【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】 - 1641798536

1：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/10(月) 16:08:56 ID:KPtG2zvw: 面白い数学の問題を紹介したり、オリジナルの問題を出し合うスレです
ということで早速オリジナル問題を出してみるので考えてみてください
166：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 11:59:29 ID:ETj3P/yk: らてふ派は数学に強いな
167：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 16:27:29 ID:AME6chzE: texでテフと読むの未だに納得できてない
テックスだろテックス
168：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/22(土) 23:29:22 ID:P9awiHoE: 〈オリジナル問題〉

問題を考えてみたのですがどうにも答えが出なかったのでとりあえずここに投げます

1から9の数字が書かれたカードが1枚ずつ、計9枚あります
ここから4枚のカードを引き、引いた順にカードを並べ4桁の整数にします
例えば9、3、1、5の順にカードを引いた時、できる数字は9315となります

ここで9315は9でも、3でも、1でも、5でも割り切れます
このようにできる整数が各々の位の数字で割り切れるような数字は何通り作ることができるでしょうか
169：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/22(土) 23:31:25 ID:P9awiHoE: この辺にぃ、うまい数論の解き方ないらしいっすよ…
場合分けもイマイチよくわからないしどうすればいいのやら
プログラム組める兄貴ならささっと総当たりで解いてくれそう
170：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 00:10:43 ID:g3AFhEug: 1000p+100q+10r+s（p,q,r,sは1~9までの互いに異なる整数）をpqrsと表記する
1の倍数は自明
2の倍数はsの奇遇だけで判断
3の倍数はp+q+r+s≡0(mod3)で判断
4の倍数はrs≡0(mod4)で判断
5の倍数はsが0か5
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数
8の倍数はqが奇数のときrs≡0(mod8)、qが偶数のrs≡4(mod8)
9の倍数はp+q+r+s≡0(mod9)
となんか整理できそうなので7の倍数をうまく表せればいいですね（他力本願）
171：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 00:45:32 ID:iAlxvv.c: 出来る数が奇数のとき
→1.3.5.7.9のうち4つ使って条件充たす必要がある
13579の合計25から一個抜いて3or9or両方の倍数にしないといけないから
1.3.5.9の組み合わせしか無理
かつ◯◯◯5にならないといけないから
結局奇数で出来るのは6通りだけっぽいすね
偶数も同じ感じでいけるんじゃない？(眠いので放棄)
172：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 01:14:32 ID:g3AFhEug: 3248
9126
とかあるから偶数はめんどくさそうですね（適当）
139が絡んでくるだけでしょうけど
173：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 02:40:42 ID:DaHtEHAo: 多分ですが偶数が一つの場合は可能なのものがありませんね
忙しくて詳細書けませんが
あと5が含まれる場合>>171が書かれた一の位が5で他は139自由に並べるパターンしかないはずです
174：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:12:08 ID:iAlxvv.c: 偶数の時　5は完全に排除可能
下一桁が2，4，6，8、で場合分け
（1）下一桁が2の場合　
9を必ず使うとすると残り2つの候補は9の倍数条件的に(1,6)か(3,4)（2と9で11になるため9の倍数18のために7を残り2数で作る）
(2,3,4,9)→下二桁が4で割れる○○32で2通り
(1,2,6,9)→○○○2で6通り

8を必ず使って残り2つを7以下(13467)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは8奇12,8偶32,○832,8遇72,○872
8奇12→8312は3で割れないので無理、8712は7で割れないので無理
8遇32と○832→832の合計13に残りの候補数字1467どれを足しても3で割れないので無理
8遇72→8472は7で割れないので無理、8672は6で割れないので無理
○872→1,3,6を入れても7で割れない 4872は7で割れるので1通り

7を必ず使って6以下(1346)から残り2つを選ぶとすると、2と7の合計が9なので3と6を使う場合は必ずこの2ペアで入れる必要がある
36を使う→3672,3762,6372,6732,7362,7632→どれも7で割れないので無理
36を使わない→（1,2,4,7)→4で割れるのは1472か4172だが更に7で割れるのは4172のみで1通り

6を必ず使って4以下(134)から残り2つを選ぶと、3の倍数条件的に残りの選び方は1.3か3.4
(1,2,3,6)→○○○2で6通り
(2,3,4,6)→4の倍数になる○○32で2通り

4以下で3つ選ぶのは(1,2,3,4)→3で割れないので無理

よって下一桁が2になる場合は計18通り

あとは下一桁が4の場合と6の場合と8の場合を考えればいいゾ(放棄)
こんなやり方じゃ数学になんないよ(呆れ)
175：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:32:42 ID:iAlxvv.c: 4の場合は○○24、○○64、○○84
8の場合は○奇28、○奇68、○遇48
6の場合は残りが1,2,3,4,7,8,9の中で和が3の倍数になる3数
って感じで2よりはふるいにかけやすそうっすね
176：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:50:35 ID:g3AFhEug: 7があまりにも悪さをしている、訴訟
高校生のホモのみんなは13×7=91とか17×7=119とかが整数の問題では頻出なので覚えておきましょう
177：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:04:34 ID:DaHtEHAo: >>170の表記を採用して考えます
(1)５が含まれる場合
　もし他に偶数が含まれているとabcdは10の倍数となり、d=0となるので矛盾。
　よって他の数字は全て奇数(1,3,7,9)となります。
(1-i)更に9を含む場合
　(1+3+7+9+5)-(1or3or7)≡0 (mod9)
　となるので1,3,9,5の組み合わせのみが可能となる。5の倍数なので一桁目は5、他は自由とわかる。よって6通りが見つかる。
(1-ii)更に9を含まない場合
　1,3,7,5で作りたいが、3の倍数であるべきにも拘らず1+3+7+5=16は三の倍数ではないので不可能。

(1)より5を含む場合、1395および1,3,9を自由に交代した計6通りが可能である。

以下からは1,2,3,4,6,7,8,9の組み合わせから考えればよい。
(2)全て奇数の場合
　1,3,7,9で作られるが、1+3+7+9=20は3の倍数ではないので不可能。よって存在しない
(3)全て偶数の場合
　2,4,6,8で作られるが、6が含まれるので少なくとも3の倍数になる。一方2+4+6+8=20より3の倍数ではないので不可能。よって存在しない。

補題(a)：１の位は必ず偶数
　もし１の位（d）が奇数の場合、abcdは奇数なので、二で割り切れない。よってa,b,cは奇数。しかし(2)からそのようなabcdは存在しないので、dは必ず偶数になる事が分かる。

(4)偶数が一つの場合。
　補題(a)より１の位が偶数となる。他の位は1,3,7,9から三つ選ばれる。
(4-i)更に9が含まれる場合。
　1+3+7+9+d(偶数)-(1or3or7)=20+d-(1or3or7)≡0 (mod9)
　この時、20+d-(1or3or7)は必ず奇数なので、これは9or27が有り得る。9を目標として最小条件を考えるとd=2とし減算は7を行うので、20+2-7=15で9には届かない。
　よって27を目標とすべきであり、その条件に合致するのはd=8で1を使わないパターンである。つまり、3,7,8,9を用いて考える。
　補題(a)から一の位が8であり、また8の倍数となるので、100b+10c≡0 (mod8)となる。更に変形して、4b+2c≡0(mod8)⇒2b+c≡0(mod4)しかし、最後の式でb,cが奇数だから左辺は奇数、一方左辺は偶数なので不適。
　よって3,7,8,9で適切なabcdは作れない。
(4-ii)9が含まれない場合。
　1,3,7,d(偶数)でabcdを作ることになる。3を含むので3の倍数となるため、1+3+7+dが三の倍数となるのはd=4の時のみ。よってabcdはd=4で4の倍数となる。すると10c≡0(mod4)⇒2c≡0(mod4)⇒c≡0(mod2)となるが、cは奇数の為、不適。
　よって1,3,7,d(偶数)で　abcdは作れない。
以上から、偶数が一つで適切なabcdは存在しない。

此処まではやりました。偶数が二つ、三つの場合は…ナオキです…。
178：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:05:56 ID:g3AFhEug: >>80の出題者なのでせっかくだからつかうと
∑10^kA_k(A_nは0~9までの整数をとる)が7の倍数である条件は
∑(7+3)^kA_kなので、二項定理より与式=7d+∑3^kA_kが7の倍数
∑3^kA_k≡0(mod7)と求められるので
27p+9q+3r+s≡0(mod7)なら7の倍数です
直接7で割ったほうが早いのはそのとおりです
179：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:19:15 ID:DaHtEHAo: >>177
長いので纏めを書いておきます

・5が含まれる場合は、1,3,9,5のパターンのみ可能であり、以後５を除いた数字のみを考えればいい。
―――以下、5は考えない――
・全て奇数の場合は有り得ない
・全て偶数の場合は有り得ない。
・一の位は必ず偶数
・偶数が一つの場合は有り得ない。

以上です。
180：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:20:50 ID:g3AFhEug: 6p+2q+3r+s≡0(mod7)は3や9とのテストに使えるのとsは偶数の性質が役に立つかもしれない（適当）
181：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:29:42 ID:vth82seA: >>176 「すべてがFになる」の真賀田博士を思い出しますねぇ！
それはともかく前提条件は簡単なのにここまで複雑になるんですね…
182：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 19:34:20 ID:rTmDWDas: >>174 氏と>>175氏の提言にならって下一桁が4の場合をやってみました

(2)下一桁が4の場合
この場合、abcd自体が4で割り切れなければいけないので○○24、○○64、○○84の三パターンある

ⅰ)○○24の場合
9を使うとすると、9の倍数条件より残りは3が確定する
よって3924、9324の2通り

8を使うとすると(残りは8以下とする)、倍数条件より下3桁が8の倍数でないといけないため下一桁は624、824のみとなるが、8624は不適(∵6の倍数ではない)。1824のみ。1通り。

7を必ず使うとすると(残りは6以下)、下二桁が24となる4桁の7の倍数は1624、2324、3024、3724、4424、5124、5824、6524、7224、7924、8624、9324のみ。この中に条件を満たす数はない。

6を必ず使うとすると、6の倍数条件から残りは3のみ。よって3624、6324のみ。2通り。

4以下から4つ選ぶのは不適。

ⅱ)○○64のとき
6の倍数条件から○+○＝8 or 14なので可能性としては(1、７)のみ(∵14の時は全て数字が被る)。ここから条件に適するのは1764のみ。1通り

ⅲ)○○84のとき
8の倍数条件から下3桁は184、384、784、984のみ。
このうち784は7の倍数なので4桁にすると7の倍数になる数として不適。
○184→2184のみ
○384→6384のみ(∵3の倍数条件)
○984→6984のみ(∵9の倍数条件)
よって3通り

ⅰ)～ⅲ）より条件を満たす下一桁が4の数は9通り。

個人的に1764が条件を満たすのに感動しました
183：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 20:44:01 ID:VwyG5TqY: 昨日途中放棄した人間の屑です
続きやってくれるホモがいるとはたまげたなぁ
せっかくやって頂いたので茶々を入れさせてもらうと、
◯◯24で(7,2,4)と残り1つ(6,5,3,1)を検討してるところは
先に6,5,3を3の倍数や5の倍数条件的に候補から外せばより楽かな？と思います
解き方の話なのでほんとにただの茶々です

7くんが基本邪魔してくるけどたまにデレてくれるの楽しいですよね(錯乱)
184：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 23:15:35 ID:VwyG5TqY: 続きに触発されたので再続行して完走しました。

(3)一桁目が6の場合
9を必ず使って残り2つを8以下(123478)から選ぶとすると、残り候補は(1,2)か(4,8) (∵69の和が15なので9の倍数条件的に残り2数の和が3or12)
(1,2,9)6→○○○6の6通り
(4,8,9)6→8の倍数条件的に○○96の2通り　

8を必ず使って残り2つを7以下(12347)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは○偶16,8奇36,8奇76
○偶16→168を使うと3の倍数条件的に残りは3のみ→8316の1通り
8奇36→3の倍数条件的に考えても1か7が候補になるが8736は7で…割れてんだよなあ！よおなあ！(歓喜)→8136と8736の2通り
8奇76→3の倍数条件的に候補は3のみだが8376は7で割れないので無理

7を必ず使って残り2つを4以下(1234)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(1,4)か(2，3)
(1,4,7)6→4の倍数条件的に4716,7416,1476,4176→いずれも７で割れないので無理
(2,3,7)6→2376,2736,3276,3726,7236,7326→3276だけ7で割れます。かわいいねえ3276くん→1通り

4を必ず使って残り2つを3以下(123)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(2,3)
(2,3,4)6→4の倍数条件的に○○36の2通り

よって一桁目が6の場合の数は14通り

一桁目が8の場合　8の倍数条件的に○奇28、○奇68、○偶48に限られる
ⅰ)○奇28に(1,3,4,6,7,9)から2数選んで入れる場合　
9を入れるとき→928の合計が19となり、9の倍数条件的に残りの数では無理
9以外(1,3,4,6,7)から選ぶと候補は○128,○328,○728
○128→3,4,6,7のうち3の倍数条件的に3,6は無理、7128も7で割れない　→4の倍数条件を充たす4128の1通り
○328→3の倍数条件的に無理
○728→728自体が7で割れてしまうため何を入れても7で割れないので無理

ⅱ)○奇68に(1,2,3,4,7,9)から2数選んで入れる場合　
9を入れるとき→9の倍数条件的に残り候補は4のみ→4968の1通り
9以外(1,2,3,4,7)から選ぶと候補は○168、○368、○768
○168→3の倍数条件的に残りは3のみ→3168の1通り
○368→3の倍数条件的に残りは1,4,7だが7368は7で割れない→1368と4368(4で割れる)の2通り
○768→3の倍数条件的に残りは3のみ→3768は7で割れないので無理

ⅲ)○偶48に(1,2,3,6,7,9)から2数選んで入れる場合
9を入れるとき→9の倍数条件的に残りは6のみ→9648の1通り
9以外(1,2,3,6,7)から選ぶと候補は○248、○648
○248→3の倍数条件的に3,6は無理、7248も7で割れないので無理→1248の1通り
○648→3の倍数条件的に3のみ→3648の1通り

よって一桁目が8の場合は8通り

(5)合計すると
奇数が6通り、○○○2が18通り、○○○4が9通り、○○○6が14通り、○○○8が8通りで計55通りですかね。
脳筋の人力洗い出しで搾りだした答えなんでどっかしらでやらかしてる可能性はありますあります(自信)
○○○4より○○○6の方がパターン多かったのが意外だったのと○○○8の時に全然7でイケなくて気持ちよくなかった(小並)

もっどのことは履修してないゆとり野郎なんでよく分からないんですけど、例えば設問の条件から7を抜いて8種の数字を扱う問題だったら簡単に解けたりするんすかね？
185：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/25(火) 15:02:03 ID:v45bBqMg: 皆さまありがとうございます、出題者として冥利に尽きます
元々は拓也さんの評判の「くさい子。」から思いついたネタなのですがここまで複雑になるとは思いませんでした
ただ問題設定としては面白いものの解く面から見ると美しい問題とは言えませんね
7を抜くなど数字を減らしたり、>>177の偶数が一つの場合は有り得ないことの証明などに限って改善してゆけば入試問題として使えそうなくらいにまで洗練することができそう
身の周りにも数学は隠れてるってはっきりわかんだね
186：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/25(火) 16:49:37 ID:r93Lv7n6: 拓也さんの評判が身の回りにある…？妙だな
187：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 17:14:21 ID:pCt1VhmA: >>184
7を抜くと>>177さんの偶数奇数分け方式がやりやすくなりますね
実質的に奇数が1、3、9だけになり、1なら割れることは確定だし3や9なら倍数条件が使えるので
188：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 21:09:34 ID:r7HDSQo6: 引く枚数を九枚まで拡張して同じ条件で考えたとき
最大の5の倍数が9315になることを示せ、とかなら入試問題にできそう（適当）
189：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 23:24:51 ID:tiF0ufkc: >>188
千の位に9があることがバレて瞬殺されそう
190：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 23:26:44 ID:BNKxLum2: 変な漸化式とか考えてたのにいつの間にか東大文系大問1みたいな問題がまたできたので初投稿です

整数a,b,cがあるとき
x^3+ax^2+bx+c=0
の解が-10≦α<β<γ≦10となるとする
3次曲線y=x^3+ax^2+bx+cをf(x)とすると、3つのx軸との交点を左からA,B,Cとして
（ABを直径とする円の面積）+（BCを直径とする円の面積）
が最大になるようにa,b,cを定めよ
最小にできるようにできるのかは知りません
191：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:27:35 ID:Wmh.y0rM: これって本当に解ありますかね……？
片方の円の半径を限りなく10に近付ければ面積は限界付近に行けるんですけど、
10になった途端方程式の解が2つだけになって答えにはならないんですよね
「最大値」は存在しないけど「上限（最小下界）」は存在してるみたいな状態じゃないですか？

ちなみに最小値は存在しますね
192：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:51:46 ID:zg2X7yT6: a,b,cを整数に保ったまま10(か-10)に二重解をもつように近づけられるかどうかは要検討じゃないですかね？(解けるとは言ってない)
193：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:55:55 ID:Wmh.y0rM: あっ、整数だということを見逃していました.....
ｾﾝｾﾝｼｬﾙ！
194：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 01:18:41 ID:d1W4JLkc: ACの長さdは(0≦d≦20)をとるが、（0≦d<20）としたとき2/dが半径のとき面積が最大となるが、このdに対して2/dを半径とする円と10-2/dを半径とする円の面積が足されたときに明らかにより大きくなるので、AC=20
ABの長さをtとすると、BCの長さは20-tとなる（0≦t≦20）
それぞれの半径の長さはt/2,10-t/2
2/t=x（0≦x≦10）と置くと、円の面積の和は
x^2π+(10-x)^2π=S
2π(x^2-10x+50)
=2π((x-5)^2+25)
x=0,10のとき最大となるが、この2つの値では三次方程式の解が重解となるので不適
よって、(x^2-100)(x±9)が求める式
本当はAとBの接線が垂直になるようにして…ってやりたかったけどそれが活かす問題を思いついていませんでした
意図通りの解法に導くって難しいですね…
195：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 12:29:04 ID:d1W4JLkc: nを自然数とする
数列A_nは
n^2A_n+2=Anを常に満たし、A_1=1/2,A_2=1であるという
このとき、A_nの一般項とA_nの総和Sを求めよ
196：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 21:49:54 ID:d1W4JLkc: 検算しなおしたらAnの特性方程式解いてそこで初項出す時に0除算が発生したのだけどおや、どうしたのだろう（無能）
それでも数2Bの範囲のはずです
197：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 22:39:19 ID:BctUA/oU: これでも特性方程式使えるんですね
考え方変えよう
198：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 22:46:11 ID:d1W4JLkc: まあ
An+2=An
や
4An+2=An
でも同じことするよね…ってのがヒントですね
199：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 00:06:57 ID:2BNluFWI: 最初は別の派生問題も考えていたのでA_1が1/2になっていましたが
計算があまりに煩雑になりそうなのでA_1=1,A_2=2とします（問題文や>>198でやってる通り数列をAnで表記しても問題ないです）
ゼロ除算が出てきそうなところはまだ変わってないので検算しなおします
200：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 08:32:41 ID:2BNluFWI: フィボナッチ数列が
An+2=An+An+1
でかつ
x^2-x-1=0の黄金比だみたいな話ではあります
201：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:25:12 ID:2BNluFWI: もうそろそろ解法を出したほうがいい感じですかね…？
202：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:29:32 ID:kmBnAQTM: できればあと30分待ってくだせぇ
背水の陣だ
203：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:40:01 ID:2BNluFWI: とりあえず休みの兄貴たちが出てくる土曜夜まで待ちます
0除算が出てくる問題は自分はなんとか克服しました
204：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 18:39:10 ID:kmBnAQTM: https://imgur.com/a/2TTtUC9
ここまでやってみたけど方向性あってますかね
もしくは偶奇での場合分け要りそうなんですけど自信無いゾ
205：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 19:00:58 ID:2BNluFWI: その通りです。
個人的にはx^2-1=0を素直に解いて
n(nAn+2±An+1)=nAn+1±An
のほうが扱いやすく、かつこの特性方程式を使わなくても思いつきやすいものだと思います
206：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 19:06:39 ID:2BNluFWI: 奇偶の使い分けが必要なのは総和を求めるときだけですね
もちろん奇遇で場合分けしても「Anの一般項」にはなりうるはずですが（どっかでそういう回答を見た気がする）
207：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 21:50:43 ID:LX/QidUo: 念のためなんですが
Bn=nA_(n+1)+An
と置いて
nBn+1=Bn
の漸化式を解くわけではありませんよね？
（そもそもnBn+1=Bnの形にはできないので）
208：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:13:06 ID:2BNluFWI: え、できないんですか（池沼）
n=Bn+1/Bn
という式に意味はあるように見えるんですが
209：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:25:34 ID:LX/QidUo: Bn+1=(n+1)A_(n+2)+A_(n+1)
になってしまうのでできませんね...
210：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:37:34 ID:kmBnAQTM: おそらくこの漸化式自体の一般項はこれですね
https://imgur.com/a/6GfUoyD
初項と第二項を調整すれば纏められるのかも知れないですが
今のままだと偶数項と奇数項で関わりがないように感じます
211：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:39:36 ID:kmBnAQTM: (あと不安になってWolfram Alphaでカンニングしたら一般項出てこなかったので聞いた所存であります…)
212：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:51:59 ID:2BNluFWI: n(nA_n+2+A_n+1)=nA_n+1+A_n
と
n(nA_n+2-A_n+1)=-(nA_n+1-An)
の漸化式が成り立つのならば両漸化式を解いたあと両者を足して…のつもりでした
ただ>>209をみてもいまだそれがなりたたないことを理解できてないです
213：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:55:22 ID:kmBnAQTM: >>212もしかしてこんな感じの答えになりませんでしたか？
https://imgur.com/a/PtafJSM
これは自分が解いたあと間違いに気づいたものなのですが…
214：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:58:05 ID:LX/QidUo: >>212
左辺ですよ
左辺の括弧の中身第一項が(n+1)An+2であって欲しいところがnAn+2になってるんです
これのせいでBn+1に置き換えられないんですよ
（チョコボール向井感）
215：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:04:51 ID:2BNluFWI: あ、そっかあ…
フィボナッチ数列のやつみたいな特性方程式が
x^2+ax+b=0
になるやつのバリエーションのつもりで作ったんですが致命的な勘違いをしてました
じゃ、流しますね…
216：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:09:26 ID:azU7aodM: nが奇数ならA(n)=1/(n!!)^2、偶数ならA(n)=2/(n!!)^2で詰んでました
二重階乗の逆数和って出せるのかと思って調べたら不完全ガンマ関数とか出てきてこれもうわかんねえな…
217：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:39:51 ID:2BNluFWI: もしかして
n(n+1)A_n+2=An
なら解ける問題だったってことですかね…？
218：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 10:37:57 ID:LzCaf9ew: >>217
試してみましたが少なくとも特性方程式は使えませんでした...
三項間漸化式の場合、特性方程式で用いる係数はnに依存できないので（※）、この方針はちょっと厳しいかもしれません

※特性方程式の解をα、βとして、漸化式は次のように変形できる
A_n+2 - αA_n+1 = β(A_n+1 - αA_n)
変形上、右辺と左辺のαは完全に同一なものであるべき。（①）
ここでもしαがnに依存してα_nと書けるとし、B_n=A_n+1 - α_nA_n という置き換えを使いたいとすると、漸化式は
A_n+2 - α_n+1A_n+1 = β(A_n+1 - α_nA_n)
となって欲しいが、①からα_n+1 = α_nであり、これが任意のnで成立するので結局全てのα_nは等しい⇒nに依存しないということになる
219：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 12:50:00 ID:LzCaf9ew: 面白そうな問題ができまし（満悦）
解いてくださいまし

【問題】『y=x^x^x^…が収束するには？』
y=x^x^x^…という関数について考えたい。（正確に書けばy=x^(x^(x^…))。）
より明確な定義として次のような数列{y_n}の極限としてyを与える。
　{y_n}：y_n+1=x^y_n, y1=x
　y≡lim[n→∞]y_n
このとき定義より、x>0,y>0は明らかである。
その一方でx=10としたとき、y=10^10^…は明らかに発散する。
よってyが発散しないxの範囲を特定するのが、この設問の目的である。

（問１）xがyを収束させると仮定して、yとxの関係をグラフに表し、xの取り得る範囲を「推定」しなさい。（この設問に寄り、もしxがyを収束させるなら、この「推定範囲」に限られることが分かる）

（問２）【問】(i),(ii)を解け。ただし次の【事実】(a)～(c)を用いても良い。
【事実】（以下で登場する全ての数列は暗に無限数列であると仮定している）
(a)　数列{a_n}が存在して、n→∞でαに収束するとする。ある適当な自然数の有限個の組{m_i}（1≦i≦N）が存在し、任意のnに対してある関数fが、f(a_n,a_(n+m_1),…,a_(n+m_N))=0を満たす時、f(α,α,…,α)=0が成立する。
　[例]：αに収束する数列{a_n}が存在し、任意のnに対し、a_n+2a_(n+1)=0を満たすなら、α+2α=0を満たす。（直ちにα=0がわかる。）

(b)　ある単調増加（減少）列{a_n}が存在した時、任意のnに対してある値Aが存在し、a_n<A （a_n＞A）を満たすならば、{a_n}はある値αに収束し、α≦A（α≧A）を満たす。
　[例]：数列{a_n}はa_n=1/2^nで表せられるとする。a_(n+1)-a_n=-1/2^(n+1)<0より、これは単調減少列であり、また任意のnに対し、a_n>0である。よって{a_n}はある値αに収束し、α≧0とわかる。（事実、α=0である）

(c)　ある数列{a_n}が存在して、【成分の順序を変えず】に、有限個の数列に分解した時、各々の数列が同じ値αに収束すれば、元の{a_n}もαに収束する。
[例]：{a_n}={1/2, 1/3, 1/5, 1/2^2, 1/3^2, 1/5^2,…}とする。このとき、この数列を次の三つの数列に分解する。
　{A_n}:A_n=1/2^n, {B_n}:B_n=1/3^n, {C_n}：C_n=1/5^n
このとき、いずれも0に収束するので元の数列{a_n}は0に収束する。

【問】
(i) x>1の時、yが収束可能かどうか、あるいはいつ可能か示しなさい。
(ii) x≦1の時、yが収束可能かどうか、あるいはいつ可能か示しなさい。

（問３）y=x^x^…が収束するxの範囲を答えなさい。
220：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 13:02:54 ID:LzCaf9ew: >>219
問2に関して、もし余裕があればxに対してyは幾つになるかも考えていただけると面白いかと
221：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 18:03:59 ID:LzCaf9ew: >>219
すみません問2(ii)なんですが、僕の解答にミスがあって解決中です。(i)及び問1は大丈夫です。申し訳🍆
222：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 18:46:35 ID:LzCaf9ew: >>221
解決できました。
この設問の状態だと厳しいと思うので進捗に応じてヒントを出していきたいと思います。
また要求があればその時も出します。

誰か既に取り組んでいるのかもわかりませんが、とりあえずそこそこ時間が経ったので問1に関して最初のヒントを出します。
【ヒント1】『y=x^x^...をx=...の形に変形する』
223：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:07:24 ID:y2IW8WmE: 114514年ぶりに対数微分法やって間違えちゃった…
224：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:19:39 ID:LzCaf9ew: >>223
（正解に近づいてる感じがして）良いですね！

（ひょっとして全体的な設問の難易度を下げたりヒントを直接的にした方が良い可能性が）濃いすか？
225：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:23:42 ID:VkWW5lBU: なんとなくこういうのはeとそこからの四則演算冪乗対数関連の数字が答えになる気がするんだ(自分で導出できるとは言ってない)
226：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:38:16 ID:V4GGA2BY: これは…ランベルトのW関数じゃな？
227：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:49:50 ID:LzCaf9ew: >>226
えっ...何それは...（困惑）

とりあえず特殊関数は用いなくても解ける形にはなっているので、その辺りはご安心下さい。
グラフも困ったらGoogle先生に書いてもらって方針付ければいいから多少はね？

そろそろヒント上げます。
【ヒント】y=x^x^...=x^(x^x^...)=x^yと変形でき、即ちy=x^yの形になる。これをx=の形に変形して、Google先生にグラフを書いてもらうと...？
228：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:27:16 ID:LzCaf9ew: 問題を改訂して誘導を増やしまし
どうにか取り組める人が増えてくれると嬉しいでし

【問題（>>219改訂版）】『y=x^x^x^…が収束するには？』
y=x^x^x^…という関数について考えたい。（正確に書けばy=x^(x^(x^…))。）
より明確な定義として次のような数列{y_n}の極限としてyを与える。
　{y_n}：y_n+1=x^y_n, y1=x
　y≡lim[n→∞]y_n
このとき定義より、x>0,y>0は明らかである。
その一方でx=10としたとき、y=10^10^…は明らかに発散する。
よってyが発散しないxの範囲を特定するのが、この設問の目的である。

（問１）xがyを収束させると仮定して、x=…の形に変形しなさい。またyとxの関係をグラフに表し、xの取り得る範囲を「推定」しなさい。
（この設問に寄り、もしxがyを収束させるなら、この「推定範囲」に限られることが分かる。しかし、xがこの「推定範囲」内ならば必ず収束するとは限らない）

（問２）始めに【補足問題】を解き、その結果を参考にして、【問】に答えよ。
【補足問題】 y>0の時、y^(1/y)≦yを示せ。また等号成立条件はいつか。※微分を用いることなく証明可能

【問】　(i)～(iv)を解け。ただし後述する【事実】を適宜用いて良い。各設問の末尾のアルファベットは、参考になる【事実】を表している。
(i) x>1の時、yが収束可能かどうか、或いはいつ収束可能か示しなさい。（a）
(ii) (i)の時、その収束先を答えなさい。ただし、数式で簡明に表すことは難しいので、言葉で説明する事を推奨する。（b）
(iii) 0<x≦1の時、{y_(2n-1)}、{y_2n}（前者が奇数番号のみを並べたy_nの数列、後者が偶数番号のそれ）が各々収束することを示しなさい。(a)
(iv) {y_(2n-1)}、{y_2n}の収束先を各々A,Bとして、A,Bに関する等式を二つ用意し、それらを満たす解を一つ見つけよ。またそれがただ一つの解である事を示せ。(b)
(v) {y_(2n-1)}、{y_2n}の収束先が同一であれば、元の{y_n}はそこに収束するし、同じでないなら{y_n}は収束しない。(iv)の結果から、0<x≦1での{y_n}の収束性を判断し、最終的にyを収束させることのできるxの範囲を答えなさい。また可能なら、どこに収束するか(ii)と同様に答えなさい。

【事実】（以下で登場する全ての数列は暗に無限数列であると仮定している）
(a)　ある単調増加（減少）列{a_n}が存在した時、任意のnに対してある値Aが存在し、a_n<A （a_n＞A）を満たすならば、{a_n}はある値αに収束し、α≦A（α≧A）を満たす。
　[例]：数列{a_n}はa_n=1/2^nで表せられるとする。a_(n+1)-a_n=-1/2^(n+1)<0より、これは単調減少列であり、また任意のnに対し、a_n>0である。よって{a_n}はある値αに収束し、α≧0とわかる。（事実、α=0である）

(b)　数列{a_n}が存在して、n→∞でαに収束するとする。ある適当な自然数mが存在し、任意のnに対して、ある関数fがf(a_n,a_(n+m))=0を満たす時、f(α,α)=0が成立する。
　[例]：αに収束する数列{a_n}が存在し、任意のnに対し、a_n+2a_(n+1)=0を満たすなら、α+2α=0を満たす。（直ちにα=0がわかる。）
229：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:38:05 ID:V4GGA2BY: x = y^(1/y)
両辺対数とって
ln(x) = (1/y)ln(y)
このxをyについて微分
x’/x = -(1/y^2)ln(y) + 1/(y^2)
→ x’ = [-(1/y^2)ln(y) + 1/(y^2)]*y^(1/y)
→ x’ = [y^(1/y)][1-ln(y)]/(y^2)

x’ = 0 (yが極値)になるのは
1-ln(y) = 0
→ y = e

このとき
x = e^(1/e) ～1.44
x > 0

問1のxの最大はe^(1/e)
とかですかね
230：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:54:32 ID:LzCaf9ew: >>229
その通りです！
まず、

y=x^y ⇔ logy=ylogx
⇔ (1/y)logy=logx
⇔ y^(1/y)=x
が分かります。また、対数微分法を用いると既に書かれたように
x’ = [y^(1/y)][1-ln(y)]/(y^2)
となり、0<y<eでx'>0（増加）、y=eでx'=0（極値）、y>eでx'<0（減少）とわかります。
よってy=eで最大値となり、その値はx=e^(1/e)です。

一応下限を調べるべくグラフ全体の形をより詳しくしらべると、
（google先生で外形を見てもらえれば一目瞭然ですが）、
x=y^(1/y)=1/(1/y)^(1/y)と変形できればy→+0でx→+0、
x=e^(logy/y)と変形できればy→∞でx→1とわかります。
https://i.imgur.com/g8IYDn9.jpg

前者からxの下限は以前x>0のままでよいことがわかります。

以上から（問１）の答えの推定範囲は0<x≦e^(1/e)とわかります。

また「y>eでx'<0（減少）」及び「y→∞でx→1」から、x=y^(1/y)のxに対するyの解は、y≦1で一つ、y>1で二つという事も知ることができます。（下の問題を解くときに手助けになるかも）
231：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 23:12:59 ID:V4GGA2BY: ありがとうございます
変形とか計算とか色々雑ですみません…

問2以降やるのに多分最低値の方を見る問題なのかなとおもって試しに電卓で凄い小さい数字で冪乗繰り返してたら繰り返し回数の偶奇で出てくる数字振動してるように見えますね…

すごいですねこれ
こんなことになるの知らなかった
232：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 23:37:57 ID:LzCaf9ew: >>231
そうなるため(iii)以降、y_nを偶奇の数列に分ける必要があったんですね

意外に思う気持ちとてもわかります
僕もこの問題に取り組み始めてこの結果が出てきたとき「まさか！」と思って検算してみたら確かにそうなっていたという.....
皆も0.1で巾乗し続けて、エッチ（な結果を見て）みよう！
233：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 00:37:02 ID:zJniWhjk: 明日は少し用事があってすぐに返信できないかもしれません。
一応問２（補足問題も含む）で多用するヒントを投げておきます。

【重要ヒント】 A>1の時、s<tならA^s<A^t, 0<A<1の時、A^s>A^t.

あとはy=x^yやy_n+1=x^y_nという等式たちも忘れないで上げてください。
また、補足問題の存在意義は、xとそれに対応するyとの間にある一定の大小関係に気付かせるためです。一体どういう大小関係にあるのか、考えてみて頂けると幸いです。
234：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 19:31:56 ID:zJniWhjk: この様子だと解答上げて根流しした方がいいっすかね...?
235：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 19:37:51 ID:IbTDq18I: スレの傾向として数2Bまでの問題が多そうですね…（手も足も出ない）
236：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 20:31:23 ID:zJniWhjk: とりあえず解答（前編）を上げます。これを見てもう少し取り組みたいという方がいれば仰ってください。後編を差止めます。いなければ出来上がり次第挙げます。

【問２解答】（前編）

【補足問題】 y>0の時、y^(1/y)≦yを示せ。また等号成立条件はいつか。
（解）・0<y<1のとき、1/y>1なので、y^(1/y)<y^1　⇒　y^(1/y)<y
・y=1のとき、y^(1/y)=1=y ⇒ y^(1/y)=y
・1<yのとき、0<1/y<1なので、y^(1/y)<y^1　⇒　y^(1/y)<y
以上から、y^(1/y)≦yで等号成立条件はy=1　（終）

この問いからx=y^(1/y)≦y、即ち、
『x=y^(1/y)を満たすならば、x≦y（等号成立条件はx=y=1）』
となることがわかります。
この単純な関係が以降の証明で大きな役割を果たすことになります。

【(i)】 x>1の時、yが収束可能かどうか、或いはいつ収束可能か示しなさい。
⇒1<x≦e^(1/e)の時、{y_n}が収束する事を示す。具体的には、{y_n}がnに対し単調増加であり、かつ上限が存在する事を示す。
（解）問１の結果から、もし{y_n}が発散しないならば、xは1<x≦e^(1/e)の範囲にある筈である。実はこの範囲にあれば、{y_n}は発散せず収束する事を示すことができる。
　1<x≦e^(1/e)のとき、x=z^(1/z)を満たすzが存在して、そのzはグラフの形状から２つあることが分かるが、小さい方をaと置く。
　x=a^(1/a)を満たすので、補足問題からx<aである。（x≠1なので等号成立は有り得ない。）
　この時、x>1であるから、x^x<x^a=a（最後の等式は自明：元々aはz=x^zの解なので）。即ち、x<a ⇒ x^x<a.
　更にx^x<a ⇒ x^x^x<x^a=aより、x^x<a ⇒ x^x^x<a.
　本来は帰納法を使うべきだが、明らかなので省略。
　よってy_n=x^x^…(xがn個)^x<aつまり、任意のnに対しy_n<aがわかる。（y_nには上限がある）
　また1<xであるから、x=x^1<x^x⇒x<x^x.
　更に、1<xであるから、x<x^x⇒x^x<x^x^xである事も分かり、帰納法の議論は省略して、任意のnに対し、y_n<y<n+1とわかる。故に、{y_n}は単調増加列である。
　以上から、1<x≦e^(1/e)の時、{y_n}は単調増加列で、{y_n}<aなので、事実(a)から、{y_n}はα≦aを満たすαに収束、すなわち1<x≦e^(1/e)でy=αとなることがわかる。

【(ii)】lim[n→∞]y_n=αとわかっているので、事実(b)から、
y_n+1=x^y_n　⇒ α=x^α
　よってαはα=x^αの解であることがわかる。1<x≦e^(1/e)の範囲でα=x^αの解は二つあるが、α≦a（aはz=x^zの解の小さい方）なので、α=aとわかる。
　以上から、xに対するy(=x^x^…)の値は、z=x^zの解の小さい方であるとわかる。
237：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 20:33:58 ID:eZMLP5U.: しょっぱなのy=x^yで？？？ってなったゾ(クソザコ)
どうせ無限にベキジョーするんだから一緒みたいなもんでしょってノリだと思うけど
238：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:00:58 ID:zJniWhjk: 書き上がりましたので後編を挙げまし（しょんぼり）

【問２解答】（後編）

【(iii)】0<x≦1の時、{y_(2n-1)}、{y_2n}（前者が奇数番号のみを並べたy_nの数列、後者が偶数番号のそれ）が各々収束することを示しなさい。

0<x≦1に対し、x=z^(1/z)を満たすzをaと表す。（0<x≦1なので問１の結果から解は一つしかない）補足問題から、当然x≦aを満たす。
・{y_(2n-1)}（x^x^…[xが奇数個]…^x）の収束性について
始めに{y_(2n-1)}に上限がある事を示す。
0<x≦1であるから、x≦a　⇒　x^x≧x^a=a　⇒　x^x^x≦x^a=a
よって、x≦a　⇒　x^x^x≦a.
同様に考えればよいので帰納法の議論は省略して、任意のnに対し、y_(2n-1)≦a.
続いて{y_(2n-1)}が単調増加である事を示したい。そのために、x^x≦1であることをまず示す。0<x≦1　⇒ x^x≦1^x　⇒ x^x≦1.
　これによってy_n≦y_n+2（nは奇数）を示すことができる。帰納法を用いよう。
*n=1のとき、0<x≦1より、x^x≦1　⇒ x^x^x≧x^1=x　⇒　y1≦y3　（成立）
*n=k(奇数)のとき、y_k≦y_k+2がしていると仮定すると、y_k≦y_k+2　⇒ x^y_k≧x^y_k+2　⇒ x^x^y_k≦x^x^y_k+2 ⇒　y_k+2≦y_k+4.　よってn=k+2（奇数）の時も成立。
以上から、y_n≦y_n+2（nは奇数）、即ち{y_(2n-1)}は単調増加であるを示せた。
以上より、{y_(2n-1)}は単調増加でy_(2n-1)≦aと上限が存在するので事実(a)から収束する。
・{y_2n}（x^x^…[xが偶数個]…^x）の収束性について
　xが奇数個の場合とほぼ同じ議論で成立する。異なるのは、y_2n≧aと、aは{y_2n}の下限を与えており、y_n≧y_n+2(nは偶数)と、単調減少となるという風に、全体的な不等号の向きが異なるということである。事実(a)より、やはりこれも収束する。

【(iv)】{y_(2n-1)}の収束先をA、{y_2n}の収束先をBとする。この時、y_(n+1)=x^y_nから、n→∞の時、A=x^BとB=x^Aの二式がA,Bに対し要請される。収束値(A,B)はこの連立方程式の解の中に存在するとも言える。
　ところで、a=x^aより、(A,B)=(a,a)は明らかにこの連立方程式の解である。
　また、x=a^(1/a)=e^(loga/a)でa≦1（グラフから明らか）であるからloga≦0であることがわかる。よって、縦軸をA、横軸をBのグラフを考えた時、A=x^Bは右肩下がりの指数関数(a=1の時はA=1の直線)ということになる。また、B=x^Aは、A=x^Bのグラフを斜め45°の軸に対し線対称に映したものなので、B=x^AとA=x^Bの交点はたった一つしか存在しない。
　よって(A,B)=(a,a)が{y_(2n-1)},{y_2n}の収束先とわかる。

【(v)】(iv)の結果から、0<x≦1においてy(=x^…)=aとなる。x>1の結果と併せれば、次の主張ができる。
『y=x^…は0<x≦e^(1/e)≒1.4446...において値を持ち、それはz=x^zの解で、解が複数あれば小さい方がその値に該当する。
239：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:32:36 ID:zJniWhjk: 「y=x^x^…が0<x≦e^(1/e)≒1.4446...で収束する」という結論の面白い所は、x>1でもy=x^x^…は収束し得るという所ですね。普通ならこういう冪系の収束はx<1のみに限られそうなものですが、この場合においてはそうではないというお話です。
例えば、√2はe^(1/e)よりも小さいので、√2^√2^√2^…は値を持ち、その答えは2となります。

この設問の着想元は、昔twitterで見かけた物で、正に「2=x^x^…を満たすxは何か？」という問題だったと思います。解は2=x^2でx=√2とわかるのですが、色々物議があって投稿者が撤回してしまったというような記憶があります。なので具体的な出典が示せません、ｾﾝｾﾝｼｬﾙ!　
　そういったやり取りを思い出して、ではx^x^…が収束するxはいくつか？という問いを立てて何とか証明し、問題として出題した次第です。結論としては、【重要ヒント】で示したような素朴な関係の繰り返しと、無限数列の収束に関する基本的な定理から、その結果が導けてしまうという事でした。
　解けなかったとしても、証明を追って頂いて楽しんで頂ければ幸いです。

>>225
鋭い…鋭くない？　（まだ見ぬ能力を備えている可能性が）濃いすか？

>>235
そういえば極限を詳しくやるのは数３でしたっけ……悲しいなあ

>>237
一応「y=x^x^…が収束して値を持つ」という前提に立っているので、xの肩にあるx^x^…は必然的にyとならねばならない、則ちy=x^yが正当化されるという話になります。ま、細かい事は多少はね？　似たような話に直面したらノリでやってしまってもｲｰﾖｰ
240：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:58:24 ID:GJdJ0xrc: お疲れ様でした
実を言うと私ネタバレを発見してしまいまして解くのを控えさせて頂いた者になります
というのも
冪乗の繰り返しってグラハム数で記法がなかったっけ→テトレーションっていうのか～→wikiに答えが載ってる！
ということで気になる方はテトレーションでwikiを調べて頂ければ幸いです
ただこのwikiには e^-e≦x≦e^(1/e)において収束すると書かれてあるので下限についてはもう少し議論が必要なのかも知れません
241：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 23:27:21 ID:zJniWhjk: >>240
マジっすか（素）
ざっと見た感じe^-eで奇数極限と偶数極限が一致しないらしいのでそのあたりに不備がある感じですかね
もう少ししっかり裏打ちすべきでした

不備のある問題を長々とひりだしてしまいｾﾝｾﾝｼｬﾙ！
242：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/01(火) 21:55:50 ID:eDRQdIbU: 次回もお待ちしてナス！
243：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 22:48:16 ID:N5oGH8x.: 数年前に考え付いた問題を頭から掘り起こしてるけどどうにも答えに辿り着かない
設定しか思い出せないので今一度作り出すしかない
244：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 22:59:42 ID:wN/R8R92: がんばえー
245：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 23:16:56 ID:rAa0GZkU: (x^2+x+1)t=x^2+5x+6
みたいなやつでtの範囲を数2Bの範囲で解けたはずなんだけどどうやってやるんだっけ（痴呆）
-2≦x≦2の範囲を一応つけておきます
246：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 00:50:56 ID:vcFWjfLg: >>245の出題者なんですけど風呂に入っても忘れたままです
代わりの問題も考えましたがこれは同じシチュエーションもっとうまくて楽しい設問ができそうです

ダーツの的を円を1から20までではなく、円を1からn（nは2以上の自然数）まで分割させたものとする
このダーツをプレイヤーは必中させ、同じ数字kに当てるごとに2回目にkのk倍、3回目にさらにk+1倍、k回目にさらにk+k-2倍の得点を得るものとする（一度当てただけでは得点はえられない）
(1)プレイヤーAがn回投げて12点を得る確率を求めよ
(2)プレイヤーAがn回投げて10点を得る確率を求めよ
(3)n=100のとき、p回投げた場合の得点の期待値E(p)が2番目に低いときのpとE(p)を求めよ
隠れ問題（解けるのかわからない）(4)プレイヤーAがn回投げて810点を得る確率を求めよ
247：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 00:54:48 ID:vcFWjfLg: ちなみに>>245は予備校の東大文系コースの教科書に類題があったので確実に数2Bで解けるはずです
248：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 01:39:43 ID:z/ru/9Ss: >>245
t=1は別として、
y = (t-1)x^2+(t-5)x+t-6 の放物線とx軸の交点の存在範囲を考えればいいはず
249：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 01:48:17 ID:vcFWjfLg: >>248
あ、そっかあ…
t=(x^2+5x+6)/(x^2+x+1)(0<x^2+x+1より)
に拘っちゃってたゾ
250：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 02:27:51 ID:KEurClNE: 「このダーツをプレイヤーは必中させ、同じ数字kに当てるごとに2回目にkのk倍、3回目にさらにk+1倍、k回目にさらにk+k-2倍の得点」
ここの最後のところ
k回目にさらにk+k-2倍の得点→n回目にさらにk+n-2倍の得点
ですかね？
251：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 02:31:53 ID:vcFWjfLg: >>250
そのとおりです
252：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 06:23:41 ID:vcFWjfLg: 問題文を少し整理してできるのかわからない問題をもう一つ付け足します（最後の問2つがはじめに考えついた問題でした）

ダーツの的を円を1から20までで分割したものでなく、円を1からn（nは2以上の自然数）までで分割したものとする
このダーツの得点は同じ数字k（kは1≦k≦nの自然数）に2回以上当てたときに得られ、その得点は2回目ではkのk倍点、3回目ではさらにそのk+1倍、…、n回目ではさらにk+n-2倍された得点を得る
このダーツのプレイヤーはダーツを必中させ、かならず何かの数字に当てるものとする
このとき次に続く問に答えよ
(1)プレイヤーAがn回投げて12点を得る確率を求めよ
(2)プレイヤーAがn回投げて10点を得る確率を求めよ
(3)プレイヤーAがn回投げてすべて1に当たった場合の得点を求めよ
(4)n=100のとき、p回（pは1≦p≦nの自然数）投げた場合の得点の期待値E(p)が2番目に低くなるようなpとE(p)を求めよ
解法がわからないチャレンジ問題
(5)プレイヤーAがn回投げたとき、810点を得る確率を求めよ
(6)n=100で、プレイヤーAが必ず得点を得られるとき、もっとも得点の期待値が低くなるようなpとE(p)を求めよ
253：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 12:38:17 ID:3WF.L/h2: 12点とか小さな数字ならなんとかなりますが810点とかこれもうわかんねえな
具体的な点数表作って解く以外に何か方法がある可能性が微レ存...？
とりあえず(1)は(nP5/12)[(n-2)^(n-5)/n^n]（n≧5）他のnは0、(3)はn(n-1)/2になりました。
254：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 13:43:08 ID:vcFWjfLg: (5)(6)についてはシンプルな解法があったらすごいな（出題者の屑）、と思うレベルなのですが
(1)は2×2×3以外に12を得る方法が存在しないので、少なくともn≧3です
255：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 13:58:16 ID:3WF.L/h2: あれ、もしかしたら勘違いしてるかもしれませんね....
一回目の命中は必ず0点で、二回目以降は点数をその都度加算するという形ではないですかね？
僕の場合、計12点になるのは1を三回で3点、3を二回で9点の1パターンしかないという考えになりました
256：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 14:38:43 ID:vcFWjfLg: その得点は2回目ではkのk倍点、3回目ではさらにそのk+1倍、…、n回目ではさらにk+n-2倍された得点を得る
なので
k×k(k+1)(k+2)(k+3)…(k+n-2)点がkに複数回当てたときに得られる得点になります
257：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 14:41:26 ID:3WF.L/h2: あっなるほど勘違いしていました。ありがとうございます。
258：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 17:51:48 ID:rdy9LcBg: ダーツろくにやらない陰者なので「12点を得る」ってのがいまいち理解出来てないんですけど、
>>254の例だと2に当てるのを三回だよ三回ってことですよね

これって例えばn=3の時は三連続で2に当てたところで試行回数が尽きて強制終了ってことでしょうけど、
n=4で123回目を2に当てた時は4回目は外さないと12点を得たとは言えないってことですかね？

あと、例えばn=10だとして、
その中で3連続で2当てたけど3連続で3も当てたってときは
後者で得た36点が優先されるために12点を得たとは言えないって認識でいいですか？
259：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 19:11:18 ID:vcFWjfLg: >>252での「○点を得る」は合計獲得得点のつもりでしたので、こちらの配慮が足りていませんでした
なので、n=4のときは2以外にあてなくてはなりませんし、n=10のときに3にも複数回当ててしまってはいけません
260：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 19:54:09 ID:KEurClNE: あっ合計点かぁ…
そうなると(1)は
nが3～7のとき →2に3連続命中を1回決める確率(=Pa)
nが8～10のとき →2に2連続命中を3回決める確率(=Pb)とPaの和
nが11～17のとき →3に2連続命中を1回と1に2連続命中を3回決める確率(Pc)とPaとPbの和
nが18～26のときは 2に2連続命中を2回と1に2連続命中を4回決める確率(Pd)とPa～Pcの和
nが27～34のときは2に2連続命中を1回と1に2連続命中を8回決める確率(Pe)とPa～Pdの和
nが35～のときは1に2連続命中を12回決める確率(Pf)とPa～Peの和
って感じで場合わけかな？
261：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 20:03:18 ID:KEurClNE: 勝手に連続であてる必要があると思い込んでたけどそんなこと一言も書いてなかったゾ(池沼)
262：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 20:04:46 ID:vcFWjfLg: 複数回当てたときなので、連続で当てる必要はありません
そんな難しいのは>>245がわかってなかったわし(大問53)が(1)で出せないっす
263：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 22:49:22 ID:9Ow8W/uA: 6!で720まで行くので複数回数の最高としては1による7回でしょうか
逆に29^2が841なので複数の目の最高は28ですね
その範囲から810になる組み合わせを気合いで集めて更にそれぞれの確率を求める
これくらいしか思いつかない
264：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 22:54:56 ID:vcFWjfLg: ゴールドバッハの予想の拡張じみてしまっているからnを絞ってもいいかもしれませんね
n=20とかでも
265：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/04(金) 07:43:56 ID:DxEOupFE: (1)～(4)までの設問はもう皆さん答えられてて答えだしちゃっていい感じなんですかね？
(4)をちゃんと導出するのクソめんどくさいですね（人間の屑）
期待値はE(p-1)が関わってきそうで漸化式みたいにできそうな気もするから(5)より(6)のほうが簡単な気がしてきたゾ