できるかどうか微妙です。
日曜日はたぶん暇。月曜日は武道館で入学式です（遅
431：９ （SpxcWT76）：2004/04/10(土) 08:56: 今さらだけど>>423訂正。

×　これを、「pからaへの標準的単射」と呼びます。
○　これを、「PからAへの標準的単射」と呼びます。
432：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/10(土) 15:06: >>429-430
ﾅﾄｰｸ
433：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/11(日) 00:37: 納得しますた。
434：名無し研究員さん：2004/04/11(日) 17:04: この板、数学科学生のまじめさを象徴しているみたいで、うれしいなー
435：приезд(☆4)@携帯：2004/04/11(日) 17:15: ようこそ。数学科スレの568くんですか？
436：名無し研究員さん：2004/04/11(日) 18:02: >>429
A，Bを適当な集合、fを適当な写像として
f : A → B を考えます。
１．fに単射性だけを認めた場合
２．fに全射性だけを認めた場合
f^{-1} が存在するような例はありますか？
437：名無し研究員さん：2004/04/11(日) 18:20: >>436
×　認めた場合
○　仮定した場合
に訂正します。つまり１⇔２となる例ということです。
438：９ （SpxcWT76）：2004/04/11(日) 19:03: 「単射性だけを仮定」ってどういう意味ですか？
439：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/11(日) 19:23: ｻﾊﾟｰﾘわかりません
440：９ （SpxcWT76）：2004/04/11(日) 19:57: 「単射であるが、全射ではない」と仮定するってことかな？？？

あと、「f^{-1}が存在するような」は「f^{-1}が写像となるような」って意味？？
441：名無し研究員さん：2004/04/11(日) 20:29: >>440
>「単射であるが、全射ではない」と仮定するってことかな？？？
失敗しました。表現がだめだめで意味不明でした。すみません。

A，Bを適当な集合とし f : A → B を写像とする。
f が単射 ⇔ f が全射
となる例はあるか。

ということを問題にしたかったとです。
442：名無し研究員さん：2004/04/11(日) 20:48: f が単射 ⇔ f が全射？fが全単射ってこと？
443：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/11(日) 21:31: >>441
＞A，Bを適当な集合とし f : A → B を写像とする。
＞f が単射 ⇔ f が全射

この命題はA=Bでfがアイデンティティマップだったら
前件が真、後件が真で
A=B=Rでf(x)=x^3-xだったら
前件が偽、後件が真。
したがって命題自身は偽です。
444：９ （SpxcWT76）：2004/04/11(日) 21:32: 問題の意味がよくわかんないんですけど、
「A, Bを任意の集合とするとき、AからBへの全単射を作れるか？」
って話ですか？？
445：通りすがり：2004/04/11(日) 21:55: >>436 >>441
例えば A も B も元の個数が n 個の有限集合とすると、
f が全射 ⇔ f が単射
が成立しますが、質問の主旨はそういうことでしょうか？
446：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/11(日) 22:06: 面白い例ですね

出題者さん降臨きぼん
447：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/11(日) 23:25: >>446
そうですね。出題者の真の意図はわかりませんが、
>>445はこの節の節末問題に追加しましょう。20問目として。
448：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/11(日) 23:26: 了解です
449：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/11(日) 23:41: では>>436さんが現れて、問題の真意を語ってくれるのを待つとして、
先へ進みませんか？

えーっと。私は今までのようにオブザーバー的な存在でいたほうがいいのでしょうか？
担当者にもなったほうがいいのでしょうか？どちらの立場でいても、
逆のほうがいいのではと思ってしまうので、お二人で決めてもらえないでしょうか。
450：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/11(日) 23:42: ↑担当者になったのは問題を解いた回と、わずかな補完したときだけですが。
451：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/12(月) 00:33: >>449
俺は今まで通りで良いと思います。
2人ともわからない場合はお願いします。
先に進めばそういう所がどんどん出てくると思いますので。

でも3人で回した方が速く進みますよね。
うーん、先生も気が向いたら(変な言い方ですが)担当していただけますか？
452：名無し研究員さん：2004/04/12(月) 01:03: 441ですが
要するにイグザンプルがつくれますか？
という問題にしたかっただけなのです。
「例はあるか」というのはそういう意味のつもりでした。
例えば f が R^n から R^n への線型写像であれば(線形は好かんとです)
単射性と全射性は同値になるので。
もっと他に面白いイグザンプルが出るのではないかしらん？
と期待しておりまして・・・
453：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/12(月) 01:05: >>452
>>445もそういう例になってるわけですね。
454：名無し研究員さん：2004/04/12(月) 01:28: >>453
もちろんでございます。
455：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/12(月) 03:19: >>451
では早速…。

定理5.
f∈B^A,g∈C^Bとする.
(1)　fもgも全射ならばgf∈C^Aも全射である.
(2)　fもgも単射ならばgfも単射である.
(3)　fもgも全単射ならばgfも全単射である.

定理5の証明.
(1)　gが全射であるなら任意のCの元cに対してg(b)=cなるBの元bが存在する.
　このときfが全射であるならf(a)=bなるAの元aが存在する.以上より
　fもgも全射ならば任意のCの元cに対してg(f(a))=cなるAの元aが存在する.
　即ちfもgも全射ならばgfも全射である.

(2)　fもgも単射であるなら(gf)(a)=(gf)(a')⇔g(f(a))=g(f(a'))⇔f(a)=f(a')⇔a=a'.
　即ちgfも単射である.

(3)　fもgも全単射であるなら(1)よりfもgも全射であるからgfも全射である.
　またfもgも全単射であるなら(2)よりfもgも単射であるからgfも単射である.
　以上よりfもgも全単射であるならgfも全単射である.
456：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/12(月) 03:48: 定理6.
(f,g,h)∈(B^A)×(C^B)×(D^C)であるとするとき
(1)　(h(gf),(hg)f)∈(D^A)^2であり,h(gf)=(hg)fである.
(2)　f(I_A)=f,(I_B)f=fである.
(3)　fが全単射ならf(f^(-1))=I_B,f^(-1)f=I_Aである.

＃(1)は写像の合成が結合律を満たすことを示している.
　(2)は合成をA^A上の演算とみたときI_Aが単位元となっていることを示している.
　(3)は合成をA^A上の演算とみたとき全単射fの逆元がf^(-1)となっていることを示している.
　(1),(2),(3)より{f∈A^A|fは全単射}=S_AとおくとS_Aは合成を演算として群をなしていることがわかる.

定理6の証明.
(1)　(f,g)∈(B^A)×(C^B)であるならgfはその定義よりC^Aの元である.
　このことを繰り返すと(h(gf),(hg)f)∈(D^A)^2.
　また,任意のAの元aに対して(h(gf))(a)=h((gf)(a))=h(g(f(a))),
　((hg)f)(a)=(hg)(f(a))=h(g(f(a))).
(2)　任意のAの元aに対してf(I_A)(a)=f(I_A(a))=f(a).
任意のBの元bに対して(I_B)f(b)=I_B(f(b))=f(b).
(3)　bをBの任意の元としf^(-1)(b)=aとする.このときf^(-1)の定義からf(a)=b.よって
f(f^(-1))(b)=f(a)=b.
aをAの任意の元としf(a)=bとする.このときf^(-1)の定義からf^(-1)(b)=a.よって
(f^(-1)f)(a)=f^(-1)(f(a))=f^(-1)(b)=a.■
457：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/12(月) 04:01: 注意.
(f,g)∈(B^A)×(C^B)ならばgfはC^Aの元として定義されるがC⊂Aでない限りfgは定義されない.
仮令(f,g)∈(B^A)×(A^B)でgf,fgが両方とも定義されたとしても,例えばA=B=R,f(x)=x^2,g(x)=x+1
なら(gf)(x)=x^2+1,(fg)(x)=(x+1)^2となり必ずしもfg=gfとはならない.つまり写像の合成は交換律は
一般には満たさない.

以上でC)が終わりですね。

あ、先走ってしまった。>>455-456で出てくる記号A^Bについて。
A,Bがともに集合のときB^AはAからBへの(中への？)写像全体の集合です。
458：９ （SpxcWT76）：2004/04/12(月) 07:06: >>452
へぇ～。面白い！！！考えてみまつ。

>>455
OKです。

>>456
定理6(2) 証明過程で I_A∈A^A, I_B∈B^B であることは言わなくて大丈夫ですか？
他はOKです。

>>457
OKです。
459：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/12(月) 08:54: >>458
＞定理6(2) 証明過程で I_A∈A^A, I_B∈B^B であることは言わなくて大丈夫ですか？
いったほうがいいですね。
460：９ （SpxcWT76）：2004/04/12(月) 20:20: 了解です。
461：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/04/12(月) 23:24: >>456(2)
＞任意のBの元bに対して(I_B)f(b)=I_B(f(b))=f(b).

任意のAの元aに対して(I_B)f(a)=I_B(f(a))=f(a).
ではないでしょうか？

後は納得です。