「集合・位相入門」輪読会 - 1078049875

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
320：９ （SpxcWT76）：2004/03/17(水) 19:14: バンハ。

>>319
あ、それも思いましたし、他にもなんか引っかかるトコが…
でも自分の頭の中で整理されていないって感じです
321：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/17(水) 21:31: >>319
"このようなQでかつQが空集合でないとき"と付け加えればよいでしょうか？
一例を示せばよいので。
322：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/17(水) 21:32: >>320
なんでも思いつくまま言ってｸﾚｸﾚ
323：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/17(水) 21:52: >>321
一例を実際に示したほうがいいでしょうね。
コンスタントマップのときとか。
324：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/17(水) 22:13: >>323
そうですね・・・
中途半端にややこしくしてしまいました
325：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 00:36: そういうことっすね。
これで先に進めますか？？？
326：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/18(木) 00:43: >>325
OKなの？なんか変なところない？

ｽﾏｿ｡(4.2)が証明できないので、途中だけど交代してもらえませぬか？
甘い？だめ？
327：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 00:52: >>326
じゃあここで交代しまつ。
明日は一日暇なので頑張ってどんどん進めます。
328：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/18(木) 00:55: ｽﾏｿ｡頼みます。
329：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 17:01: 定理3で苦戦中。もうしばらくお待ちください…
330：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 19:24: 定理3　fをAからBへの写像とするとき、
fによる像および原像について、次のことが成り立ちます。
# P, P_1, P_2 はAの部分集合、Q, Q_1, Q_2 はBの部分集合。

　　(4.1).　　P_1⊂P_2 ⇒ f(P_1)⊂f(P_2).
　　(4.2).　　f(P_1∪P_2)＝f(P_1)∪f(P_2).
　　(4.3).　　f(P_1∩P_2)⊂f(P_1)∩f(P_2).
　　(4.4).　　f(A－P)⊃f(A)－f(P).
　　(4.1)'　　Q_1⊂Q_2 ⇒ f^(-1)(Q_1)⊂f^(-1)(Q_2).
　　(4.2)'　　f^(-1)(Q_1∪Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∪f^(-1)(Q_2).
　　(4.3)'　　f^(-1)(Q_1∩Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2).
　　(4.4)'　　f^(-1)(B－Q)＝A－f^(-1)(Q).
　　(4.5).　　f^(-1)(f(P))⊃P.
　　(4.5)'　　f(f^(-1)(Q))⊂Q.
331：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 19:25: 先に補題を用意しておきます。

【補題1】　f(P^c)⊃f(P)^c.　
　［補題1の証明］
　　　　できない…感覚としては自明的に成立なんですけどｗｗｗｗ
　　　　誰か代わりにやってくれませんか。
【補題2】　f^(-1)(Q^c)＝(f^(-1)(Q))^c.
　［補題2の証明］（以下、普遍集合をAとする。）
　　　　f(a)∈Q, f(a)∈Q^c のどちらか一方のみが真なので、
　　　f^(-1)(Q^c)＝{a| f(a)∈Q^c}＝{a| f(a)∈Q}^c＝(f^(-1)(Q))^c.　（終）
332：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 19:25: ［(4.1)の証明］
　　P_1⊂P_2 ならば、すべての b∈f(P_1) に対して
　　　　b∈f(P_1) ⇔ ∃a∈P_1(f(a)=b) ⇒ ∃a∈P_2(f(a)=b) ⇔ b∈f(P_2)
　　が言えるから、f(P_1)⊂f(P_2).　（終）
［(4.1)'の証明］
　　(4.1)で f→f^(-1), P_1→Q_1, P_2→Q_2 と置き換えれば直ちに示される。（終）
［(4.2)の証明］
　　b∈f(P_1∪P_2) ⇔ (∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b)
⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)} ⇔ b∈f(P_1)∨b∈f(P_2).　（終）
［(4.2)'の証明］
　　(4.2)で f→f^(-1), P_1→Q_1, P_2→Q_2 と置き換えれば直ちに示される。（終）
［(4.3)の証明］
　　(2.2)'より P_1∩P_2⊂P_1 であるから、(4.1)によって f(P_1∩P_2)⊂f(P_1).
　　同様して f(P_1∩P_2)⊂f(P_2).
　　したがって(2.3)'より f(P_1∩P_2)⊂f(P_1)∩f(P_2).　（終）
# 等号は必ずしも成立しません。
ex) f が値 b_0 の constant map で P_1∩P_2＝φ の場合、
　　 f(P_1∩P_2)＝φ, f(P_1)∩f(P_2)＝{b_0}.
［(4.3)'の証明］
　　a∈f^(-1)(Q_1∩Q_2) ⇔ f(a)∈Q_1∩Q_2 ⇔ f(a)∈Q_1 ∧ f(a)∈Q_2
⇔ a∈f^(-1)(Q_1) ∧ a∈f^(-1)(Q_2) ⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2).　（終）
333：９ （SpxcWT76）：2004/03/18(木) 19:25: ［(4.4)の証明］　補題1より、
　　f(A－P)＝f(A∩P^c)＝{b| (∃a∈A∩P^c)(f(a)=b)}＝{b| ∃a∈A(f(a)=b)}∩{b| ∃a∈P^c(f(a)=b)}
＝f(A)∩f(P^c)⊃f(A)∩f(P)^c＝f(A)－f(P).　（終）
［(4.4)'の証明］　補題2より、
　　f^(-1)(B－Q)＝{a| (∃b∈(B－Q))(f(a)＝b)}＝{a| (∃b∈(B∩Q^c))(f(a)＝b)}
＝{a| ∃b∈B(f(a)＝b)}∩{a| ∃b∈Q^c(f(a)＝b)}＝A∩f^(-1)(Q^c)＝A－f^(-1)(Q).　（終）
［(4.5)の証明］
　　a∈P ⇒ f(a)∈f(P) ⇒ a∈f^(-1)(f(P)).　（終）
# 等号は必ずしも成立しません。
ex) f を値 b_0 の constant map, PをAの真部分集合とすれば、f^(-1)(f(P))＝A≠P。
［(4.5)'の証明］
　　b∈f(f^(-1)(Q)) ⇒ (∃a∈f^(-1)(Q))(f(a)=b).
　　ここで a∈f^(-1)(Q) ⇔ f(a)∈Q であるから、b∈Q.　（終）
# この場合も等号は必ずしも成立しません。
ex) Bを2つ以上の元を含む集合、f を値 b_0 の constant map、Q＝B としたとき、f(f^(-1)(Q))＝{b_0}≠B(＝Q)。

以上でA)は終わりです。補題1だけ誰かおながいしまつ。
334：９ （SpxcWT76）：2004/03/19(金) 13:34: えーと、、、とりあえずageておきますね。
335：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/20(土) 00:11: ＞(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}

＞{b| (∃a∈A∩P^c)(f(a)=b)}＝{b| ∃a∈A(f(a)=b)}∩{b| ∃a∈P^c(f(a)=b)}

この２つがどうして成り立つといえるのか教えてください。
上のやつは∪を∩に、∨を∧にしても成り立つのでしょうか？だとすれば(4.3)は=になるような気がするんですが。
下のやつが成り立つのならば(4.3)は=になるような気がするんですが。
336：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/20(土) 00:29: P^c、Q^cの全体集合は何でしょうか？
f(P^c)、f^(-1)(Q^c)が定義されるためにはP^cはAの部分集合、Q^cはBの部分集合
である必要があると思うんですが。
337：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/20(土) 00:41: PのときはA、QのときはBですか。
338：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/20(土) 00:56: (4.3)の証明はp32にはf^(-1)(Q1∩Q2)⊂f^(-1)(Q1)∩f^(-1)(Q2)を示してる
部分があるけど、これって要らないような気がするんですが、どうでしょう？
９も書いてなかったけど。
339：９ （SpxcWT76）：2004/03/20(土) 08:42: >>335

＞(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}
これは、a∈(P_1∪P_2) ⇔ a∈P_1∨a∈P_2 より自明ではないでしょうか。
この同値変形をあえて日本語で解釈するのなら、
左側は「P_1またはP_2に属するaが存在して、f(a)=bとできる」
右側は「P_1に属するaが存在して、f(a)=bとできるか、または
　　　　　P_2に属するaが存在して、f(a)=bとできる」
となると思います。

＞{b| (∃a∈A∩P^c)(f(a)=b)}＝{b| ∃a∈A(f(a)=b)}∩{b| ∃a∈P^c(f(a)=b)}
これマズいですね…すいません。
たぶん (左辺)⊂(右辺) になりますね。うーん。

＞上のやつは∪を∩に、∨を∧にしても成り立つのでしょうか？だとすれば(4.3)は=になるような気がするんですが。
うーん。「または」「和集合」のときだけ成り立つような気がします。
ちょっと考える時間をください。
340：９ （SpxcWT76）：2004/03/20(土) 08:46: >>336
P^cの全体集合はA, Q^cの全体集合はBとしました。
一応>>330の3行目にも書いておきましたがわかりにくかったですね。ｽﾏｿでした

>>338
俺は要らないと思ってあえて書きませんでしたが
どこかに先ほどのようなミスがあるかも…
341：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/20(土) 09:10: >>331
【補題1】の証明.
f:R→R,f(x)=e^xとし、P=(0,∞)とすると
f(P)=(1,∞),f(P)^c=(-∞,1],P^c=(-∞,0],f(P^c)=(0,1]で
f(P^c)⊃f(P)^cとはならないのでは
342：９ （SpxcWT76）：2004/03/20(土) 09:59: すいません。>>331の
【補題1】　f(P^c)⊃f(P)^c.　
ですが、P^cの全体集合はA, f(P)^cの全体集合はf(B)（=V(f)）です。

>>341の例の場合だと、
f: R→R, f(x)=e^x, P=(0, ∞) のとき
f(R)＝(0, ∞), f(P)＝(1, ∞), f(P^c)＝(0, 1] なので
f(P^c)＝f(P)^c になります。

f が単射じゃないときに、f(P^c)⊃f(P)^c になると思います。
343：９ （SpxcWT76）：2004/03/20(土) 10:00: あ、、つーか【補題1】って(4.4)そのものですね…
うぐ。。。
344：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/20(土) 15:28: >>332
(4.2)',(4.3)'の証明で
fをf^(-1)で置き換えるといってますが
写像を写像でないかもしれないもので置き換えることになるかも知れません。
あと細かい話で前にもいったと思いますが
「f→f^(-1)と置き換える」という表現は「fをf^(-1)で置き換える」といったほうが
やはり誤解が少ないと思いますよ。

>>333
(4.4)'は(4.3)'が示せてるなら【補題2】を使って
f^(-1)(B-Q)=f^(-1)(B∩Q^c)=f^(-1)(B)∩f^(-1)(Q^c)
=f^(-1)(B)∩(f^(-1)(Q))^c=A-f^(-1)(Q)でいいんじゃないですか。
345：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/20(土) 15:35: >>338
いらないと思います。９の証明も正しいし
松坂の証明も正しいと思いますよ。
(2.2)'(2.3)'(4.1)が使えることを教育的に示したかったのかな。
346：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/20(土) 17:23: ＞【補題2】　f^(-1)(Q^c)＝(f^(-1)(Q))^c.
　［補題2の証明］（以下、普遍集合をAとする。）
　　　　f(a)∈Q, f(a)∈Q^c のどちらか一方のみが真なので、
　　　f^(-1)(Q^c)＝{a| f(a)∈Q^c}＝{a| f(a)∈Q}^c＝(f^(-1)(Q))^c.　（終）

最後の式ですが、Q^cの全体集合はBで、{a| f(a)∈Q}^cの全体集合はAですよね。
こういうのはアリなんでしょうか？
347：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/20(土) 22:28: >>346
a∈{a| f(a)∈Q^c}⇔f(a)∈Q^c⇔￢(f(a)∈Q)⇔￢(a∈{a|f(a)∈Q})
⇔a∈{a|f(a)∈Q}^c
では納得いきませんか。
348：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/20(土) 23:04: >>347
９のも先生のも納得いきます。
ただ、途中で全体集合が変わってもいいのかな？と思った次第です。
349：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/21(日) 00:10: >>348
X, Yを集合とします。A⊆X,B⊆Y。
φ:2^X→2^X,ψ:2^Y→2^Y
を考えたときφ(X-A)=ψ(Y-B)となることはあっても
不思議じゃないのではないでしょうか。
350：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/21(日) 00:39: すいませんわかりました。何も問題ないですよね。

また2ch見れない・・・いかりや長助の死因は何だったんでしょう？
351：名無し研究員さん：2004/03/21(日) 00:48: >>350
ttp://dailynews.yahoo.co.jp/fc/domestic/obituary/
です。
352：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/21(日) 00:57: >>351
ありが㌧。
親父も癌だけに気になる・・・
353：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 00:12: >>344
前半；すいません、マズかったですね。
てっきり f^(-1) も写像だと思い込んでて…
でも証明過程は同じでいいですよね？？
後半；納得です。

>>345
了解です。

えーっと、とりあえずこれだけでしょうか？
354：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 01:28: さくらスレの>>133～見てね
355：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 03:48: (4.2), (4.2)', (4.3)', (4.4) が未解決ってことですね。

後でもう一度まとめてみます。
356：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 16:22: 定理3（一部のみ・再掲）　fをAからBへの写像とするとき、
fによる像および原像について、次のことが成り立ちます。
# P, P_1, P_2 はAの部分集合、Q, Q_1, Q_2 はBの部分集合。

　　(4.2).　　f(P_1∪P_2)＝f(P_1)∪f(P_2).
　　(4.2)'　　f^(-1)(Q_1∪Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∪f^(-1)(Q_2).
　　(4.3)'　　f^(-1)(Q_1∩Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2).
　　(4.4).　　f(A－P)⊃f(A)－f(P).

［(4.2)の証明］
　　>>332を参照。それに対する疑問は>>335、返答は>>339
［(4.2)'の証明（改訂）］
　　a∈f^(-1)(Q_1∪Q_2) ⇔ ∃b∈(Q_1∪Q_2)(f(a)=b)
⇔ {∃b∈Q_1(f(a)=b}∨{∃b∈Q_2(f(a)=b)}
⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∨a∈f^(-1)(Q_2) ⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∪f^(-1)(Q_2).　（終）
［(4.3)'の証明］
　　>>332を参照。特にマズい点は見当たりませんが…
［(4.4)の証明］
　　うーん、わかんなくなってきた。どうしたらいいんでしょうか。
357：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 17:07: >>354
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
のスレのことをさくらスレって言うんですか？なんでやろ

>>356
(4.4)のf(A-P)だのf(A)だのf(P)だのの普遍集合はBなんでしょう？
358：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 17:19: >>356
(4.2)ですが、
(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)} は成り立つのに
(∃a∈(P_1∩P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∧{∃a∈P_2(f(a)=b)} が成り立たないのはなぜなんでしょう？

>>357
なんででしょ？数学板でそう呼んでるんで使ってみたんですが、理由は知りません。
359：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 17:56: >>358
どうしよう。もうちょっと考えてみませんか？
(あまり機械的に考えないようにすれば分かるのでは)
360：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 17:57: 拳宅じゃんくて自宅ですた。>>357以降。
361：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:00: >>357
はい、それらの普遍集合はBです。

>>358
それ、論理式で厳密に示すことができない。。
fが単射のときは下のやつも成り立つと思うんですけど。
なんか、写像の1つの特色ですよね。
362：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:05: 途中抜けますたｽﾏｿ

なんか、（「または」と「かつ」で様子が違ってくるのは）写像の1つの特色ですよね。
363：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 18:09: (4.4)はどうしよう。そんなに困らないと思ったけど…。
364：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 18:10: >>362
どこかに書いたけど、逆像なら比較的ラフに扱えるんですがね。
365：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:14: >>363
Aの像からPの像を取り除いた集合が、
(A－P)の像全体に含まれるんですよね。
自分の頭の中では、感覚的にはほぼ自明なんですけど、
式で示そうと思うと…。
>>358のやつも頭では理解してるっぽいんだけど、
式にできないんです。
366：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 18:20: >>365
えーっとね。できるだけ自明って言葉は使わないことにしませんか？
「説明できないことと自明なことってのは別だよ」って指導教官にいわれてた人がいました。
367：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 18:22: >>366
あ、はい。もちろんそれも解かってます。
(4.4)と>>358もう一度考えてみます。
368：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 19:07: むぅぅ
369：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 19:10: ＞LAR-men氏
(4.4)できます？？？俺はもう全然だめぽなんですけど…
370：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 19:20: 9ｶﾞﾃﾞｷﾅｲﾉﾆｵﾚｶﾞﾃﾞｷﾙﾜｹﾈｰﾖ
371：９ （SpxcWT76）：2004/03/25(木) 19:26: 工エｴェｪ(´д｀)ｪェｴエ工
372：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/25(木) 19:33: 二つの同じ文字が出てきたらそれらは普通同じものだと思ってしまいますよね。

直接証明にこだわらなくても…
373：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/25(木) 19:34: 工エｴェｪ（・３・）ｪェｴエ工
374：９ （SpxcWT76）：2004/03/26(金) 11:51: 　　(4.4).　　f(A－P)⊃f(A)－f(P).

⇔ B－f(A－P)⊂f(P)

？？？混乱するだけ・・・
375：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/26(金) 16:50: >>374
途中までは普通にA⊂B型の命題を証明する風に。
そんで、あとは…。
376：９ （SpxcWT76）：2004/03/26(金) 23:23: うぐぅ。先に進めない
377：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/26(金) 23:45: >>376
(4.4)だけ私がしましょうか？
378：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/26(金) 23:49: >>377
>>358の上の疑問もおねげえしますだ
379：９ （SpxcWT76）：2004/03/26(金) 23:57: おながいします
380：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/26(金) 23:59: >>378
(4.4)
x∈f(A)-f(P)⇔(x∈f(A))∧￢(x∈f(P))
⇔(∃a∈A;f(a)=x)∧￢(∃b∈P;f(b)=x)
⇔(∃a∈A;f(a)=x)∧(∀b∈P,f(b)≠x)
この条件のもとで
￢(x∈f(A-P))であるとすると
￢(x∈f(A-P))⇔￢(∃c∈A-P;f(c)=x)
⇔∀c∈A-P,f(c)≠x.
不合理.

>>358
x∈f(P_1)∩f(P_2)
⇔x∈f(P_1)∧x∈f(P_2)
⇔(∃b∈P_1;f(b)=x)∧(∃c∈P_2;f(c)=x).
これから
∃d∈P_1∩P_2;f(d)=x
はいえなくても不思議ではないのでは。
381：９ （SpxcWT76）：2004/03/27(土) 00:11: >>380
前半…うわぁぁっぁあああん納得ですー！！！！
後半…「または」の場合↓はなぜ言えるんでしょうか。
　　　　自明としてもいいんでしょうか。

(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}
382：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 00:24: >>380
納得です・・・
ふぅ。うぐぅ。
383：Ενταξει＠携帯：2004/03/27(土) 00:25: >>381
えーっと。
考えてみませんか？
384：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 00:30: >>380後半
b,c,dとか文字を変えて考えるべきでした。
385：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 00:38: >>381
(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=x) ⇔ {∃b∈P_1(f(b)=x)}∨{∃c∈P_2(f(c)=x)}
としたほうが誤解がなくてよいと思う
386：９ （SpxcWT76）：2004/03/27(土) 07:24: >>385
あ、なるほど～。それだけでもずいぶん掴みやすくなりますね。
(左辺)⇒(右辺) は明らか、(右辺)⇒(左辺) は背理法でOKですね。
387：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/27(土) 21:42: じゃ次いきますか
388：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 02:58: B)　全射、単射、全単射

　fをAからBへの写像とすれば、写像の定義によって、その定義域D(f)は
始集合Aと一致するが、値域V(f)=f(A)は、一般には、終集合Bと一致しない。
特に、f(A)=Bが成り立つとき、fはAからBへの全射である、あるいは、fは
AからBの上の写像であるという。f:A→Bが全射であるというっことは、Bの
どの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φであること、すなわちf(a)=bとなるような
Aの元aが少なくとも1つ存在することにほかならない。
　注意　上の語法に対応して、AからBへの一般の写像を、AからBの中への写像
ということがある。
389：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 03:03: >>388
　AからBの上の写像であるという。
→AからBの上への写像であるという。
ではないですか？
390：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 03:13: >>389
すいません。そうです。
391：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 03:20: ＞f:A→Bが全射であるということは、Bのどの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φ

f(A)={b|∃a∈A(f(a)=b)}=Bより、∀(b∈B)∃(a∈A)(f(a)=b)
392：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 03:24: {f|fはAからBの上への写像}⊂{f|fはAからBの中への写像}
なんですかね。それとも
{f|fはAからBの中への写像}∩{f|fはAからBの上への写像}=Φ
なのでしょうかね。
393：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 03:29: 後者でないとわざわざ"中への"と呼ぶ意味がないような気がするんですが、
ぱっと見前者のような気もしますね・・・
394：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 03:31: >>393
そうなんですよ。後者と解釈すべきだと思います。
というか私は後者だと思っとりました。手元にﾃｷｽﾄが
ない人は前者だと思ってしまいそうなので、はっきり後者だと
書いちゃいましょう。松坂の書き方が悪いってことで。
395：９ （SpxcWT76）：2004/03/29(月) 18:08: 松坂さんの書き方から察するに前者だと思いますが…
「一般の写像」ですし。
396：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 19:26: 釣りだよきっと
397：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/29(月) 19:51: >>396
はははは。釣りだね。
398：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 20:55: 訂正

＞f:A→Bが全射であるということは、Bのどの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φ

f(A)={b|∃a∈A(f(a)=b)}=Bより、b∈B⇔∃a∈A(f(a)=b)
したがって、Bのどの元bに対しても、f^(-1)(b)={a|f(a)=b}≠Φ

こっちのほうが良さげ
399：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 21:23: (続き)

　また、写像f:A→Bは、Aの任意の元a,a'に対し、
　　　　　　　　a≠a'⇒f(a)≠f(a')
あるいは、同じことであるが、(対偶)
　　　　　　　　f(a)=f(a')⇒a=a'
が成り立つとき、AからBへの単射である、またはAからBへの1対1の写像で
あるといわれる。f:A→Bが単射であること(①)は、fの値域V(f)の任意の元bに
対して、f^(-1)(b)がいつもAのただ1つの元から成ること(②)と、明らかに、
同等である。
　写像f:A→Bが同時に全射かつ単射であるとき、fはAからBへの全単射である
という。
400：９ （SpxcWT76）：2004/03/29(月) 21:46: >>396-397
釣りって…？？？

「上への」「中への」の言葉のニュアンスの問題かもしれないけど
「上への写像」⊂「中への写像」　じゃないですか？？？

>>399
単射の定義ですが、
　　　　　　　　a＝a' ⇔ f(a)＝f(a')
と書いても同じことですよね。
401：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 21:57: ①⇒②

bはV(f)の元だから、全てのbについて、f^(-1)(b)≠Φ。あるbに対してf^(-1)(b)が
2つ以上のAの元から成ると仮定して矛盾を導く。あるbに対して、f^(-1)(b)={a|f(a)=b}より、
f(a_1)=f(a_2)=bとなるが(a_1,a_2は相異なるAの元)、これは単射の定義に反する。

②⇒①

全てのb∈V(f)についてf^(-1)(b)={a|f(a)=b}がただ1つの元からなる(#)とき、
ある相異なるAの元a_1,a_2が存在してf(a_1)=f(a_2)となると仮定すると、
b∈V(f)かつb=f(a_1)=f(a_2)となるbが存在し、これは(#)に矛盾。
402：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/29(月) 22:04: >>400
俺も最初そう思ったんだけど、そうだとすれば、わざわざ"中への"という
言葉は要らないんじゃないかと。写像なのはわかってるんだし。

なるほど。そだね。
403：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/30(火) 02:20: >>398
そうですね。

>>399
はい。

>>400
温泉から帰ってくる途中で>>397だけレスしてしまいましたが、
ぐぐってみるとどちらの解釈をしてる人もいますね。
松坂以外のこの手の本は４、５冊持ってるはずですが、
整理が悪いので、どこにあるか分かりません。探す気力が
出てきたときに調べてみます。

後半そのとおりですね。

>>401
はい納得です。
404：９ （SpxcWT76）：2004/03/31(水) 01:55: >>401
おｋです。

>>403
了解です。

明日東京に引越しします。
ネットつなぐのがその数日後になるので（詳しい日程は未定）、
それまでは携帯からしか閲覧できませぬ（ ´Д⊂ヽ
なるべく早く復帰しますのでよろしくおながいしまつ。
405：９ （SpxcWT76）：2004/03/31(水) 01:56: 明日じゃなかった。今日ですｗｗｗ
406：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 03:38: 「中への写像」について。
ひとつ本が見つかりました。

彌永昌吉、小平邦彦「現代数学概説 I」1961,岩波書店p12.
値域と終集合との一致しているような写像を全射(surjection, Bourbakiによる)という.
　　fがMからNへの全射であるとき,fはMからNへの上への(onto N, sur N)写像であるともいう.
　　(それに対して,MからNへの一般の写像をMからNの中への(into N)写像ということもある)

うー。松坂とおんなじ書き方ですね。{f|fはMからNへの写像}={f|fはMからNの中への写像}なのだろうか。
407：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 21:07: >>406
微妙ですね、、、滅多に使わない言葉だってことでしょうか。
たぶん数学者たちもあまり気にしないんでしょうね。

全単射まで行ったので次はp.33の例1～ですね。
今からまとめてみます。
408：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 23:24: 　例1　f_1, f_2, f_3, f_4, f_5 をそれぞれ次の式で定義されたRからRへの写像とする：
　　　　　　f_1(x)=x+1，　f_2(x)=x^3，　f_3(x)=x^3-x，
　　　　　　f_4(x)=a^x （a>0, a≠1），　f_5(x)=x^2．

f_1はRからRへの全単射。
【全射であることの証明】
　　∀x∈R（f^(-1)(x)＝x-1(∈R)≠φ）。
　　上の議論（>>388,398）よりf_1は全射。
【単射であることの証明】
　　x_1≠x_2 ⇔ x_1+1≠x_2+1 ⇔ f_1(x_1)≠f_2(x_2) であるから、
　　上の議論（>>399-401)よりf_1は単射。
409：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 23:24: f_2もRからRへの全単射。
【全射であることの証明】
　　∀x∈R（f_2^(-1)(x)＝x^(1/3)(∈R)≠φ）。以下同様。
【単射であることの証明】
　　x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 ⇔ f(x_1)≠f(x_2)。以下同様。

f_3はRからRへの全射であるが、単射ではない。
【全射であることの証明】
　　lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
　　f_3は連続写像であるから（p.175以降で扱ってるっぽいです）、
　　中間値の定理より ∀x∈R(∃y∈R(f_3(y)=x)), すなわち ∀x∈R（f_3^(-1)(x)≠φ）。以下同様。
【単射でないことの証明】
　　f_3(0)=f_3(1)=0 だから、f_3は単射の条件を満たさない。
410：９ （SpxcWT76）：2004/04/02(金) 23:28: ちょっと少ないですけど…もう寝ないといけないので。
続きは明日の午前にちょっとできると思います。
明後日と明々後日はオリ合宿行ってくるので、
その間は適当に進めちゃってください。
411：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/03(土) 00:53: >>408
おｋ。単射であることの証明は対偶バージョンを遣うほうが分かりやすいように思う。
同じことのはずだが。

>>409
f_2について
すべての実数がその三乗根をもつことはあんまり明らかではないのでは。
単射のほうも書いてあることは嘘じゃないけど、その書いてあることを証明しンなんのとちゃうかな。

f_3について
全射の証明。中間値の定理は両端の値が+∞,-∞のときもつかっていい？
412：９ （SpxcWT76）：2004/04/03(土) 08:52: >>411
前半了解です。

f_2について
正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
0の3乗根は0のみ。
これも証明しないとダメですか…？？？

単射のほう、x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 の証明ですか？？？考えてみまつ。

f_3について
良いんではないでしょうか。
lim[x→∞]f_3(x)＝∞ というのは ∀x∈R(∃y_0∈R(∀y≧y_0(f_3(x)≧y))) という意味ですよね。
そしたら中間値の定理適用できると思いますけど。
413：９ （SpxcWT76）：2004/04/03(土) 11:29: 訂正
∀y∈R(∃x_0∈R(∀x≧x_0(f_3(x)≧y)))

学校逝っちきまつ
414：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/03(土) 17:42: >>412
＞正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
＞負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
＞0の3乗根は0のみ。
これなんでっていわれたら困るでしょう。だから自明ではないけど、
準備不足で今の我々には不明として保留にしておきましょう。

単射であることの証明は引き続き考えてください。

lim[x→∞]f(x)＝∞⇒∀y∈R(∃x_0∈R(∀x≧x_0(f(x)≧y)))
だったら中間値の定理が適用できるのはなぜか、というより
中間値の定理を実際に適用した形の証明を書いてください。
415：９ （SpxcWT76）：2004/04/06(火) 07:20: 【x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 の証明】
>>412の
＞正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
＞負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
＞0の3乗根は0のみ。
を認めることにすれば、
x_1, x_2∈R に対して (x_1)^3＝(x_2)^3 ⇔ x_1＝x_2。
⇒, ⇐ฺ それぞれについて、その対偶命題も真であるから、
x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3.　（終）

中間値の定理のはこの後考え松。
416：９ （SpxcWT76）：2004/04/06(火) 21:11: 今度こそ！！！ｗｗｗｗ

f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
　　lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
　　つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
　　f_3は連続写像であるから（p.175以降で扱う）、閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
　　∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀x∈R（f_3^(-1)(x)≠φ）。

※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
417：９ （SpxcWT76）：2004/04/06(火) 21:15: 細かいトコ少しだけ訂正させてください。

f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
　　lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
　　つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
　　f_3はRからRへの連続写像であるから（p.175以降で扱う）、
　　閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
　　∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀y∈R（f_3^(-1)(y)≠φ）。
　　よってf_3は全射。

※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
418：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/07(水) 03:31: >>415
(x_1)^3=(x_2)^3
⇔(x_1-x_2)((x_1)^2+x_1*x_2+(x_2)^2)=0…(A)
(x_1,x_2)∈Rなので
(A)⇔x_1=x_2でどうですか。

＃後半は余計なような。。。

>>416-417
Хорошо.
419：９ （SpxcWT76）：2004/04/07(水) 07:52: >>418
後半は余計っていうのは、どこを指しているんでしょうか？？？