AがC*環, τ 跡状態, p in A 直交射影のとき, 任意の x in pA(1-p), || x || < 1 に対して
τ(1+(p-xx^*)^{1/2}-(1-p-x^*x)^{1/2}) = 2τ(p)
になるんだけど, なんか簡単な理由でもあるのか？
このクイズの答えは掲示板のどこかに書いておいた。
無限局所有限体 K に対して，局所有限群 G=PSL(n,K) のC*群環 A を考えると，
A はAF環で単位指標の核 I は単純環になるのだが，具体的にK_0を計算できないだろうか？
I が単純であることは，I上稠密に定義された正定値跡が正則表現跡の定数倍に限る
ことから従う．（τがI上稠密に定義された実正定値跡ならexp(-τ(1-g))はG上の
正定値跡になるので，鐚損・富むの指標剛性を使うとτ(1-g)がg \neq 1に依らない
ことが分かる．）
Aronszajn--SmithやLomonosovに影響されて次のようなことを考えてみたが、
どうだろうか。余り考えていないので簡単に反例が見つかるかもしれないが。
Aがバナッハ環, V, W が左Aバナッハ加群, T: V -> W がコンパクトA線形写像.
予想： Vは有限次元であるか, 非自明なA不変閉部分空間を持つ.
群 G の(可算)集合 X 上の作用が全面的に従順であるとは、任意の G 軌道上に不変平均があるときを言う。
別の言い方をすれば、\ell_\infty(X) から \ell_\infty(X)^G への G 不変条件付期待値があるときをいう。
G_1 と G_2 が X 上に可換に作用していて、両方とも全面的に従順なら、G_1×G_2 作用も全面的に従順？
証明が見つからないから反例があるのだと思うが、はたしていかに。
有限生成群 G = <S> が擬対角的であることと、
∀ε>0 ∃H \ell_2G の有限次元部分空間
s.t. δ_1 \in H and max_{s∈S} ||[P_H,λ(s)]|| < ε
が同値だ。そのような H の中で dim H を最小化して d_S(ε) と置く。
ε→0 としたときの d_S(ε) の増大度は生成元 S の取り方に依らないので、
G の擬対角的エントロピーが定義できる。これはどういったもんなんじゃろ？
growth function |S^n| との関係は分からぬが、少なくともベキ零群のときは
d_S(ε) が 1/ε の多項式で抑えられるようだ。これは劣指数的増大度を持つ
群が擬対角的であることを示唆しているように見えるが、はてさて。
A \otimes M から M への全射準同型が存在するから、M に可分性の仮定がある場合は、
（M が可分前双対を持つときは）M の可分Hilbert空間への作用はnormalなものに限る
という事実を使えば直積分を経由しなくとも証明できそう。一般の因子環 M でも、
M から M への準同型はnormalなものに限るんじゃないか？ふむう。
そんな面倒なことをしなくとも、AがC*環で\phiが忠実状態のとき、
線形写像 T: A -> A が || T(x) ||_2 \le K || x || を満たすなら、
一様有界性原理から
|| \phi( aT( . ) ) || \le C || a ||_{L^1(\phi)}
が成り立ち、Tが有界なことが分かるよ。
有限型von Neumann環 M とその部分環 N があったら、
いつも正規条件付き期待値があるんだよね？だれか知らない？
M のσ有限な中心射影の増大ネット z_i で 1 に収束する
ものをとれば、E_i: Mz_i -> Nz_i は見つけられるから、
Nz_i をnon-unitalに M に埋め込むことで E_i を M 上の写像と
みて極限操作すると M から N への条件付き期待値は見つかる
けど、これじゃ正規にはならないね。
