von Neumann環 N を固定したとき、全行列環 M_n の N への埋め込みは全てユニタリ同値
だってことを論文に書く必要があるんだけど、何かいい文献を誰か知らんかね。
埋め込み e_{ij} と f_{ij} が与えられたときに、e_{11} と f_{11} がM-vN同値であること
を言えばいいんだけど、これは(generalized or extended) dimension function d
に対して n d(e_{11})=d(1)=n d(f_{11}) であることから従う。ところがこのことが
ちゃんと書いてある教科書がないんだよね。忠実状態が存在する（あるいは可分）の
時だけでもいいんだけどね。（可算性の仮定があれば、中心は普通のL^\inftyだし、
次元関数の出力値に基数を使う必要もなく簡単に記述できる。）教科書でなく論文でも
型に関係なく書いてあるのはShermanのしか見つからんかった。忠実状態が存在する
（あるいは可分）の時だけでもいいんだけどね。う〜ん。
II_1でないvN環のcentral sequenceについては疎いんだが、
C*環 A のnorm central sequence (a_n)_n は A^{**} のcentral sequence:
$f( [a_n, x]^* [a_n, x] ) \to 0$ for every x in A^{**} & f in S(A)
って事実は（non-trivialだと思うが）どこかで誰か使ってる？
局所コンパクト群 G が余コンパクト従順閉部分群 H を持っていたら、全C*群環 C*(G) は核型？
余コンパクトとは、等質空間 G/H がコンパクトってことね。
モヂュラ関数 Δ_G|_H と Δ_H が異なるときは、G/H に非零な G 不変測度は存在しないから、
上の条件を満たしていても G が従順になるとは限らない。
条件を強化して、G にコンパクト部分群 K が存在して G = KH としても応用上それほど違わない（？）。
例: G=SL(n,R), H=上三角(可解群), K=SO(n)。より一般に、概連結な G についても同様に G = KH。
概連結な G に対して、C*(G) が核型であることはHilbert 5th + 連結Lie群の表現論から従う。
C*_red(G) が完全であることなら、コンパクト G 空間 G/H が従順であることから分かるんだけどね。
AがC*環, τ 跡状態, p in A 直交射影のとき, 任意の x in pA(1-p), || x || < 1 に対して
τ(1+(p-xx^*)^{1/2}-(1-p-x^*x)^{1/2}) = 2τ(p)
になるんだけど, なんか簡単な理由でもあるのか？
このクイズの答えは掲示板のどこかに書いておいた。
無限局所有限体 K に対して，局所有限群 G=PSL(n,K) のC*群環 A を考えると，
A はAF環で単位指標の核 I は単純環になるのだが，具体的にK_0を計算できないだろうか？
I が単純であることは，I上稠密に定義された正定値跡が正則表現跡の定数倍に限る
ことから従う．（τがI上稠密に定義された実正定値跡ならexp(-τ(1-g))はG上の
正定値跡になるので，鐚損・富むの指標剛性を使うとτ(1-g)がg \neq 1に依らない
ことが分かる．）
Aronszajn--SmithやLomonosovに影響されて次のようなことを考えてみたが、
どうだろうか。余り考えていないので簡単に反例が見つかるかもしれないが。
Aがバナッハ環, V, W が左Aバナッハ加群, T: V -> W がコンパクトA線形写像.
予想： Vは有限次元であるか, 非自明なA不変閉部分空間を持つ.
群 G の(可算)集合 X 上の作用が全面的に従順であるとは、任意の G 軌道上に不変平均があるときを言う。
別の言い方をすれば、\ell_\infty(X) から \ell_\infty(X)^G への G 不変条件付期待値があるときをいう。
G_1 と G_2 が X 上に可換に作用していて、両方とも全面的に従順なら、G_1×G_2 作用も全面的に従順？
証明が見つからないから反例があるのだと思うが、はたしていかに。
有限生成群 G = <S> が擬対角的であることと、
∀ε>0 ∃H \ell_2G の有限次元部分空間
s.t. δ_1 \in H and max_{s∈S} ||[P_H,λ(s)]|| < ε
が同値だ。そのような H の中で dim H を最小化して d_S(ε) と置く。
ε→0 としたときの d_S(ε) の増大度は生成元 S の取り方に依らないので、
G の擬対角的エントロピーが定義できる。これはどういったもんなんじゃろ？
growth function |S^n| との関係は分からぬが、少なくともベキ零群のときは
d_S(ε) が 1/ε の多項式で抑えられるようだ。これは劣指数的増大度を持つ
群が擬対角的であることを示唆しているように見えるが、はてさて。
