【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】 - 1641798536

1：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/10(月) 16:08:56 ID:KPtG2zvw: 面白い数学の問題を紹介したり、オリジナルの問題を出し合うスレです
ということで早速オリジナル問題を出してみるので考えてみてください
266：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 00:54:32 ID:YXIeXeEo: 2度目ワクチンの副反応で土日はヤバそうなので(1)だけ示しておきます
なかば朦朧としているので記法がガバガバだったら許し亭ゆるして
(3)はそのまんま(n-2)!です、(4)はp=2について地道に総和を使ってE(2)を求めてください
(1)
1≦k≦nの自然数kにおいて、いずれのkについてもkにダーツが当たる確率は1/n
計12点を得るパターンは、2に3回当てることによって2×2×3点を得て、それ以外の数字について得点を得られないときである
n回投げてそのような結果を得るには、2に3回的中させ、のこりのn-1個の数字のうちのn-4個の数字に一回ずつダーツを的中させたときだけである。(n≧2)
このとき、何回目にどの数字に当てたかは求める確率に無関係である
このような確率は
nC3×(1/n)^3×n-1Cn-4×(1/n)^n-3(n≧3)
で求められる
計算すると、n-1Cn-4=n-1C3より
n(n-1)(n-2)/(3×2×1)×(1/n)^3×(n-1)(n-2)(n-3)/(3×2×1)×(1/n)^n-3
=n(n-1)^2(n-2)^2(n-3)/36×(1/n)^n
=(n-1)^2(n-2)^2(n-3)/36n^n-1(n≧3)
が求める確率である
267：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 01:03:12 ID:YXIeXeEo: n≧4についてはさっきの式で、
n=3については1/27です
途中n≧2となっていますがn≧3の誤記で、n≧3となっているところはn≧4ですね…
268：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 05:58:24 ID:YXIeXeEo: 熱にうなされながら30までだと7,8,23がこのゲームで得られない点数であることは計算したんですけど
なにか法則性が得られそうで得られない感じがもどかしい

28^2+5^2+1^2
27^2+9^2
26^2+10^2+5^2+3^2
これがすべて810なんですが全部数え上げるのはダメみたいですね…
n=20にして解いていだたくと幸甚です
269：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 13:47:47 ID:iYNzsTVM: >>266
n-1Cn-4になるのがんまぁちょっとよくわかんないです(クソ雑魚)
なんでPじゃないんですかね
270：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 14:49:01 ID:6AoAPH7M: ぼくもそこはPかと思いました
n=5として
22342と22432って別物っすよね
271：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 15:27:37 ID:YXIeXeEo: n=4のとき
2について4C3(1/4)^3なら、これに3/4を掛ければよい
だけ計算して検算した気になってました
数字は当然それぞれ区別されるので、n-1Pn-4通りあるので
正しくは
(n-1)(n-2)n-1Pn-4/6n^n-1
ですね
272：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 16:26:27 ID:HxqHmR/Q: (2)は(1)と同じ感じで解けばいいっすね
1が2回と3が2回とあとは被らないように数字を1個ずつ使うのがn-4回だから
分子がnC2・n-2C2・n-2Pn-4、分母がn^nになるんすかね
こっからきれいに整理できるのかは知らなーい

(4)はE(2)を求めること自体はシグマでﾊﾟﾊﾟﾊﾟってやれば終わるだろうけど、
E(2)が2番目に低いことの説明の仕方がよく分からないっす
そしてこれを説明できるなら(6)もE(2)が答えですよんって言って尾張平定では？

(5)はナオキです(即答)
273：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 16:52:12 ID:V.x5JpeA: (2)は2×2と1×1×2×3でも作れますね
足し算がめんどくさそう
(4)はk投目での得点にくらべてk+1投目での得点はかならず同じか大きくなるのだから、P(k)<P(k+1)はあきらかなのでは？
(6)は「必ず得点を得られる」というのが0点を含むのか否かで変わるでしょうね…
含むのであればP(1)=0で終わり！平定！もうみんな帰っていいよ！
274：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 17:12:26 ID:HxqHmR/Q: 2×2と1×1×2×3もありますねえ！(屑)

(4)は投げる回数が増えたら得点が増える方向に動くのは自明として、それが投げる回数の増加分以上に期待値増加に貢献していることを言う必要があるんじゃないですかね…？
275：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 17:20:18 ID:V.x5JpeA: たぶんこれまでの問と同じく（合計得点の）期待値なのだと思われます
(6)は求めさせたいpが個人的には明らかなので（解けるとは言ってない）
276：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/09(水) 13:27:08 ID:bQBouCfg: 出題者ですけど(4)までの答えは一応出揃ったんですじゃ、流しますね…
>>275兄貴の言うとおり合計得点の期待値のつもりでした
このあとE(3)を計算するときにE(2)が必要になりそうなので自分が想定していたE(101)（鳩の巣原理より）と漸化式で計算可能なのかなと思いましたが、問題設定の不備といい自分の力不足を感じる結果になりました
277：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 17:58:16 ID:caCL7o5E: 皆さんは「エイトクイーン」という遊戯をご存じでしょうか
チェス盤の上に8個のクイーンを、どの駒も互いに取られないような位置に置くというパズルです
日本にも利かずの駒並べというパズルがあるようで、今回はこれを拡張した「n-飛車」について考えたいと思います

2n×2nのマスを持つ将棋盤の上に、n個の飛車をお互いが他の飛車の利き筋にならないように置いて行きます
この時の置き方の総数をN(n)とします
では以下の極限値を求めてください
https://imgur.com/a/Zdxdiu6
278：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 18:03:21 ID:caCL7o5E: 補足ですが、飛車は上下左右に何マスでも進める駒です
また画像を間違えましたので再投稿致します、申し訳ありません
https://imgur.com/a/uW90SqH
見にくければすみませんが画像のルートはn乗根のつもりです
279：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 18:07:50 ID:caCL7o5E: また、本問題の最終段階で数学的には少し危ないことをやっています
素人製作の問題として大きい目で見ていただければ幸いです
280：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 23:20:16 ID:caCL7o5E: 数学的に危ないというのはこの問題の本質ではないです
そこに辿り着くまでの過程に面白さがあるので是非挑戦して頂ければと思います
281：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 02:22:38 ID:0KcBb75I: 自分の中では、N(n) / n^n = N(n) * n^n / {n^n}^2 にして y=log(1+x) と y=log(1/x) の二つで区分求積することでn乗ルートのない log {N(n) / n^n} が収束してくれるんだけど、どこが間違ってるか分からんしダメみたいですね(諦め)
282：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 04:48:12 ID:s.9KdSRQ: https://imgur.com/5VDLvQf
駒は区別しない感じでいいんですかね？
最後の0log0の部分は対数の発散よりも多項式の収束の方が速いから0みたいな感じでぇ…(ふんわり数学)
283：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 13:39:13 ID:0KcBb75I: あっそっかぁ区分求積の細かい長方形の幅が 1/n になるの忘れてたゾ(池沼)
0log0に関しては、x=1/t として xlogx = 1/t * log(1/t) = -logt / t 、t→∞で t >> logt ってのを習ったんですけどいいんですかね？(疑問)
284：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 23:09:08 ID:EG3Mme.o: 一応明日解答出します
結構難易度高い問題だと思ったんですけどね(畏怖)
285：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 00:24:21 ID:iXyvBO4c: エイトクイーンはレイトン教授にも出てましたね
286：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 16:53:28 ID:mKWRLX.E: 解答になります
https://imgur.com/a/pAIPtlm
答えは4log2-1になり、>>282さん見事正解です！
パーミュテーションやコンビネーションから区分求積法に繋がるといった点が本問題の面白さです
287：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 16:56:56 ID:mKWRLX.E: 最初に言った「数学的に危ないところ」であるlogxの(0，1］における積分についても注釈を入れました
https://imgur.com/a/yotuKuF
これはいわゆる広義積分というもので、大学数学の範囲になりますがこの程度であれば適当にやっても問題ないかもしれません
広義積分と定積分を混ぜて計算していいのかは良く知りません、数学の先生許して！
288：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 17:02:33 ID:mKWRLX.E: 注釈で触れたロピタルの定理は、使用条件は省きましたが使えれば非常に強力な武器になりますので高校生兄貴は覚えておくといいかもしれません

本問題は2010年京都大学前期数学第6問から着想を得て作りました
https://www.densu.jp/kyoto/10kyotospass.pdf
この問題は工夫により先述の広義積分にならないように設定されており、さすが京大と言った感じですね
拙問を解いて頂きありがとうございました
289：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 10:47:57 ID:xOUrcb9Y: 春休みに暇な方のために上げておきます
ある自然数(n,k)に対して
3^n+2n-1=k^2
が成り立つという
(1)上の式を満たすk^2の奇偶を求めよ
(2)上の式を満たすような(n,k)をすべて求めよ

比較的筋肉で計算する方法しか思いつかなかったのでエレガントなのがあったら期待したいです
290：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 15:13:01 ID:3TJxSbcs: この問題超助かる！
さっそく挑戦してみますよ～
291：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 19:17:14 ID:3TJxSbcs: なかなか難問ですね…
(1)はすぐだけどこれをどう次に活かすかで悩んでます
あと自然数が(n、m)ではなく(n、k)なのは意味があるんだろうか(邪推)
292：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 20:36:54 ID:xOUrcb9Y: m,nにしなかったのは大学への数学の有名問題のリスペクトってだけなんですが
たぶんキーになるのがnの存在範囲なのでヒントになってるのかもしれない（適当）
293：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 22:01:04 ID:mMDFhwv2: 2nと-1がくっついてるから3=2+1にバラして二項定理的にしたらいけるかと思ったけどまんまと泥沼に入ったゾ
294：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/24(木) 10:07:07 ID:7QtRnZTo: mod3の計算をミスって絞り込みできる範囲を勘違いしてました…（ガバ出題）
とりあえず(n,k)=(1,2)のときに成り立って
n≧3のときk>nだから、3^n=k^2-2n+1>k^2-2k+1=(k-1)^2というのが役立ちそうな気がします
元の問題は3^n=k^2-40で、これは(1)のアプローチだけでどうにかなりますので、こちらのほうが有意義ですね…
295：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/25(金) 23:35:15 ID:LTzFsreo: nが偶数の時はn=2mとして
(3^m)^2 < 3^2m+4m-1 < (3^m+1)^2なので等式は成立しないですね

nが奇数の時は、うーん…
296：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/26(土) 00:58:31 ID:rumOu50U: 両辺のmod3をとるとn≡±1(mod3)なので
n=3m±1で同じ変化にはできそう
297：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 17:01:20 ID:s3VGLI1A: 受験生のホモも落ち着いたと思うのでわかればサクッと解ける問題を出します
わからなかったら泥沼なので大学受験には出ないと思います
数2Bで解けます

810
∑｛√1/3x-x^2+(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
について考える
(1)xが実数解を取る方程式√（1-x^2）+√(4-x^2)=l（lは実数）について、lとxの範囲をそれぞれ求めよ
(2)上の式について、最大値とそのときのxの実数解をすべて求めよ
298：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 17:11:21 ID:s3VGLI1A: >>297
与式は正しくは
810
∑√｛x/3-x^2+(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
でした。スマホで数式打つのめんどくさいっすね…
299：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 20:08:11 ID:s3VGLI1A: グラフ書かないとめんどくさそうだから掲示板向けの問題ではなかったかもしれない（懸念）
300：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/30(水) 00:03:37 ID:QTbM20aY: 最近問題出してくれる兄貴が多くて嬉しい
301：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/30(水) 20:22:55 ID:m9AuG6zI: (1)を厳密に論述させるのってもしかして実はかなりめんどくさかったりしますかね？
そうだったらTDN誘導なので文言を変えますが

>>289って
>>296と>>295を使ってmが自然数、すなわちn≧2のときにこの不等式が成り立つから
(n,k)=(1,2)以外では成り立たないとしちゃっていいんですかね
302：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 00:12:35 ID:2Kl36d5Q: YOSHIKIがよくわかんないっす
これシグマを解くまでもなく最大値とるとしたらx=1/6の時でしかありえないけどそのときもk=1のときとかに√の中身がマイナスになってしまうから最大も最小もクソもなくなりませんかね
303：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 00:36:41 ID:lFn.pQvg: 810
∑√｛x/3-x^2-(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
が正しい与式でした、申し訳ナス！
304：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:01:18 ID:2Kl36d5Q: あっそういうことかあ…
それならx=1/6を入れて式を整理したらシグマの中身が1/k-1-1/k+1になってくれるんで答えは810/811ですかね(途中計算を省く屑)
(1)は数学的厳密性についてはよぐわかんないすけど虚数にならないように考えたらxは-1~1でlは√3~3
305：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:09:50 ID:2Kl36d5Q: シグマの中身書き間違えたゾ…
1/k-1/(k+1)です
306：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:29:37 ID:lFn.pQvg: そのとおりです！正解されるのが気持ちいい！
数学オリンピック予選の過去問改変ですが、どちらにしろめちゃくちゃこけおどしです
-(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2
が単なる
1/k^2(k+1)^2-1/36であるみたいなことは入試では共通テストレベルでもままあることなので受験生のホモは覚えておいてください
1/n(n+1)の総和もよく出ます
(1)もすごく国立大学っぽいなとは思いつつ想定した解答は>>304のとおりなんですが数学的厳密性が成り立ってるのかはわかんないです
（複素数）+（複素数）が実数になる場合と左辺を比べればいいのでたぶん大丈夫ですが
307：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 06:51:23 ID:DM.Wvhv.: 東工大の2019年大問4（空間をn個の面で切ったときにできる空間の数）が伝説の難問だったらしくていくつか解説を見たんですが
その最大がnC3+nC2+nC1+nC0になる理由がエレガントになるらしいんですけど、そこの部分がどこにもありませんでした
これの二次元バージョン（平面を直線で区切ったときにできる領域の数）がnC2+nC1+nC0で、同じことができるらしいんですけど
参考書で見たことあった解答は地道に漸化式使う方法だったんで知りたいです
これが(1)で(2)(3)は途中で解説見るのやめるレベルのシンプルにクソ問でした
308：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 10:19:36 ID:sjiJdQUs: 出題というか質問になってしまうのですが大丈夫でしょうか
出題者いわく、中卒でも解けるが高一以上が適正レベルらしいです

x^2+xy+y^2=49
y^2+yz+z^2=144
z^2+zx+x^2=169
x>0, y>0, z>0のとき、x, y, zを求めよ
309：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 18:11:38 ID:VwzKVR8s: 1番上の式から、yが7以上で有れば破綻することが最初の一歩ですかね
仮定と合わせて0<y<7なのでその範囲で1番上の式に総当たりしてみる
そうすると(x、y)＝(3、5)、(5、3)の組しか無い
yが3か5なのでそれを真ん中の式に入れて二次方程式を解く
そうすると(x、y、z)＝(3、5、7)のみになる
最後これを代入して与式が成り立つことを言って終わりだと思います

x、y、zが自然数じゃなかったら知りません…
310：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 18:55:17 ID:DM.Wvhv.: (x+y)^2-xy=7^2で計算すれば割と暗算のみでいけます
(x+y+7)(x+y-7)=xyでもよさそうです
二式を引くとy-zとかでくくれるのでそこから計算してもいいです
自然数じゃなかったら知りません
三式足して(a+b+c)^2と比較したりすんのかなと思ったけどそっち方面はわかりませんでした
311：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 12:16:12 ID:58qGHElw: 整数問題を作るのが難しかったので初投稿です
三次方程式の解の関係使うの結構難しいですねこれ

xy平面上の点Pから引かれたx^2+y^2=1への接線の2つの接点をA,Bと置く
△ABPが正方形となるとき、Pの軌跡を求めよ
312：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 12:16:37 ID:58qGHElw: 正方形じゃなくて正三角形です…
313：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 15:55:45 ID:pKSDs7F6: 308ですが、つべのチャット欄で投げられてた問題なので、自然数云々など問題自体がガバガバな所もあったかもしれません。回答してくださった方々ありがとうございます
314：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/04(月) 11:57:10 ID:MmmWnA5g: >>311が（たぶん）中学生にもすぐ解けることに気づいたので問題追加です
(1)は中学生のホモがいたら解いてみてください

xy平面上の点Pから引かれたx^2+y^2=1への接線の2つの接点をA,Bと置く
(1)△ABPが正三角形となるとき、Pの軌跡を求めよ
(2)四角形OABP（Oは原点）の面積が√3となるとき、Pのとりうる領域を求めよ
315：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/06(水) 15:15:04 ID:hEkLQCdg: (2)の四角形ってもしかしてOAPBですかね？
だとすると(1)と(2)って答え一緒になる気がしますが
316：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/06(水) 20:46:02 ID:kZHDq52w: (1)だけであることを示すのが意外と面倒くさいんですけど
∠OAB=θ(0≦θ≦180°)とおいて地道に導いたらsinθ+sinθ(1-cosθ)/(1+cosθ)=2√3とか出てきたんですけどなんなんすかねこれ
最大最小なら導けそうですけど
317：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:51:04 ID:k9kYcBMA: OAPBは対角線が直角な四角形だから面積はAB×OP×1/2で求められる
対角線の交点をMとしてAB・OPを求めていく
ABについては、∠OAB=ΘとするとAM=cosΘなのでAB=2AM=2cosΘ
OPについては、OP＝OM+MPとみて考える。
OM=sinΘ。PMについては、⊿APMと⊿OAMが相似になってるので比を利用してPM=cosΘ^2/sinΘ
よってOP＝sinΘ+cos^/sinΘ=1/sinΘ
よって面積=AB×OP×1/2=1/tanΘ
これが√3になるのでΘは30°一つに決定される
Θが一つしかないからOPの長さも一つに固定されるからとりうる領域はそれをぐるっと回した円になる(雑)

∠∠∠∠∠∠
318：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:52:32 ID:k9kYcBMA: 答案書くのに∠いっぱい使うかと思って下の方に溜めといたの消し忘れたゾ(池沼)
319：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:59:48 ID:k9kYcBMA: 相似なんて考えなくても直角三角形OAPでOAが1だから斜辺OPは1/sinΘで終わりっ！て考えられますねえ
320：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 05:22:41 ID:NnrfUK6M: ∠AOB=θとしてA(1,0)とB(cosθ,sinθ)にする王道パターンだと比較的計算地獄に陥りそうですねこれ
ABが√(2-2cosθ)とかやりはじめると
321：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/13(水) 22:54:21 ID:DhvlmpBs: 面白い問題拾ったので初投稿です
xy平面上の原点を中心とする半径１の円周上にN個の点を無作為に配置し（すなわち各点は円周上に一様かつ互いに独立に分布）、各点で円周を分割してN個の円弧を作成する。このとき点(1,0)を含む円弧の長さの期待値を求めよ。
ヒント：1/Nじゃないゾ
322：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/13(水) 22:59:30 ID:DhvlmpBs: すみませんガバりました
円周の長さは2πなので
ヒント：2π/Nじゃないゾ
が正しいヒントですね
323：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 00:02:02 ID:Wc/oybvk: 2π/Nだと思ったけど違うんですね
なんとなくの直観で点が(1、0)上にあるときが重要な気がする(小並感)
324：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 00:25:07 ID:vSjo9y7k: A(1,0)から数直線で考えると重なるときと重ならないときで点の数が変わるから場合分け？
Aの左隣（Aを含む）に打った点から数直線引こうと思ったらなんかめんどくさい気がしたので
それとも三角関数やθが関わったりするのだろうか
325：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 07:47:40 ID:eSfbVlrs: 点が重なる確率はゼロなのでそういう事象は度外視できるはず
大学レベルの確率統計を前提とした問題ですかね
一様分布とか一応高校数学でも扱ったっけ？
326：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 07:56:39 ID:vSjo9y7k: 一応数2Bでやります（大昔はC）
ただセンターや共通テストでベクトルやるのがめんどくさい人がやるものではある
(1,0)は単位円上の点だし点N_1(cosθ1,sinθ1),…,N_N(cosθN,sinθN)(0≦θk<2π)で考えても除外できないんじゃないかと
327：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 09:14:20 ID:eSfbVlrs: 一応高校でやるんですね
一様分布に従う変数がある一点にたまたま重なる確率はゼロなのでそういう事象は無視する(期待値計算には影響しないし)、みたいな議論は大学の確率統計じゃないとやらなそうですが
328：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/16(土) 18:06:12 ID:/bwgyz6c: ヒントオナシャス！
329：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:45:34 ID:iZ0hhfPs: >>321のヒントです
まず基本的な大前提として、こういう確率論の問題では確率０の事象（点がたまたま重なる）は無視して考えましょう
コインの裏表が50％っていったときに、じゃあコインが立ったらどうなるのかみたいな話をしたらキリがありませんからね

そもそもなぜ期待値が2π/Nにならないかですが、N個作成されたうちから無作為に円弧を取ってくれば確かに2π/Nなのですが、ここでは「予め指定された一点を含む」という条件がついてきます
ある一点を含む確率は長い円弧の方が短い円弧よりも高いので、答えは必然的に2π/Nより大きな値になります

具体的解法ですが、これは２通りの解き方があります
１つ目の解法はひらめき重視なのでヒントは出しにくいのですが、「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/(N-1)」という事実に注目、とでも言っておきます
２つ目の解法は数学的に厳密だけど力ずくで、大学レベルの確率論の知識が前提です
それぞれの点の弧度法による位置θ1,...,θNは(0,2π)上の一様分布に従うので、点(1,0)を含む円弧の長さをθ1,...,θNの関数として表現し、期待値を計算しましょう
330：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:49:45 ID:iZ0hhfPs: すみません、また記述ガバです
「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/N」が正しいですね
331：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 15:01:23 ID:GKJAH7rg: （複素平面上でe^iθとかするほうが楽なんだろうという想像はできそうなんですが数2Bまでしかやって）ないです。
(1,0)に近い3点を定めてどちらの円弧に(1,0)をふくむかとか考えると余計共役複素数とか出てきそう
332：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/28(木) 17:17:11 ID:ti.atY9A: 単位円を(1,0)から始まり終わる数直線にして
N+1個の点を打って、(1,0)からの距離の絶対値が一番小さい点P_N+1を一つ取り除けば必ず題意を満たすN個の点が打たれた単位円ができる
ところで、点P_N+1から伸びる円弧の長さの期待値は(2π/N+1)×2=4π/N+1であるから、これが求める期待値なんかな
確信がないわ、言うのやめとくわ
333：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/01(日) 22:19:57 ID:MK8LQDVA: 問題思いついたのでそろそろ次の問題出したい…
答え教えて下さい！おなしゃす！
334：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/01(日) 22:44:14 ID:VVc.A92E: >>332が正解です、レス見落としてて申し訳ない
解法１
円は対称なので、N+1個の点を打った時に最初に打った点を(1,0)と見なせば、「最初に打った点を含む２つの円弧の期待値」を求める問題に帰着でき、答えは4π/(N+1)
解法２
>>329のように(θ1,...,θN)を定義すると、点(1,0)を含む円弧の長さはmin{θ1,...,θN}+2π-max{θ1,...,θN}と示される。累積分布関数Fに従うN個の独立な確率変数の最大値の累積分布はF^Nであることを利用して、期待値を計算すると（計算は省略）、やはり答えは4π/(N+1)
335：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/03(火) 23:09:10 ID:LL1eGhwQ: 問題を出します
11…11のように1がk個並ぶ数があります(1≦k≦8101919)
この形の整数のうち少なくとも1つは8101919の倍数であることを示してください
336：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 00:58:06 ID:8ttxOOZ6: >>335
全ての桁が1な8101919個の整数の中に8101919の倍数が無いと仮定する
それらを8101919で割った余りは1以上8101918以下であるから多くても8101918種類、よって余りが同じとなる数が最低2つある
その二数の差は（全ての桁が1の数）×（10の何乗か）で表され、8101919の倍数である
10は8101919と互いに素だから（全ての桁が1の数）が8101919の倍数でなければならないがこれは仮定に矛盾する
337：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 03:03:01 ID:yiKx5FB6: 数2Bをやったことのあるホモなら、整数a,b,c,d(a≠0,d≠0)を係数に持つ三次方程式
ax^3+bx^2+cx+d=0
を因数定理で解こうとするとき、
x=(dの約数)/(aの約数)…①
を代入することによって解こうとしたことがあるはずです。
ところで、上記のxに関する三次方程式は、①で表されない有理数解を持ちうるでしょうか？
持っているなら、それはどんなものでしょうか？
338：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 20:43:49 ID:yiKx5FB6: >>337を出す間に、π<√10を示せという問題が出せたら面白いなと思いましたが
ちょっと調べたら具体的な数値を使わずに初等的に示すならバーゼル問題使わないといけないみたいでびっくりしました（それでも難しい）
339：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 22:38:36 ID:/2I3EGhs: >>336 早すぎィ！
この問題はJJMOからの改題です
鳩の巣原理(ディリクレの箱入れ原理)を使った問題は珍しいので出題してみました
名前が可愛くてすき
340：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/15(日) 14:59:15 ID:wo9.uUsU: >>337に答えが来ないので
aとdの最大公約数をr（≠0）とする
するとaとdは0でない整数A,Dを使うとa=rA,d=rBと表される
AとBは互いに素なので、d/a=D/Aである
与式に有理数p/q（p,qは0でなく互いに素な整数）を代入すると
a(p/q)^3+b(p/q)^2+c(p/q)=-d
左辺をpでくくって両辺にq^3を掛けると
p(ap^2+bpq+cq^2)=-dq^3
pとqは互いに素であるからpとq^3も互いに素であるので、pはdの約数である…①
同様にa(p/q)^3について
q(dq^2+cpq+bp^2)=-ap^3
と表すこともできるので、qとp^3が互いに素より、qはaの約数である
よって
p/qは(dの約数)/(aの約数)であり、これは冒頭の議論により一般性を失わない

これはxが何次式でも成り立つ証明ですが、もしかしたら3次式ならではの証明があったかもしれません
341：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/15(日) 15:36:22 ID:wo9.uUsU: ちなみに
√10>π
を
∞
Σ1/n^2=π/6
n=1
を使って証明させる問題は調べたら出てきたやつなんでオリジナルではないのですが、すごかったです（小学生並みの感想）
当然数3は使います
342：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/19(木) 21:15:14 ID:X.fR66a2: 数2Bな範囲で問題出したいです
ホモの高校生はウマ娘や競馬が流行っていても手を出せないので、あの気分をもう一度味わってみたかったんです
競馬を題材にした問題はまだ出せそうですね

10頭で行われる競馬のレースが存在し、10頭それぞれに対応する券が販売されている
券に対応する馬がレースに勝利すると、正の実数×購入枚数が購入者に支払われる
このとき、Aさんがすべての馬の券を1枚ずつ購入したとき、かならず損をする（購入代金以上の金銭を得ることがない）ための必要十分条件を求めよ
ただし、Aさんが券を1枚だけ買ったときは得をする（購入代金以上の金銭を得る）場合が必ず存在するとする
343：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/11(土) 01:49:22 ID:FWZcnyTw: 東大で三角関数の加法定理の証明が出題されたり>>337の問題があったり、点と直線の距離の証明の問題もあったりしますが
ほかに数2Bまでの有名な事実で証明を出題されると難しい問題ってあるんですかね？
344：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/12(日) 08:37:15 ID:09H1N0QQ: >>342
i番目の馬が勝った時の単勝馬券の払戻額をb_i、馬券1枚の購入費用をcとおくと、１枚づつすべて購入したとき必ず（確率１で）損をするのは、すべてのi=1,...,10についてb_i<10cのとき。
…と条件を記述できる思うんですが、これじゃ単純に定義しただけですかね？条件を変形するともっと直観的に意味のある条件になるんですかね？
上の条件は競馬用語だと「全ての馬が単勝10倍未満」と解釈できると思いますが
345：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/12(日) 09:30:54 ID:mr5qlOBE: >>344
条件によりレースに勝利する馬は1頭以上存在しますが
逆に条件に「必ず1頭の馬だけが勝利する」とは書かれていないので、一位同着の馬が複数存在することを考えなければいけません
たとえば1≦i<j≦10のとき、iとjに割り当てられた馬が勝利するなら、払戻金はc(b_i+b_j)となり、これは>>344の条件だけだと10cを超えてしまうかもしれません
すべての馬が同着で勝利するときの払戻金は
10
Σb_k<10c
k=1
（ただしb_i>c（iは1≦i≦10の整数）となるようなものが1つ以上必ず存在する）
となればよさそうです
これは各馬の勝率によらないので用意していた答えでした

大昔に存在した引っ掛けなぞなぞを出題する小○生みたいでした。
注意深く考えたつもりですがこれでも不十分かもしれません
たぶんこれを競馬っぽく書く方法はないんじゃないですかね…（実際の競馬は同着になった場合の単勝払い戻しは単純な足し算にはならない）
346：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 01:50:28 ID:pDR/b/Mk: YouTubeであまり再生されてないけど面白い問題を見たので、その動画を見てないホモは考えてみてください
中学生のホモでもわかるようになっています

任意の三角形ABCについて下の図のように定める
https://i.imgur.com/9P4zwsM.jpg（垂線「の足」を書き忘れてます）
このとき
△ADPと△AFPが合同なので
DP=FP…①
AD=AF…②
△PBEと△PCEも合同なので
BP=PC…③
①、③、∠BDP=∠CFP=90°より△BDPと△CFPも合同であるから
DB=FC…④
②、④より
AD+DB=AF＋FC
よってAB＝ACとなり、すべての三角形は二等辺三角形であることが示された

このすべての三角形が二等辺三角形であるという明らかに誤っているのにもっともらしい証明のどこが間違っているかを示してください
347：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 18:50:37 ID:WGFGq6s2: 「△BDPと△CFPも合同」の部分ですね。
①、③から合同を示すなら角BPDと角CPFが等しくなきゃいけない。
348：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 20:59:23 ID:1tdGLz7E: 例えばAB>ACだとAの二等分線は辺BCの中点よりC寄りを通るはずで、交点Pは三角形ABCの外部にくるはず
Pが三角形の内部にある前提で証明を進めているのが間違いですかね？
349：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 21:33:36 ID:pDR/b/Mk: >>347
2つの辺が同じ長さの直角三角形は三平方の定理より合同っすね…

>>348
かなり近いのですが、一般的に言えるのかという部分と
外にあるとどう証明に不備が生じるのかが問題っすね

やっぱりペイントで図を書いたのでガバガバさが太いと思います
350：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/22(水) 00:18:42 ID:RpCw.bpI: >>349 ああ恥ずかしい、やだこんな恥ずかしい･･･(347記入者)
FとDが片方BCより上、片方BCより下になることを示せば良さそうですね。
351：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/07/02(土) 15:42:49 ID:lRuVWHt.: いまさらながら答えなのですが、
角の二等分線の定理からBCはAB:BCに分けられ、この点とAを結ぶ直線はBCの中点の上を通ることはありえないので（中点を通るのなら二等辺三角形）
Pは三角形の外になる
ここから両辺に垂線を降ろすと片方の足はかならずAB,ACどちらかの延長線上にあるので
AD+DB=AB,AF+FC=ACはどちらか片方しか成り立たず、ABの外にDがあるようならAD-DB=ABとなる（両方成立するなら二等辺三角形）
よって、AD+DB=AF+FCまではどんな三角形でも正しいけれど、最後のよってAB=ACだけが正しくない

でした。図というものはたいがい適当に書くものですが、それにトリックがあるという場合もあるということですね
352：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/08/01(月) 07:52:26 ID:dFWmPzfI: NaNじぇい大学入試問題作れそうですねこれ
353：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/09/25(日) 16:15:27 ID:gi.rEGjY: >>314について四角形OAPBの個数を調べる議論がちょっと楽しそうだったので、
(3)Pを中心とする円Cがx^2+y^2=1と接するとき、円Cが通過する領域の面積
とかほかに類題あるかなって考えてたんですけど
そもそも>>317がよくわからなくて四角形OAPBの対角線って常に直交してるんですかね？
354：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 04:11:13 ID:Lc4HL3SY: 多項式
x^4+6x^2+2
が実数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能である場合は因数分解せよ。

京大の院試の過去問解説を聞いていたらここが通過点だったのですが、これだけなら数IIBの範囲でできるなと思ったので初出題です。
このスレにある証明をアンカーで引用すれば楽になる部分もあるので、年末年始に暇なホモや追い込みたい受験生のホモも頑張ってみてください
355：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 15:47:01 ID:oeW3I4Ns: 無理矢理平方完成して、
(与式)
=(x^2+3)^2-7
=(x^2+3+√7)(x^2+3-√7)

なんですかね？これ以上いけるのかとかは分からないです
356：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 16:24:43 ID:MVmSVZpY: 久々にスレ上がってますね
やりますよーやるやる
357：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 17:27:30 ID:dJXcAdqs: x^2≧0だから(x-a)(x^3+bx^2+cx+d)の形には分解できない
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)の形に分解できると仮定すると係数比較して ①a+c=0 ②b+d+ac=6 ③ad+bc=0 ④bd=2が成立
①③よりa(d-b)=0だがa=c=0は不適、b=dも④が成立せず不適
よって実数係数では因数分解できない　でいいんでしかね？
358：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 19:13:13 ID:Lc4HL3SY: あ、これ

多項式x^4-6x^2+6が
(1)有理数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能ならば因数分解せよ。
(2)実数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能ならば因数分解せよ。

のほうがよかったですね…
どちらにせよ>>355と>>357はどちらも正解です。（>>355の議論はもちろん不十分ですが）
途中式にあった多項式をそのまんま引っ張ってきてはいけない（戒め）
359：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/02(月) 01:11:40 ID:f.IFIn4A: 調べたらアイゼンシュタイン多項式の既約の証明って数2Bレベルでできるのでそれこそ京大くんが入試で出したことあるらしいですね
んだよこのクソ捨て問（ﾍﾟｼｯ
360：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 20:17:15 ID:jc3hrWCE: あー年始だから2023にちなんだ問題を作りたかったけど何も思いつかない
√2023m を有理数にする最小の整数mは？とかくらいしか
361：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 21:53:14 ID:AGkZ1ibI: 17^2*7なのはいかにも悪用できそうっすね
ただ9^2*10=810でもここのホモがなかなか問題を思いつくのが難しいんで毎年そういうのを考えている大学入試作る人は大変だなと思いました

(1)小さいものから順に正の約数をならべたとき、2023が5番目にくる自然数のうち最小のものをもとめよ
(2)小さいものから順に正の約数をならべたとき、2023が6番目にくる自然数をすべてもとめよ
362：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 23:48:50 ID:jc3hrWCE: (1)なんですが
2023=7*17*17を約数に持つということは
1、7、17、7*17、17*17が約数にあるはずなので2023が絶対5番目に来れない…来れなくない？
間違っていたらごめんなさい…
363：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:02:32 ID:lMXJpVws: >>362
(1)は解なしですね。
勝手な改題ですけど (1)を2023が6番目 (2)を2023が7番目かつ、2023以上の素数を約数に含まないの条件が良い気がしてます
364：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:38:05 ID:j/kiwFC6: >>363
題意その通りというか、それどころか
(1)7番目で最小(2)8番目で最小
でした。申し訳ナス！
365：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:51:10 ID:j/kiwFC6: ちゃんと記述して再出題です。

(1)正の約数を小さいものから順に並べたとき、2023が7番目になる自然数nで最小のnを求めよ
(2)正の約数を小さいものから順に並べたとき、2023が8番目になり、かつn<4*10^6である自然数nをすべて求めよ