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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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(2.17)⇔∀A∈Ã[(∪Ã)^c⊂A^c]
じゃないの？だよね？
このあとどうしたらいいかわからないけど・・・
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>>157
そうです。
俺もよくわからないです。
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>>158
定義から直ちに
x∈(∪Ã)^c⇔∀A∈Ã,x∈A^c
ですけど。
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>>159
あーなるほど！！！
そっちの方がわかりやすいですね。
流石です〜
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>>159
ひー
そうですね
でも⇔だと(∪Ã)^c=A^c
な気がするんですが
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あ、違いますね。
すみません。
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ん？あれ？
わからなくなってきますた
どうなんでせう？
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x∈(∪Ã)^c
⇔ ¬(x∈(∪Ã))
⇔ ¬(∃A∈Ã(x∈A))
⇔ ∀A∈Ã(¬x∈A)
⇔ ∀A∈Ã(x∈A^c)
これでどうですか？？
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>>164
うん。
そこまではわかるんだけど、>>161の疑問はどうなんでせうか？
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>>161
＞でも⇔だと(∪A)^c=A^c
＞な気がするんですが
の「⇔」は何と何とを結んでるんですか？？？
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>>166
x∈(∪Ã)^c⇔∀A∈Ã,x∈A^c
の⇔が右向きだけならわかるんだけど、左向きのとき(∪Ã)^c⊃A^cではないかと・・・
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>>167
そうすると、>>164のどこかに
同値変形でない箇所があるってことになると思いますけど…
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そうなのよ
俺がなんかとんでもない勘違いしてるのか・・・
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たとえば簡単な例として
A, B を集合として Ã＝{A, B} と定義します。
このとき (∪Ã)＝A∪B です。
すると、
x∈(∪Ã)^c とは即ち ¬(x∈A∪B) のことであり、
∀A∈Ã(x∈A^c) とは即ち (x∈A^c)∧(x∈B^c) のことです。
左向きが成立するとき、すなわち
(x∈A^c)∧(x∈B^c) ⇒ ¬(x∈A∪B) のとき、
必ずしも (∪Ã)^c＝A^c になるでしょうか？？？
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(∪Ã)^c＝A^cとは言ってなくて(∪Ã)^c⊃A^cなんだけど・・・
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>>171
>>161に＝で書かれてますけど…
いや、⊃でもいいですけど、
必ずしも成り立つでしょうか？？？
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９ありがとう。
x∈(∪Ã)^c⇔∀A∈Ã,x∈A^c
ここから、 (∪Ã)^c⊂A^cはいえて (∪Ã)^c⊃A^cはいえないのは
どうしてなんでせう？
と思っていたんだけど、∀A∈Ãが入ってるからか。
つーか、いえないことを示せなんてどこにも書いてない罠。←最大の勘違い
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>>173
ごめん。映画見てますた。
>>164からわかるように
(∪Ã)^c=(∩[A∈Ã]A)^c=∩[A∈Ã]A^c
ですね。
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>>174
結論として、左端と右端が＝になるのは>>173の2行目の式からわかるんですが、
(∪Ã)^c=(∩[A∈Ã]A)^c
(∩[A∈Ã]A)^c=∩[A∈Ã]A^c
これがどういう変形か教えて下さい。∩[A∈Ã]AってÃに属する全てのAの共通部分
ですか？
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>>175
間違えました。
(∪Ã)^c=(∪[A∈Ã]A)^c=∩[A∈Ã]A^c
です。de Morgin
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禿げしく納得いたしました。
何の映画見てたんですか？
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>>177
拳セレクトで
「クロコダイル･ダンディー in L.A」でした。
楽しめましたよ。笑うとこいっぱいで。
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いいですね。
今は"王の帰還"が見たいです。
1人で行こうかな。
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>>179
知らない映画です。。。
問題の解答はもううｐしていいのかな？
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>>179
ラーメン丸がどんな映画好きなのか分からないけど、
小林正樹監督の「切腹」は（･∀･）ｲｲ!!!!
二月の間に2回も見ちゃったYO！
時間あったら見てみてNE！
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>>179
ああ、空騒ぎの後列の人が出てるやつでしたか。
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>>182
そうです。実は似てないですけど。
さて、
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>>183
さて
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§2の問題逝きますか。
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では
問題2 次のことをたしかめよ.
A∩B=φ⇔A^c⊃B⇔A⊂B^c
解答
対称性より最初の⇔のみ示せばよい。
x∈A∩B⇔(x∈A)∧(x∈B)⇔(x∈B)∧(x∈A)
⇔(x∈B)∧(¬(x∉ฺA)なので
もし
A∩B=φ
⇔(x∈B)∧(¬(x∉ฺA))は偽.
⇔(¬(x∈B))∨(x∉ฺA)は真
⇔(¬(x∈B))∨(¬(x∈A))は真
⇔((x∈B)⇒(¬(x∈A)))は真
⇔B⊂A^cが真.
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問題5 次の等式を証明せよ.
(a) (A-B)-C=A-(B∪C)
(b) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)
解答
(a) (A-B)-C=(A∩B^c)∩C^c=A∩(B^c∩C^c)=A∩(B∪C)^c=A-(B∪C).
(b) A-(B-C)=A∩(B-C)^c=A∩(B∩C^c)^c=A∩(B^c∪C)=(A∩B^c)∪(A∩C)=(A-B)∪(A∩C).
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問題8 次の等式を証明せよ.
(a) A△φ=A(b) A△X=A^c
(c) A△A=φ(c) A△A^c=X
解答
(a) A△φ=(A∩φ^c)∪(φ∩A^c)=(A∩X)∪φ=A∪φ=A.
(b) A△X=(A∩X^c)∪(X∩A^c)=(A∩φ)∪(X∩A^c)=φ∪A^c=A^c.
(c) A△A=(A∩A^c)∪(A^c∩A)=φ∪φ=φ.
(d) A△A^c=(A∩(A^c)^c)∪(A^c∩A^c)=(A∩A)∪(A^c∩A^c)=A∪A^c=X.
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御批判よろしく。
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>>186
「もし」っていうのは何を仮定してるんでしょうか。
>>187
OKです。
>>188
OKです。
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>>190
「もし」は消し忘れです。ｽﾏ
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>>186
OKです。
たぶん同じだと思いますが
A∩B＝φ
⇔ ∀x∈X(¬(x∈A∧x∈B))
⇔ ∀a∈A(¬(a∈B))
⇔ A⊂B^c
こんな感じでもいいでしょうか。
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問題 (以下A,B,C･･･は、いずれも、ある集合Xの部分集合とする。)
１ 次の式を簡単にせよ。
(a) (A∪B)∩(A∪B^c) (b) (A∪B)∩(A^c∪B)∩(A∪B^c)
(a) (A∪B)∩(A∪B^c)={A∩(A∪B^c)}∪{B∩(A∪B^c)}={(A∩A)∪(B^c∩A)}∪{(A∩B)∪(B^c∩B)}
={A∪(B^c∩A)}∪{(A∩B)∪Φ}=A∪(B^c∩A)∪(A∩B)=A (A⊃A∩X,Y⊂Z⇔Y∪Z=Zより)
(b) (A∪B)∩(A^c∪B)∩(A∪B^c)=(A∪B)∩(A∪B^c)∩(A^c∪B)=A∩(A^c∪B) ((a)より)
=(A∩A^c)∪(B∩A)=Φ∪(A∩B)=A∩B
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>>192
2行目から3行目はどうしてですか？
3行目の主張と
a∈A⇒(¬(a∈B))
って同じだといっていいのかなあ。
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>>194
ここですか？？
＞⇔ ∀x∈X(¬(x∈A∧x∈B))
＞⇔ ∀a∈A(¬(a∈B))
a∈A に対して、a∈B, ¬a∈B の一方のみが真ですが、
2行目より ∀A∈a(¬(a∈A∧a∈B)) なので、¬a∈B です。
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>>193
OKです。
(a)の解答中のカッコ内の注のXは普遍集合のXではなくって
2^Xの任意の元のつもりですよね。
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>>196
すいません。その通りです。
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>>195
ごめん。ド･モルガン使ったわけじゃないんだよね。
もう少し詳しく説明お願いします。
あと>>194の後半の疑問についてもお願いします。
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>>195最終行訂正
2行目より ∀a∈A(¬(a∈A∧a∈B)) なので、¬a∈B です。
>>198
えっと…
a∈B と仮定すると矛盾するので、¬a∈B じゃダメですか？？？
＞>>194の後半の疑問
すいません見逃してました。
∀a∈A(¬(a∈B)) ⇔ [a∈A ⇒ (¬(a∈B))]
が正しいかどうかってことですよね。
記号 ”∀a∈A(p)” の意味が「Aのすべての元aに対してpが成り立つ」
なので、これは自明的に正しいと言えませんか？？
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４ 次の等式を証明せよ
(a) A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(b) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
(c) (A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)
(d) (A∩B)-C=(A-C)∩(B-C)
(e) A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)
(a) A-(B∪C)=A∩(B∪C)^c=A∩B^c∩C^c=A∩B^c∩A∩C^c=(A-B)∩(A-C)
(b) A-(B∩C)=A∩(B∩C)^c=A∩(B^c∪C^c)=(A∩B^c)∪(A∩C^c)=(A-B)∪(A-C)
(c) (A∪B)-C=(A∪B)∩C^c=(A∩C^c)∪(B∩C^c)=(A-C)∪(B-C)
(d) (A∩B)-C=(A∩B)∩C^c=A∩C^c∩B∩C^c=(A-C)∩(B-C)
(e) 左辺=A∩(B-C)=A∩B∩C^c
右辺=(A∩B)-(A∩C)=(A∩B)∩(A∩C)^c=B∩A∩(A^c∪C^c)=B∩{(A∩A^c)∪(A∩C^c)}
=B∩{Φ∪(A∩C^c)}=B∩A∩C^c
よって左辺=右辺。
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俺も逝きます。
3. 次のことを証明せよ．
(a) A−B＝(A∪B)−B＝A−(A∩B)＝A∩B^c
［解］ A−B＝{x| x∈A ∧ x∉ฺB}＝A∩B^c.
(A∪B)−B＝(A∪B)∩B^c＝(A∩B^c)∪(B∩B^c)＝A∩B^c. （∵ B∩B^c＝φ）
A−(A∩B)＝A∩(A∩B)^c＝A∩(A^c∪B^c) （de Morgan の法則）
＝(A∩A^c)∪(A∩B^c)＝A∩B^c （∵ A∩A^c＝φ）
以上より与等式は成立する。 （終）
(b) A−B＝A ⇔ A∩B＝φ
［解］ Xは普遍集合とする。
A−B＝A ⇔ A∩B^c＝A ⇔ A⊂B^c ⇔ ∀x∈A(¬(x∈B))
⇔ ∀x∈X((¬x∈A)∨(¬x∈B)) ⇔ ∀x∈X(¬((x∈A)∧(x∈B))) ⇔ A∩B＝φ. （終）
(c) A−B＝φ ⇔ A⊂B
［解］ A−B＝φ ⇔ A∩B^c＝φ ⇔ A⊂B^cc＝B. （∵問題2） （終）
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6. A⊂C ならば，任意のBに対して A∪(B∩C)＝(A∪B)∩C であることを示せ．
［解］ A⊂C のとき、A∪C＝C であるから、
A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)＝(A∪B)∩C. （終）
9. A_1△A_2＝B_1△B_2 ならば，A_1△B_1＝A_2△B_2 であることを証明せよ．
［解］ 問題7(a)(c)より、演算△は可換律、結合律を満たす。
A_1△A_2＝B_1△B_2 のとき、
A_1△B_1＝A_1△B_1△B_2△B_2＝A_1△A_1△A_2△B_2＝A_2△B_2. （終）
以上。ツッコミ等おながいします。
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>>195
＞⇔ ∀x∈X(¬(x∈A∧x∈B))
＞⇔ ∀a∈A(¬(a∈B))
2行目から1行目を導けるのれすか？
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>>200
(e)はそうやるしかなさそうですね。
ベン図から明らか、とか言いたくなりますけどｗｗｗｗ
>>203
∀a∈A(¬(a∈B)) より、
x∈Aとx∈Bが同時に起こることはないので
∀x∈X(¬(x∈A∧x∈B))
じゃないでしょうか。
うーん。論理式だけで書けって言われると難しいですけど…
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７ 集合A,Bの"対称差"A⊿Bを
A⊿B=(A-B)∪(B-A)=(A∩B^c)∪(A^c∩B)
で定義する。これについて、次の等式を証明せよ。
(a) A⊿B=B⊿A
(b) A⊿B=(A∪B)-(A∩B)
(c) (A⊿B)⊿C=A⊿(B⊿C）
(d) A∩(B⊿C)=(A∩B)⊿(A∩C)
(a) A⊿B=(A-B)∪(B-A)=(B-A)∪(A-B)=B⊿A
(b) A⊿B=(A∩B^c)∪(A^c∩B)={A∪(A^c∩B)}∩{B^c∪(A^c∩B)}={X∩(A∪B)}∩{(A^c∪B^c)∩X}
=(A∪B)∩(A∩B)^c=(A∪B)-(A∩B)
-
>>204
なるほど。
合ってると思うけど、複雑ですな。
>>205はこれから続きを書きます。
(b)は、Wを任意の集合として、X⊃WよりX∩W=W、を使ってます。
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＜削除＞
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＜削除＞
-
＜削除＞
-
＜削除＞
-
＜削除＞
-
＜削除＞
-
＜削除＞
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なんだこりゃ
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>>205
(a)(b)OKです。
>>206-213
どんんんまい
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>>199
前半
ああ、暗にド･モルガン使ってるわけですね。納得。
後半
量化記号∀,∃の後には本来変項だけを書き、その後に
条件を書くわけですよね。
だから違和感あるのかな。
∀a∈A(¬(a∈B)
ってのは
∀a,(a∈A⇒a∈B)
を略記したものなのだろうか。
>>192を略さずに書くと
A∩B=φ
⇔¬(∃x(x∈A∩B))
⇔∀x(¬(x∈A∩B))
⇔∀x((¬(x∈A∧x∈B)))
⇔∀x((¬(x∈A)∨¬(x∈B)))
⇔∀x(x∈A⇒(¬(x∈B)))
⇔A⊂B^c,
というわけですかね。
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>>200
(a)納得(b)納得(c)納得(d)納得(e)納得
(e)は右辺=…=左辺の格好で書けば分けなくても書けますね。
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(c) (b)より、(A⊿B)^c={(A∪B)∩(A∩B)^c}^c=(A∪B)^c∪(A∩B)=(A^c∩B^c)∪(A∩B)を使うと、
左辺=(A⊿B)⊿C={(A⊿B)∩C^c}∪{(A⊿B)^c∩C}=<{(A∩B^c)∪(A^c∩B)}∩C^c>∪<{(A^c∩B^c)∪(A∩B)}∩C>
=(A∩B^c∩C^c)∪(A^c∩B∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)∪(A∩B∩C)
右辺=A⊿(B⊿C)={A∩(B⊿C)^c}∪{A^c∩(B⊿C)}=<{A∩{(B^c∩C^c)∪(B∩C)}>∪<A^c∩{(B∩C^c)∪(B^c∩C)}>
=(A∩B^c∩C^c)∪(A∩B∩C)∪(A^c∩B∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)
したがって、左辺=右辺。
(d) (b)と問題４の(e)を使うと、A∩(B⊿C)=A∩{(B∪C)-(B∩C)}={A∩(B∪C)}-{A∩(B∩C)}
={(A∩B)∪(A∩C)}-{(A∩B)∩(A∩C)}=(A∩B)⊿(A∩C)
-
>>201
(a)納得
もう1つ「∀A(A∈2^X⇒φ∪A=A」も2行目3行目が成り立つ理由ですね。
(b)>>216的に納得
(c)ﾅﾄｰｸ
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＞管理人さん
>>207から>>214削除お願いします。読み返す時うざいので。
>>217
長くて見にくくなりそうだったので分けました。あまり意味ないです。
>>218は後ろの解答そのままです。全部展開すれば違うやり方で示せると思う
んですが途中で発狂しそうになって諦めますた。
-
>>202
6.ﾊﾗｼｮ
関連問題思いついた。
問題
A,B,CがXの部分集合で
A⊂B⇒A⊂C
のときB⊂Cといえるか？
9.△を2^X上の演算と見たとき
すべての元が冪零であること(問題8(c))
φが単位元(問題8(a))
もつかってますね。
-
>>205
(a)ﾅﾄｰｸ(b)ﾅﾄｸ
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途中ですが、ちょと出てきます。
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(p⇒q)⇔¬p∨qって結構良く使うんですね。
-
＞９
問題９の解答なんかｶｺｲｲ!(先生の補足含め)
９だけに(ｒｙ
これから問題９は９担当で・・・
-
（・３・）工エェー
質問はありませんYO
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>>216
どうやら知らぬうちにド・モルガン使ってたようです。
＞∀a∈A(¬(a∈B)
＞ってのは
＞∀a,(a∈A⇒a∈B)
＞を略記したものなのだろうか。
略記なのかどうかはわかりませんが
内容的には全く同じですよね。
＞>>192を略さずに書くと
そうです。
>>220
うぉぉー初めての削除（ﾄﾞｷﾄﾞｷ
やってみまつ。
-
>>221
関連問題やてみます。
8(a)(c)使いました。書き忘れです。ｽﾏｿ
>>225
面白い問題でしたよね。
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削除完了☆
あまり見栄えのいいもんじゃないですね。
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>>229
そだね。
以後気をつけます。
-
問題
A,B,CがXの部分集合で
A⊂B⇒A⊂C
のときB⊂Cといえるか？
A⊂B⇒A⊂C
⇔¬{¬(x∈A)∨(x∈B)}∨{¬(x∈A)∨(x∈C)}
⇔{(x∈A)∧(¬(x∈B))}∨(¬(x∈A))∨(x∈C)
⇔<{x∈A∨(¬(x∈A))}∧{(¬(x∈B)∨(¬(x∈A)}>∨(x∈C)
⇔{(¬(x∈B)∨(¬(x∈A)}∨(x∈C)
⇔¬{(x∈B)∧(x∈A)}∨(x∈C)
よって、A∩B⊂Cはいえるが、B⊂Cはいえないﾖｶｿ
-
>>218
(c)納得(d)納得です。
-
名前欄間違えてた。ロードオブの次のレスから＠拳宅じゃなくって＠自宅ですた。
「切腹」僕も見ました。仲代三國丹波ｲｲ!!
>>224
うん。よく使います。なんか高校生のときからよく使ってたような記憶がありますが。
-
>>231
2行目
{¬(x∈A)∨(x∈B)}
のｘと
{¬(x∈A)∨(x∈C)}
のxは同じ元を指してるわけでは必ずしもありませんよね。
-
ありゃ
どっか間違ってるだろうなーとは思ってましたが・・・
(p⇒q)⇔¬p∨qを使ってみたかっただけなんです・・・
ビデオ探して見ます。
-
>>235
えーっと。どうしよう。ヒントないしは補題をつけましょうか？
-
眠れない夜・・・
A⊂B∩CがA⊂B⇒A⊂Cの必要十分条件で、B⊂Cとならない例は
簡単に見つかります。(A={1}B={1,2,3}C={1,2,4})
-
ぐもぉ
-
>>237
A⊂B⇒A⊂C
は
∀A(A∈2^X⇒(A⊂B⇒A⊂C))
の略ですよね。
-
>>239
問題文そのまま写したんですが・・・
変ですか？
-
>>240
A⊂B⇒A⊂C
は
Bのいかなる部分集合AもCの部分集合となっている
ってことですよね。
A={1}B={1,2,3}C={1,2,4}
はそういう例になっていないのでは。
見当違いのことをいってるのだろうか。。
-
自分でもなんかA⊂B⇒A⊂Cの意味がよく把握できてない感じです。
わかってないけど書いてみました。
やっぱりわかってないみたい・・・
-
>>241
あ、そういう意味ですか。
出直してきます。
-
なんか変なメール来てるし
逝ってきます
-
？
-
再々チャレンジ
B⊂Cといえることを示す。
¬(A⊂B⇒A⊂C)∨(B⊂C)が真
⇔{¬(A⊂B)∨(A⊂C)}∧¬(B⊂C)が偽・・・#
¬(B⊂C)⇔¬{∀x(x∈B⇒x∈C)}⇔∃x(x∈B∧¬(x∈C))より、
このようなxのみからなる集合をAとすると、x∈Bより、A⊂Bを満たし、
¬(x∈C)より、A⊂Cとはならない。
よって、#が示された。
-
>>246
納得しました。
想定答案は
(A⊂B⇒A⊂C)
⇔(A∈2^B⇒A⊂2^C)
⇔2^B⊂2^C
よってB∈2^C.
∪2^C=C、C∈2^Cより
B⊂C
でした。
-
>>247
＞⇔(A∈2^B⇒A⊂2^C)
は⇔(A∈2^B⇒A∈2^C)ですか？
P∈2^C⇒P⊂Cは直観的には分かるんですが、証明できません・・・
-
だいぶ進んでますね。今から読みまつ。
§3の割り当てどうしますか？？？
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じゃ９から頼む。ちょと疲れた。
後は交互に。
参加者増えないかな〜
多い方がいいよね。
1人で読んでたら絶対こんなに多くのことできなかった。
-
>>250
じゃまずA, Bをやってみまつ。
参加者多いほうがいいですよねー。
あと1人加わるだけでも大分違うと思うんだけどなぁ。
-
>>246
おぉ、素晴らすぃ。完璧ですね。
>>247
おぉーこっちも素晴らすぃ。なるほどーって感じです。
>>248
そこは A∈2^C ですね。
えっと、後半ですけど、
∪2^C＝C∈2^C だから、
B∈2^C ⇔ ∀x∈B(x∈∪2^C) ⇔ ∀x∈B(x∈C) ⇔ B⊂C.
って感じでOKじゃないですか？
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>>248
A⊂2^CはA∈2^Cのミスでした。すみません。
∪2^C=Cは余計でしたね。
P∈2^C⇒P⊂C
は2^Cの定義が2^C={P|P⊂C}ですから。
-
>>253
あ、よく考えたらそうですね。
慣れないと難しいなー。
-
>>253
あ
定義が記号で書かれてないと気づかない俺・・・
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§3 対応，写像
A) 2つの集合の直積
A, Bを2つの集合としたとき、Aの元aとBの元bとの
順序付けられた組 (a, b) 全体のつくる集合を
AとBとの”直積”（または単に”積”）と言い、
A×B
で表します。
A×B の元 (a, b), (a', b') （a∈A, a'∈A, b∈B, b'∈B） は、
a=a', b=b' のとき、かつそのときに限って等しいとします。
A×B の元 (a, b) に対して、aをその”第1成分”または”第1座標”、
bをその”第2成分”または”第2座標”と言います。
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