【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】

329：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:45:34 ID:iZ0hhfPs: >>321のヒントです
まず基本的な大前提として、こういう確率論の問題では確率０の事象（点がたまたま重なる）は無視して考えましょう
コインの裏表が50％っていったときに、じゃあコインが立ったらどうなるのかみたいな話をしたらキリがありませんからね

そもそもなぜ期待値が2π/Nにならないかですが、N個作成されたうちから無作為に円弧を取ってくれば確かに2π/Nなのですが、ここでは「予め指定された一点を含む」という条件がついてきます
ある一点を含む確率は長い円弧の方が短い円弧よりも高いので、答えは必然的に2π/Nより大きな値になります

具体的解法ですが、これは２通りの解き方があります
１つ目の解法はひらめき重視なのでヒントは出しにくいのですが、「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/(N-1)」という事実に注目、とでも言っておきます
２つ目の解法は数学的に厳密だけど力ずくで、大学レベルの確率論の知識が前提です
それぞれの点の弧度法による位置θ1,...,θNは(0,2π)上の一様分布に従うので、点(1,0)を含む円弧の長さをθ1,...,θNの関数として表現し、期待値を計算しましょう

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