【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】 - 1641798536

133：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:15:05 ID:NrYONCQg: （ちなみに中学生でも解けまし）
134：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:48:55 ID:ZPs9Pavc: cos(2Θ+3Θ)＝cos5Θ=0から18°のΘを求めようと頑張ったけどんにゃぴ…
中学生でもできるなら正十角形のパーツなことをなんかうまいこと使うんすかね
135：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:49:49 ID:6IoL864s: 図から∠B＝∠C=(180-36)/2=72°
∠Bの二等分線と辺ACが交わる点をPとすると、∠ABP=∠CBP=36°
これによってできた三角形２つについては以下のように言える
①三角形APBは∠A=∠ABP=36°の二等辺三角形になる
②三角形CBPは∠CBP=36°、∠C=72°より三角形BACと二角が等しく相似形であり、したがって二等辺三角形になる

①よりAP=BP、②よりBP=BCとなるので、AP=BP=BC=1
そして三角形BACと三角形CBPは相似なので、AB:BC=BC:CP⇔AB:1=1:CP⇔AB*CP=1
このときCP=CA-AP=AB-1なので、AB*(AB-1)=1⇔AB²-AB-1=0
解の公式よりAB=(1+√5)/2　（AB>0）

高校受験とかで出てくる円に内接する正十角形の問題ですかね？
最終的に答えが与えられた辺の長さと答えが黄金比になるのいいっすねぇ
136：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/18(火) 23:56:31 ID:ZPs9Pavc: はえ～補助線一本引くだけで相似で解けるんすねえ
137：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:08:27 ID:IOshj0ps: >>135
正解でし（満悦）
正十角形とかは特に考えず出しまし。
これを始めて知ったのはsin1°を導出する動画でし。どの動画かは忘れまし（しょんぼり）。

用意した図
https://i.imgur.com/oF4pucB.png
>>135と全く同じなので特に断ることはないでし。
138：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:36:56 ID:0QoJKs5c: 十個並べて円を作る方法はだれか理系の人がやってくれるはず
AB=AC=xと置く
二等辺三角形であるから∠B=∠C=72°
∠Bの二等分線とACの交点をPとおくと、
∠B/2=36°なのでAP=BP
さらに三角形の二等分線の性質（これが中学の範囲かは知らない）からAP:PC=1:x
AP=x/x+1
さらに、△BACと△BPAは3つの角が等しいので相似である
1:x=x:x/x+1
x^2=x/x+1
あきらかにx≠0より
x(x+1)=1
x^2+x-1=0
x=-1+√5/2
(√5>1より正の数である)
139：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:40:26 ID:0QoJKs5c: スマホで図も書かずぽちぽちしてたのでものすごく無駄な計算をしてましたね…
140：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:45:40 ID:0QoJKs5c: おや、よく見ると解が違うけどどうしたのだろう（無能）
141：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 00:58:24 ID:IOshj0ps: >>140
>>138
おそらくでしが、
AP:PC=1:x ←x:1の誤り？
AP=x/x+1 ←=x(x-1)の誤り？
この辺りだと思うでし。

それでも導出法はあっているので花丸でし（満悦）
142：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 01:19:46 ID:0QoJKs5c: あ、そっかあ…
ベクトルの比率のやつと混同してましたね
143：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 01:20:00 ID:eMHWLyic: 10個集めて正十角形は円周率の近似値出すときのアレですね
正十角形の周の長さが10、これに外接する円の直径は2AB=1+√5なので円周率は
10/(1+√5)≒3.09より大きいことが示せます

「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」もこれで楽ちんちんです
有名角の45°(正八角形)や30°(正十二角形)を使うと二重根号の評価でハマるゾ(絶望)
144：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 16:56:49 ID:w0tqtApQ: ⚠︎オリジナル問題では全くありません！⚠︎
検索されないため出典は最後に言いますが、とても解きがいのある問題なので挑戦してみて下さい

下の図のような四角形があります
∠A＝150°、∠B＝60°、∠C＝90°であり、BCの長さはABの長さの5倍です
この時CDの長さとADの長さの比を求めて下さい
https://imgur.com/a/aAduvHX
145：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 17:53:03 ID:0QoJKs5c: 与えられた条件により、
ABCDは四角形なので∠D=60°
AB=xとしたとき、BC=5x
∠BCP=30°となるようなPをABCDの内部に置く
CPの延長線はAB,AD上の点Sと交わるが、
∠B=60°より∠BSC=90°
また、∠DCS=∠C-∠BCS=90°-30°=60°であり、
三角形の内角の和より∠DSC=60°
∠BSC+∠DSC=150°より、S=Aである
上記より△ADCは角がすべて等しいので正三角形であり、AD=DC=CA
△ABCは∠BAC=90°、∠B=60°の直角三角形であるから、
AB:AC:CB=1:√3:2
条件よりよってAC=√3×AB=√3x
になるはずだけど2x=5xになるところでなにかがおかしい
146：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 17:58:23 ID:/V6QzuO6: AからBCに垂線AHと、AからCDにBCとの平行線AEを引いてパパパッと30度60度90度の△の辺の比を使って終わりっ！
CD:ADはABを2と考えたら4√3:6√3になって2:3すかね
147：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 18:38:35 ID:/V6QzuO6: >>145
「CPの延長線はAB,AD上の点Sと交わるが、
∠B=60°より∠BSC=90°」
ここがSがAD上に入っちゃっ…たあ！場合に成り立たなくなるからじゃないですかね（適当）
148：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:01:23 ID:w0tqtApQ: 少しネタバレをしますが、これは中学受験の問題で小学生でも解けるように作られています(解けるとは言ってない)
なので√を使わないやり方で解いて頂けると幸いです
149：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:23:10 ID:IOshj0ps: なるほど、たぶんわかりました。
三角形敷き詰めればいけますね
図を作ってみます
150：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:43:03 ID:IOshj0ps: できました
注意深くやれば問題文の情報だけでここまでできますね
これによりCD:AD=2:3とわかります
https://i.imgur.com/KGORqh9.png
151：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 20:59:49 ID:w0tqtApQ: >>150 ファッ！？こんな解答想定してなかったゾ…(池沼) 天才かな？
もう少し現実的な方法もあるのでまだまだ解いてみてください
152：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 21:24:46 ID:XJXRw63k: 図がなくてわかりづらすぎるけど許し亭許し亭

①ABの長さをXとおきます。するとBC=5Xです。

②まず辺BC上に△ABPが正三角形となるような点Pを取ります。AB=AP=X。
　このときそれぞれの外角については∠APC=180°-60°=120°、∠PAD=150°-60°＝90°になります。

③∠APCの二等分線を引いて、辺CDが交わった点をQとします。∠APQ=∠CPQ=120°/2=60°
　△APQについて考えると∠PAQ=∠PAD=90°、∠APQ=60°より∠AQP=30°
　よって△APQは30、60、90の三角定規の形をした直角三角形になります。よって長さの比よりPQ=2AP=2X。

④∠PQDについて考えると、∠PQD=180°-∠AQP=180°-30°=150°となり、直角と60°に分ければ進展しそうです。
　なので点Qを通る辺ADの垂線を描き、その垂線と辺BCの交点を点Rとします。
　∠PQD=150°ですから、∠DQR=90°、∠PQR=60°です。
　ここで△PQRは二角が60°となっているので、残りの∠PRQ=60°となって正三角形であると分かります。
　辺の長さはPQ=QR=PR=2Xです。すると辺BC=BP+PR+RCですから、5X=X+2X+RCとなり、RC=2Xです。

⑤四角形QDCRについて、条件より∠C＝90°、垂線を引いているので∠DQR=90°です。
　∠QRC＝180°-∠PQR=180°-60°=120°、∠Dは∠D=360°-(∠A+∠B+∠C)=60°になります。
　またQRとCRの長さはともに2Ｘであると分かっています。
　よってこの凧のような形の四角形を対角線RDで分割すると、同じ大きさの直角三角形が２つできます。
　∠QRD=∠CRD=120°/2=60°、∠QDR=∠CDR=60°/2=30°なので、この２つも30、60、90の三角定規型です。

⑥同じ三角定規形の△APQと△QRDおよび△CRDの大きさを比較してみます。
　QR=CR=2XおよびAP=Xより、辺の長さは２倍になっていると分かりますので、QD=CD=2AQです。
　そのため、AD=AQ+QD=3AQとなり、問題のADとCDの比は2:3であると分かりました。
153：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 21:38:28 ID:XJXRw63k: https://imgur.com/a/EhJFStE.png
ざっくり図を描きました。くっそ雑で申し訳ナス！
あと最後の最後で回答違いますね…。CD:AD=2:3です。
154：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:02:47 ID:eMHWLyic: https://i.imgur.com/mnppxq9.jpg
ABの延長とBCの延長の交点をE、Aから辺BCに下ろした垂線の足をFとする
AB=1, BC=5とすると、三角形ABEが底角30°の二等辺三角形になるから、EB=AB=1
三角形ABFは(30°, 60°, 90°)の直角三角形だからBF=AB÷2=0.5
三角形AEFと三角形DECの相似に注目すると、その相似比はEF:EC=(1+0.5):(1+5)=1:4
よって、DC=AF×4
三角形AEFも(30°, 60°, 90°)の直角三角形だからAE=AF×2
三角形DECも(30°, 60°, 90°)の直角三角形だからDE=DC×2=AF×8
よって、AD=DE-AE=AF×(8-2)=AF×6
以上より、DC:AD=4:6=2:3

小学生の算数っぽく解くならこんな感じですかね？
155：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:37:33 ID:w0tqtApQ: 皆さまありがとうございます、答えはお察しの通り2:3です
自分が想定していない解き方ばかり出てきたのでまさに「井の中の蛙大海を知らず」でした
投稿された解き方はおそらく全て正しく素晴らしいでしょうが、美しさで言うと150氏に軍配をあげたいと思います
解き方が複数ある問題は良問ってはっきりわかんだね
156：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:38:51 ID:w0tqtApQ: 恥ずかしながら自分の解き方を載せておきます

直線ABと直線CDの交点をEとする
∠DAG＝∠DEA＝30°なので△DEAは二等辺三角形となる
よってAG＝GE、またAD＝DE

ここで、点Cと点DからBEに垂線を下ろし、それぞれF、Gとする
題意よりAB＝1、BC＝5であり、30°・60°・90°の三角形の辺の比から
BE＝10、BF＝2.5となる

よってEG＝(10-1)÷2＝4.5、GF＝10-2.5-4.5＝3となる
△EDGと△EFCは相似であるためEG:GF＝ED:DC＝4.5:3=3:2
AD＝EDより、CD:AD＝2:3

https://imgur.com/a/yUnPIVs
157：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:42:52 ID:w0tqtApQ: 気づかれた方もいらっしゃるかもしれませんが、本問は前の土日に行われた灘中学の中学入試問題です
灘中の算数は12問・60分なのでこの問題を5分程度で解く必要があるわけですね
実際灘出身の方にこの問題を見せたところそのくらいの時間で解いてしまったので発想力の差を感じさせられました
158：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:48:59 ID:amoCYUW6: はえー…すっごい
自分もほぼ156と同じ解法でした
159：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/19(水) 23:51:14 ID:w0tqtApQ: これがこの問題の別解の数々ですかーこんなにあるとは思わなかったぁ～
https://twitter.com/sansu_seijin/status/1482293235859202051?s=12
たぶんこれ補助線の引き方でどうとでもなる感じですね

ただオリジナル問題じゃないから人の褌で相撲をとってるみたいな感じになって申し訳ねぇです
160：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 01:23:31 ID:NhLo1Hmg: >>150ですがまさかの采配を頂き恐縮です。
他にも色々な解き方があっておっ...おっぱげた...。勉強になりますね。

それから、他人の褌だなんてお行儀の良いいことは考えずに、また面白そうな問題を見つけたら遠慮なく出して欲しいです。
とにかく顔中数字まみれになって、盛り合いたいぜ。
161：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 09:12:16 ID:3wqn7Oz2: >>150のような図ってどうやって打ち込んでるんですかね
このスレ全体の為にも是非教えて頂きたいです
162：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 12:06:50 ID:/aLpUnCQ: 小学生にこれを5分で解かせるとか結構効きそうですねえ
163：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 13:42:10 ID:NhLo1Hmg: >>161
僕の場合はLaTeX環境にemathパッケージを導入して作っていますね（デフォで入っているTikZは不便なので）
画像化はTeX2imgを使っています。
164：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/20(木) 21:56:32 ID:3wqn7Oz2: >>163 はえ～(半分もわからない)
165：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 02:12:35 ID:BtcvWGgU: >>164
凄く簡略化してしまって申し訳ないです.....
LaTeXは数式を美しく文書化できる環境で、wordの数式機能をコマンド化させた物と考えて貰ってもいいかもしれません。主に大学のレポートや論文で用います。
LaTeXが梱包している特殊機能（パッケージ）は基本、最初にコマンドで『呼び出し』て用いるのですが、その中にTikZという作図機能を持つものがあります。でもコマンドがやや不十分で使いにくいんですね。
なのでemathと呼ばれる有志が作成したパッケージを手で導入して作図に使っています。これは主に教員が教材用に用いる物で、非常に充実したコマンドが揃っています。
ただ導入が少し面倒ですね...、ファイルの置場所とか公式wikiとにらめっこしながらやりました。（指示に忠実に従えばできる）また、emathの作図機能を用いる場合、emathとは別にperlと呼ばれる計算ソフトもインストールしなければなりません。まあインストールするだけですが。
emathは差し置いてもLaTeX環境は整えておくと数式を楽々と電子化できてテンション上がるので是非使ってみてください

あとTeX2imgは落ちてるフリーソフトです。texファイルを画像化してくれます。
166：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 11:59:29 ID:ETj3P/yk: らてふ派は数学に強いな
167：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/21(金) 16:27:29 ID:AME6chzE: texでテフと読むの未だに納得できてない
テックスだろテックス
168：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/22(土) 23:29:22 ID:P9awiHoE: 〈オリジナル問題〉

問題を考えてみたのですがどうにも答えが出なかったのでとりあえずここに投げます

1から9の数字が書かれたカードが1枚ずつ、計9枚あります
ここから4枚のカードを引き、引いた順にカードを並べ4桁の整数にします
例えば9、3、1、5の順にカードを引いた時、できる数字は9315となります

ここで9315は9でも、3でも、1でも、5でも割り切れます
このようにできる整数が各々の位の数字で割り切れるような数字は何通り作ることができるでしょうか
169：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/22(土) 23:31:25 ID:P9awiHoE: この辺にぃ、うまい数論の解き方ないらしいっすよ…
場合分けもイマイチよくわからないしどうすればいいのやら
プログラム組める兄貴ならささっと総当たりで解いてくれそう
170：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 00:10:43 ID:g3AFhEug: 1000p+100q+10r+s（p,q,r,sは1~9までの互いに異なる整数）をpqrsと表記する
1の倍数は自明
2の倍数はsの奇遇だけで判断
3の倍数はp+q+r+s≡0(mod3)で判断
4の倍数はrs≡0(mod4)で判断
5の倍数はsが0か5
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数
8の倍数はqが奇数のときrs≡0(mod8)、qが偶数のrs≡4(mod8)
9の倍数はp+q+r+s≡0(mod9)
となんか整理できそうなので7の倍数をうまく表せればいいですね（他力本願）
171：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 00:45:32 ID:iAlxvv.c: 出来る数が奇数のとき
→1.3.5.7.9のうち4つ使って条件充たす必要がある
13579の合計25から一個抜いて3or9or両方の倍数にしないといけないから
1.3.5.9の組み合わせしか無理
かつ◯◯◯5にならないといけないから
結局奇数で出来るのは6通りだけっぽいすね
偶数も同じ感じでいけるんじゃない？(眠いので放棄)
172：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 01:14:32 ID:g3AFhEug: 3248
9126
とかあるから偶数はめんどくさそうですね（適当）
139が絡んでくるだけでしょうけど
173：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 02:40:42 ID:DaHtEHAo: 多分ですが偶数が一つの場合は可能なのものがありませんね
忙しくて詳細書けませんが
あと5が含まれる場合>>171が書かれた一の位が5で他は139自由に並べるパターンしかないはずです
174：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:12:08 ID:iAlxvv.c: 偶数の時　5は完全に排除可能
下一桁が2，4，6，8、で場合分け
（1）下一桁が2の場合　
9を必ず使うとすると残り2つの候補は9の倍数条件的に(1,6)か(3,4)（2と9で11になるため9の倍数18のために7を残り2数で作る）
(2,3,4,9)→下二桁が4で割れる○○32で2通り
(1,2,6,9)→○○○2で6通り

8を必ず使って残り2つを7以下(13467)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは8奇12,8偶32,○832,8遇72,○872
8奇12→8312は3で割れないので無理、8712は7で割れないので無理
8遇32と○832→832の合計13に残りの候補数字1467どれを足しても3で割れないので無理
8遇72→8472は7で割れないので無理、8672は6で割れないので無理
○872→1,3,6を入れても7で割れない 4872は7で割れるので1通り

7を必ず使って6以下(1346)から残り2つを選ぶとすると、2と7の合計が9なので3と6を使う場合は必ずこの2ペアで入れる必要がある
36を使う→3672,3762,6372,6732,7362,7632→どれも7で割れないので無理
36を使わない→（1,2,4,7)→4で割れるのは1472か4172だが更に7で割れるのは4172のみで1通り

6を必ず使って4以下(134)から残り2つを選ぶと、3の倍数条件的に残りの選び方は1.3か3.4
(1,2,3,6)→○○○2で6通り
(2,3,4,6)→4の倍数になる○○32で2通り

4以下で3つ選ぶのは(1,2,3,4)→3で割れないので無理

よって下一桁が2になる場合は計18通り

あとは下一桁が4の場合と6の場合と8の場合を考えればいいゾ(放棄)
こんなやり方じゃ数学になんないよ(呆れ)
175：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:32:42 ID:iAlxvv.c: 4の場合は○○24、○○64、○○84
8の場合は○奇28、○奇68、○遇48
6の場合は残りが1,2,3,4,7,8,9の中で和が3の倍数になる3数
って感じで2よりはふるいにかけやすそうっすね
176：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 21:50:35 ID:g3AFhEug: 7があまりにも悪さをしている、訴訟
高校生のホモのみんなは13×7=91とか17×7=119とかが整数の問題では頻出なので覚えておきましょう
177：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:04:34 ID:DaHtEHAo: >>170の表記を採用して考えます
(1)５が含まれる場合
　もし他に偶数が含まれているとabcdは10の倍数となり、d=0となるので矛盾。
　よって他の数字は全て奇数(1,3,7,9)となります。
(1-i)更に9を含む場合
　(1+3+7+9+5)-(1or3or7)≡0 (mod9)
　となるので1,3,9,5の組み合わせのみが可能となる。5の倍数なので一桁目は5、他は自由とわかる。よって6通りが見つかる。
(1-ii)更に9を含まない場合
　1,3,7,5で作りたいが、3の倍数であるべきにも拘らず1+3+7+5=16は三の倍数ではないので不可能。

(1)より5を含む場合、1395および1,3,9を自由に交代した計6通りが可能である。

以下からは1,2,3,4,6,7,8,9の組み合わせから考えればよい。
(2)全て奇数の場合
　1,3,7,9で作られるが、1+3+7+9=20は3の倍数ではないので不可能。よって存在しない
(3)全て偶数の場合
　2,4,6,8で作られるが、6が含まれるので少なくとも3の倍数になる。一方2+4+6+8=20より3の倍数ではないので不可能。よって存在しない。

補題(a)：１の位は必ず偶数
　もし１の位（d）が奇数の場合、abcdは奇数なので、二で割り切れない。よってa,b,cは奇数。しかし(2)からそのようなabcdは存在しないので、dは必ず偶数になる事が分かる。

(4)偶数が一つの場合。
　補題(a)より１の位が偶数となる。他の位は1,3,7,9から三つ選ばれる。
(4-i)更に9が含まれる場合。
　1+3+7+9+d(偶数)-(1or3or7)=20+d-(1or3or7)≡0 (mod9)
　この時、20+d-(1or3or7)は必ず奇数なので、これは9or27が有り得る。9を目標として最小条件を考えるとd=2とし減算は7を行うので、20+2-7=15で9には届かない。
　よって27を目標とすべきであり、その条件に合致するのはd=8で1を使わないパターンである。つまり、3,7,8,9を用いて考える。
　補題(a)から一の位が8であり、また8の倍数となるので、100b+10c≡0 (mod8)となる。更に変形して、4b+2c≡0(mod8)⇒2b+c≡0(mod4)しかし、最後の式でb,cが奇数だから左辺は奇数、一方左辺は偶数なので不適。
　よって3,7,8,9で適切なabcdは作れない。
(4-ii)9が含まれない場合。
　1,3,7,d(偶数)でabcdを作ることになる。3を含むので3の倍数となるため、1+3+7+dが三の倍数となるのはd=4の時のみ。よってabcdはd=4で4の倍数となる。すると10c≡0(mod4)⇒2c≡0(mod4)⇒c≡0(mod2)となるが、cは奇数の為、不適。
　よって1,3,7,d(偶数)で　abcdは作れない。
以上から、偶数が一つで適切なabcdは存在しない。

此処まではやりました。偶数が二つ、三つの場合は…ナオキです…。
178：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:05:56 ID:g3AFhEug: >>80の出題者なのでせっかくだからつかうと
∑10^kA_k(A_nは0~9までの整数をとる)が7の倍数である条件は
∑(7+3)^kA_kなので、二項定理より与式=7d+∑3^kA_kが7の倍数
∑3^kA_k≡0(mod7)と求められるので
27p+9q+3r+s≡0(mod7)なら7の倍数です
直接7で割ったほうが早いのはそのとおりです
179：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:19:15 ID:DaHtEHAo: >>177
長いので纏めを書いておきます

・5が含まれる場合は、1,3,9,5のパターンのみ可能であり、以後５を除いた数字のみを考えればいい。
―――以下、5は考えない――
・全て奇数の場合は有り得ない
・全て偶数の場合は有り得ない。
・一の位は必ず偶数
・偶数が一つの場合は有り得ない。

以上です。
180：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:20:50 ID:g3AFhEug: 6p+2q+3r+s≡0(mod7)は3や9とのテストに使えるのとsは偶数の性質が役に立つかもしれない（適当）
181：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/23(日) 22:29:42 ID:vth82seA: >>176 「すべてがFになる」の真賀田博士を思い出しますねぇ！
それはともかく前提条件は簡単なのにここまで複雑になるんですね…
182：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 19:34:20 ID:rTmDWDas: >>174 氏と>>175氏の提言にならって下一桁が4の場合をやってみました

(2)下一桁が4の場合
この場合、abcd自体が4で割り切れなければいけないので○○24、○○64、○○84の三パターンある

ⅰ)○○24の場合
9を使うとすると、9の倍数条件より残りは3が確定する
よって3924、9324の2通り

8を使うとすると(残りは8以下とする)、倍数条件より下3桁が8の倍数でないといけないため下一桁は624、824のみとなるが、8624は不適(∵6の倍数ではない)。1824のみ。1通り。

7を必ず使うとすると(残りは6以下)、下二桁が24となる4桁の7の倍数は1624、2324、3024、3724、4424、5124、5824、6524、7224、7924、8624、9324のみ。この中に条件を満たす数はない。

6を必ず使うとすると、6の倍数条件から残りは3のみ。よって3624、6324のみ。2通り。

4以下から4つ選ぶのは不適。

ⅱ)○○64のとき
6の倍数条件から○+○＝8 or 14なので可能性としては(1、７)のみ(∵14の時は全て数字が被る)。ここから条件に適するのは1764のみ。1通り

ⅲ)○○84のとき
8の倍数条件から下3桁は184、384、784、984のみ。
このうち784は7の倍数なので4桁にすると7の倍数になる数として不適。
○184→2184のみ
○384→6384のみ(∵3の倍数条件)
○984→6984のみ(∵9の倍数条件)
よって3通り

ⅰ)～ⅲ）より条件を満たす下一桁が4の数は9通り。

個人的に1764が条件を満たすのに感動しました
183：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 20:44:01 ID:VwyG5TqY: 昨日途中放棄した人間の屑です
続きやってくれるホモがいるとはたまげたなぁ
せっかくやって頂いたので茶々を入れさせてもらうと、
◯◯24で(7,2,4)と残り1つ(6,5,3,1)を検討してるところは
先に6,5,3を3の倍数や5の倍数条件的に候補から外せばより楽かな？と思います
解き方の話なのでほんとにただの茶々です

7くんが基本邪魔してくるけどたまにデレてくれるの楽しいですよね(錯乱)
184：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/24(月) 23:15:35 ID:VwyG5TqY: 続きに触発されたので再続行して完走しました。

(3)一桁目が6の場合
9を必ず使って残り2つを8以下(123478)から選ぶとすると、残り候補は(1,2)か(4,8) (∵69の和が15なので9の倍数条件的に残り2数の和が3or12)
(1,2,9)6→○○○6の6通り
(4,8,9)6→8の倍数条件的に○○96の2通り　

8を必ず使って残り2つを7以下(12347)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは○偶16,8奇36,8奇76
○偶16→168を使うと3の倍数条件的に残りは3のみ→8316の1通り
8奇36→3の倍数条件的に考えても1か7が候補になるが8736は7で…割れてんだよなあ！よおなあ！(歓喜)→8136と8736の2通り
8奇76→3の倍数条件的に候補は3のみだが8376は7で割れないので無理

7を必ず使って残り2つを4以下(1234)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(1,4)か(2，3)
(1,4,7)6→4の倍数条件的に4716,7416,1476,4176→いずれも７で割れないので無理
(2,3,7)6→2376,2736,3276,3726,7236,7326→3276だけ7で割れます。かわいいねえ3276くん→1通り

4を必ず使って残り2つを3以下(123)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(2,3)
(2,3,4)6→4の倍数条件的に○○36の2通り

よって一桁目が6の場合の数は14通り

一桁目が8の場合　8の倍数条件的に○奇28、○奇68、○偶48に限られる
ⅰ)○奇28に(1,3,4,6,7,9)から2数選んで入れる場合　
9を入れるとき→928の合計が19となり、9の倍数条件的に残りの数では無理
9以外(1,3,4,6,7)から選ぶと候補は○128,○328,○728
○128→3,4,6,7のうち3の倍数条件的に3,6は無理、7128も7で割れない　→4の倍数条件を充たす4128の1通り
○328→3の倍数条件的に無理
○728→728自体が7で割れてしまうため何を入れても7で割れないので無理

ⅱ)○奇68に(1,2,3,4,7,9)から2数選んで入れる場合　
9を入れるとき→9の倍数条件的に残り候補は4のみ→4968の1通り
9以外(1,2,3,4,7)から選ぶと候補は○168、○368、○768
○168→3の倍数条件的に残りは3のみ→3168の1通り
○368→3の倍数条件的に残りは1,4,7だが7368は7で割れない→1368と4368(4で割れる)の2通り
○768→3の倍数条件的に残りは3のみ→3768は7で割れないので無理

ⅲ)○偶48に(1,2,3,6,7,9)から2数選んで入れる場合
9を入れるとき→9の倍数条件的に残りは6のみ→9648の1通り
9以外(1,2,3,6,7)から選ぶと候補は○248、○648
○248→3の倍数条件的に3,6は無理、7248も7で割れないので無理→1248の1通り
○648→3の倍数条件的に3のみ→3648の1通り

よって一桁目が8の場合は8通り

(5)合計すると
奇数が6通り、○○○2が18通り、○○○4が9通り、○○○6が14通り、○○○8が8通りで計55通りですかね。
脳筋の人力洗い出しで搾りだした答えなんでどっかしらでやらかしてる可能性はありますあります(自信)
○○○4より○○○6の方がパターン多かったのが意外だったのと○○○8の時に全然7でイケなくて気持ちよくなかった(小並)

もっどのことは履修してないゆとり野郎なんでよく分からないんですけど、例えば設問の条件から7を抜いて8種の数字を扱う問題だったら簡単に解けたりするんすかね？
185：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/25(火) 15:02:03 ID:v45bBqMg: 皆さまありがとうございます、出題者として冥利に尽きます
元々は拓也さんの評判の「くさい子。」から思いついたネタなのですがここまで複雑になるとは思いませんでした
ただ問題設定としては面白いものの解く面から見ると美しい問題とは言えませんね
7を抜くなど数字を減らしたり、>>177の偶数が一つの場合は有り得ないことの証明などに限って改善してゆけば入試問題として使えそうなくらいにまで洗練することができそう
身の周りにも数学は隠れてるってはっきりわかんだね
186：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/25(火) 16:49:37 ID:r93Lv7n6: 拓也さんの評判が身の回りにある…？妙だな
187：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 17:14:21 ID:pCt1VhmA: >>184
7を抜くと>>177さんの偶数奇数分け方式がやりやすくなりますね
実質的に奇数が1、3、9だけになり、1なら割れることは確定だし3や9なら倍数条件が使えるので
188：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 21:09:34 ID:r7HDSQo6: 引く枚数を九枚まで拡張して同じ条件で考えたとき
最大の5の倍数が9315になることを示せ、とかなら入試問題にできそう（適当）
189：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 23:24:51 ID:tiF0ufkc: >>188
千の位に9があることがバレて瞬殺されそう
190：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/26(水) 23:26:44 ID:BNKxLum2: 変な漸化式とか考えてたのにいつの間にか東大文系大問1みたいな問題がまたできたので初投稿です

整数a,b,cがあるとき
x^3+ax^2+bx+c=0
の解が-10≦α<β<γ≦10となるとする
3次曲線y=x^3+ax^2+bx+cをf(x)とすると、3つのx軸との交点を左からA,B,Cとして
（ABを直径とする円の面積）+（BCを直径とする円の面積）
が最大になるようにa,b,cを定めよ
最小にできるようにできるのかは知りません
191：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:27:35 ID:Wmh.y0rM: これって本当に解ありますかね……？
片方の円の半径を限りなく10に近付ければ面積は限界付近に行けるんですけど、
10になった途端方程式の解が2つだけになって答えにはならないんですよね
「最大値」は存在しないけど「上限（最小下界）」は存在してるみたいな状態じゃないですか？

ちなみに最小値は存在しますね
192：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:51:46 ID:zg2X7yT6: a,b,cを整数に保ったまま10(か-10)に二重解をもつように近づけられるかどうかは要検討じゃないですかね？(解けるとは言ってない)
193：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 00:55:55 ID:Wmh.y0rM: あっ、整数だということを見逃していました.....
ｾﾝｾﾝｼｬﾙ！
194：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 01:18:41 ID:d1W4JLkc: ACの長さdは(0≦d≦20)をとるが、（0≦d<20）としたとき2/dが半径のとき面積が最大となるが、このdに対して2/dを半径とする円と10-2/dを半径とする円の面積が足されたときに明らかにより大きくなるので、AC=20
ABの長さをtとすると、BCの長さは20-tとなる（0≦t≦20）
それぞれの半径の長さはt/2,10-t/2
2/t=x（0≦x≦10）と置くと、円の面積の和は
x^2π+(10-x)^2π=S
2π(x^2-10x+50)
=2π((x-5)^2+25)
x=0,10のとき最大となるが、この2つの値では三次方程式の解が重解となるので不適
よって、(x^2-100)(x±9)が求める式
本当はAとBの接線が垂直になるようにして…ってやりたかったけどそれが活かす問題を思いついていませんでした
意図通りの解法に導くって難しいですね…
195：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 12:29:04 ID:d1W4JLkc: nを自然数とする
数列A_nは
n^2A_n+2=Anを常に満たし、A_1=1/2,A_2=1であるという
このとき、A_nの一般項とA_nの総和Sを求めよ
196：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 21:49:54 ID:d1W4JLkc: 検算しなおしたらAnの特性方程式解いてそこで初項出す時に0除算が発生したのだけどおや、どうしたのだろう（無能）
それでも数2Bの範囲のはずです
197：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 22:39:19 ID:BctUA/oU: これでも特性方程式使えるんですね
考え方変えよう
198：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/27(木) 22:46:11 ID:d1W4JLkc: まあ
An+2=An
や
4An+2=An
でも同じことするよね…ってのがヒントですね
199：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 00:06:57 ID:2BNluFWI: 最初は別の派生問題も考えていたのでA_1が1/2になっていましたが
計算があまりに煩雑になりそうなのでA_1=1,A_2=2とします（問題文や>>198でやってる通り数列をAnで表記しても問題ないです）
ゼロ除算が出てきそうなところはまだ変わってないので検算しなおします
200：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 08:32:41 ID:2BNluFWI: フィボナッチ数列が
An+2=An+An+1
でかつ
x^2-x-1=0の黄金比だみたいな話ではあります
201：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:25:12 ID:2BNluFWI: もうそろそろ解法を出したほうがいい感じですかね…？
202：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:29:32 ID:kmBnAQTM: できればあと30分待ってくだせぇ
背水の陣だ
203：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 17:40:01 ID:2BNluFWI: とりあえず休みの兄貴たちが出てくる土曜夜まで待ちます
0除算が出てくる問題は自分はなんとか克服しました
204：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 18:39:10 ID:kmBnAQTM: https://imgur.com/a/2TTtUC9
ここまでやってみたけど方向性あってますかね
もしくは偶奇での場合分け要りそうなんですけど自信無いゾ
205：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 19:00:58 ID:2BNluFWI: その通りです。
個人的にはx^2-1=0を素直に解いて
n(nAn+2±An+1)=nAn+1±An
のほうが扱いやすく、かつこの特性方程式を使わなくても思いつきやすいものだと思います
206：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 19:06:39 ID:2BNluFWI: 奇偶の使い分けが必要なのは総和を求めるときだけですね
もちろん奇遇で場合分けしても「Anの一般項」にはなりうるはずですが（どっかでそういう回答を見た気がする）
207：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 21:50:43 ID:LX/QidUo: 念のためなんですが
Bn=nA_(n+1)+An
と置いて
nBn+1=Bn
の漸化式を解くわけではありませんよね？
（そもそもnBn+1=Bnの形にはできないので）
208：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:13:06 ID:2BNluFWI: え、できないんですか（池沼）
n=Bn+1/Bn
という式に意味はあるように見えるんですが
209：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:25:34 ID:LX/QidUo: Bn+1=(n+1)A_(n+2)+A_(n+1)
になってしまうのでできませんね...
210：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:37:34 ID:kmBnAQTM: おそらくこの漸化式自体の一般項はこれですね
https://imgur.com/a/6GfUoyD
初項と第二項を調整すれば纏められるのかも知れないですが
今のままだと偶数項と奇数項で関わりがないように感じます
211：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:39:36 ID:kmBnAQTM: (あと不安になってWolfram Alphaでカンニングしたら一般項出てこなかったので聞いた所存であります…)
212：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:51:59 ID:2BNluFWI: n(nA_n+2+A_n+1)=nA_n+1+A_n
と
n(nA_n+2-A_n+1)=-(nA_n+1-An)
の漸化式が成り立つのならば両漸化式を解いたあと両者を足して…のつもりでした
ただ>>209をみてもいまだそれがなりたたないことを理解できてないです
213：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:55:22 ID:kmBnAQTM: >>212もしかしてこんな感じの答えになりませんでしたか？
https://imgur.com/a/PtafJSM
これは自分が解いたあと間違いに気づいたものなのですが…
214：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 22:58:05 ID:LX/QidUo: >>212
左辺ですよ
左辺の括弧の中身第一項が(n+1)An+2であって欲しいところがnAn+2になってるんです
これのせいでBn+1に置き換えられないんですよ
（チョコボール向井感）
215：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:04:51 ID:2BNluFWI: あ、そっかあ…
フィボナッチ数列のやつみたいな特性方程式が
x^2+ax+b=0
になるやつのバリエーションのつもりで作ったんですが致命的な勘違いをしてました
じゃ、流しますね…
216：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:09:26 ID:azU7aodM: nが奇数ならA(n)=1/(n!!)^2、偶数ならA(n)=2/(n!!)^2で詰んでました
二重階乗の逆数和って出せるのかと思って調べたら不完全ガンマ関数とか出てきてこれもうわかんねえな…
217：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/28(金) 23:39:51 ID:2BNluFWI: もしかして
n(n+1)A_n+2=An
なら解ける問題だったってことですかね…？
218：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 10:37:57 ID:LzCaf9ew: >>217
試してみましたが少なくとも特性方程式は使えませんでした...
三項間漸化式の場合、特性方程式で用いる係数はnに依存できないので（※）、この方針はちょっと厳しいかもしれません

※特性方程式の解をα、βとして、漸化式は次のように変形できる
A_n+2 - αA_n+1 = β(A_n+1 - αA_n)
変形上、右辺と左辺のαは完全に同一なものであるべき。（①）
ここでもしαがnに依存してα_nと書けるとし、B_n=A_n+1 - α_nA_n という置き換えを使いたいとすると、漸化式は
A_n+2 - α_n+1A_n+1 = β(A_n+1 - α_nA_n)
となって欲しいが、①からα_n+1 = α_nであり、これが任意のnで成立するので結局全てのα_nは等しい⇒nに依存しないということになる
219：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 12:50:00 ID:LzCaf9ew: 面白そうな問題ができまし（満悦）
解いてくださいまし

【問題】『y=x^x^x^…が収束するには？』
y=x^x^x^…という関数について考えたい。（正確に書けばy=x^(x^(x^…))。）
より明確な定義として次のような数列{y_n}の極限としてyを与える。
　{y_n}：y_n+1=x^y_n, y1=x
　y≡lim[n→∞]y_n
このとき定義より、x>0,y>0は明らかである。
その一方でx=10としたとき、y=10^10^…は明らかに発散する。
よってyが発散しないxの範囲を特定するのが、この設問の目的である。

（問１）xがyを収束させると仮定して、yとxの関係をグラフに表し、xの取り得る範囲を「推定」しなさい。（この設問に寄り、もしxがyを収束させるなら、この「推定範囲」に限られることが分かる）

（問２）【問】(i),(ii)を解け。ただし次の【事実】(a)～(c)を用いても良い。
【事実】（以下で登場する全ての数列は暗に無限数列であると仮定している）
(a)　数列{a_n}が存在して、n→∞でαに収束するとする。ある適当な自然数の有限個の組{m_i}（1≦i≦N）が存在し、任意のnに対してある関数fが、f(a_n,a_(n+m_1),…,a_(n+m_N))=0を満たす時、f(α,α,…,α)=0が成立する。
　[例]：αに収束する数列{a_n}が存在し、任意のnに対し、a_n+2a_(n+1)=0を満たすなら、α+2α=0を満たす。（直ちにα=0がわかる。）

(b)　ある単調増加（減少）列{a_n}が存在した時、任意のnに対してある値Aが存在し、a_n<A （a_n＞A）を満たすならば、{a_n}はある値αに収束し、α≦A（α≧A）を満たす。
　[例]：数列{a_n}はa_n=1/2^nで表せられるとする。a_(n+1)-a_n=-1/2^(n+1)<0より、これは単調減少列であり、また任意のnに対し、a_n>0である。よって{a_n}はある値αに収束し、α≧0とわかる。（事実、α=0である）

(c)　ある数列{a_n}が存在して、【成分の順序を変えず】に、有限個の数列に分解した時、各々の数列が同じ値αに収束すれば、元の{a_n}もαに収束する。
[例]：{a_n}={1/2, 1/3, 1/5, 1/2^2, 1/3^2, 1/5^2,…}とする。このとき、この数列を次の三つの数列に分解する。
　{A_n}:A_n=1/2^n, {B_n}:B_n=1/3^n, {C_n}：C_n=1/5^n
このとき、いずれも0に収束するので元の数列{a_n}は0に収束する。

【問】
(i) x>1の時、yが収束可能かどうか、あるいはいつ可能か示しなさい。
(ii) x≦1の時、yが収束可能かどうか、あるいはいつ可能か示しなさい。

（問３）y=x^x^…が収束するxの範囲を答えなさい。
220：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 13:02:54 ID:LzCaf9ew: >>219
問2に関して、もし余裕があればxに対してyは幾つになるかも考えていただけると面白いかと
221：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 18:03:59 ID:LzCaf9ew: >>219
すみません問2(ii)なんですが、僕の解答にミスがあって解決中です。(i)及び問1は大丈夫です。申し訳🍆
222：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 18:46:35 ID:LzCaf9ew: >>221
解決できました。
この設問の状態だと厳しいと思うので進捗に応じてヒントを出していきたいと思います。
また要求があればその時も出します。

誰か既に取り組んでいるのかもわかりませんが、とりあえずそこそこ時間が経ったので問1に関して最初のヒントを出します。
【ヒント1】『y=x^x^...をx=...の形に変形する』
223：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:07:24 ID:y2IW8WmE: 114514年ぶりに対数微分法やって間違えちゃった…
224：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:19:39 ID:LzCaf9ew: >>223
（正解に近づいてる感じがして）良いですね！

（ひょっとして全体的な設問の難易度を下げたりヒントを直接的にした方が良い可能性が）濃いすか？
225：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:23:42 ID:VkWW5lBU: なんとなくこういうのはeとそこからの四則演算冪乗対数関連の数字が答えになる気がするんだ(自分で導出できるとは言ってない)
226：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:38:16 ID:V4GGA2BY: これは…ランベルトのW関数じゃな？
227：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 21:49:50 ID:LzCaf9ew: >>226
えっ...何それは...（困惑）

とりあえず特殊関数は用いなくても解ける形にはなっているので、その辺りはご安心下さい。
グラフも困ったらGoogle先生に書いてもらって方針付ければいいから多少はね？

そろそろヒント上げます。
【ヒント】y=x^x^...=x^(x^x^...)=x^yと変形でき、即ちy=x^yの形になる。これをx=の形に変形して、Google先生にグラフを書いてもらうと...？
228：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:27:16 ID:LzCaf9ew: 問題を改訂して誘導を増やしまし
どうにか取り組める人が増えてくれると嬉しいでし

【問題（>>219改訂版）】『y=x^x^x^…が収束するには？』
y=x^x^x^…という関数について考えたい。（正確に書けばy=x^(x^(x^…))。）
より明確な定義として次のような数列{y_n}の極限としてyを与える。
　{y_n}：y_n+1=x^y_n, y1=x
　y≡lim[n→∞]y_n
このとき定義より、x>0,y>0は明らかである。
その一方でx=10としたとき、y=10^10^…は明らかに発散する。
よってyが発散しないxの範囲を特定するのが、この設問の目的である。

（問１）xがyを収束させると仮定して、x=…の形に変形しなさい。またyとxの関係をグラフに表し、xの取り得る範囲を「推定」しなさい。
（この設問に寄り、もしxがyを収束させるなら、この「推定範囲」に限られることが分かる。しかし、xがこの「推定範囲」内ならば必ず収束するとは限らない）

（問２）始めに【補足問題】を解き、その結果を参考にして、【問】に答えよ。
【補足問題】 y>0の時、y^(1/y)≦yを示せ。また等号成立条件はいつか。※微分を用いることなく証明可能

【問】　(i)～(iv)を解け。ただし後述する【事実】を適宜用いて良い。各設問の末尾のアルファベットは、参考になる【事実】を表している。
(i) x>1の時、yが収束可能かどうか、或いはいつ収束可能か示しなさい。（a）
(ii) (i)の時、その収束先を答えなさい。ただし、数式で簡明に表すことは難しいので、言葉で説明する事を推奨する。（b）
(iii) 0<x≦1の時、{y_(2n-1)}、{y_2n}（前者が奇数番号のみを並べたy_nの数列、後者が偶数番号のそれ）が各々収束することを示しなさい。(a)
(iv) {y_(2n-1)}、{y_2n}の収束先を各々A,Bとして、A,Bに関する等式を二つ用意し、それらを満たす解を一つ見つけよ。またそれがただ一つの解である事を示せ。(b)
(v) {y_(2n-1)}、{y_2n}の収束先が同一であれば、元の{y_n}はそこに収束するし、同じでないなら{y_n}は収束しない。(iv)の結果から、0<x≦1での{y_n}の収束性を判断し、最終的にyを収束させることのできるxの範囲を答えなさい。また可能なら、どこに収束するか(ii)と同様に答えなさい。

【事実】（以下で登場する全ての数列は暗に無限数列であると仮定している）
(a)　ある単調増加（減少）列{a_n}が存在した時、任意のnに対してある値Aが存在し、a_n<A （a_n＞A）を満たすならば、{a_n}はある値αに収束し、α≦A（α≧A）を満たす。
　[例]：数列{a_n}はa_n=1/2^nで表せられるとする。a_(n+1)-a_n=-1/2^(n+1)<0より、これは単調減少列であり、また任意のnに対し、a_n>0である。よって{a_n}はある値αに収束し、α≧0とわかる。（事実、α=0である）

(b)　数列{a_n}が存在して、n→∞でαに収束するとする。ある適当な自然数mが存在し、任意のnに対して、ある関数fがf(a_n,a_(n+m))=0を満たす時、f(α,α)=0が成立する。
　[例]：αに収束する数列{a_n}が存在し、任意のnに対し、a_n+2a_(n+1)=0を満たすなら、α+2α=0を満たす。（直ちにα=0がわかる。）
229：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:38:05 ID:V4GGA2BY: x = y^(1/y)
両辺対数とって
ln(x) = (1/y)ln(y)
このxをyについて微分
x’/x = -(1/y^2)ln(y) + 1/(y^2)
→ x’ = [-(1/y^2)ln(y) + 1/(y^2)]*y^(1/y)
→ x’ = [y^(1/y)][1-ln(y)]/(y^2)

x’ = 0 (yが極値)になるのは
1-ln(y) = 0
→ y = e

このとき
x = e^(1/e) ～1.44
x > 0

問1のxの最大はe^(1/e)
とかですかね
230：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 22:54:32 ID:LzCaf9ew: >>229
その通りです！
まず、

y=x^y ⇔ logy=ylogx
⇔ (1/y)logy=logx
⇔ y^(1/y)=x
が分かります。また、対数微分法を用いると既に書かれたように
x’ = [y^(1/y)][1-ln(y)]/(y^2)
となり、0<y<eでx'>0（増加）、y=eでx'=0（極値）、y>eでx'<0（減少）とわかります。
よってy=eで最大値となり、その値はx=e^(1/e)です。

一応下限を調べるべくグラフ全体の形をより詳しくしらべると、
（google先生で外形を見てもらえれば一目瞭然ですが）、
x=y^(1/y)=1/(1/y)^(1/y)と変形できればy→+0でx→+0、
x=e^(logy/y)と変形できればy→∞でx→1とわかります。
https://i.imgur.com/g8IYDn9.jpg

前者からxの下限は以前x>0のままでよいことがわかります。

以上から（問１）の答えの推定範囲は0<x≦e^(1/e)とわかります。

また「y>eでx'<0（減少）」及び「y→∞でx→1」から、x=y^(1/y)のxに対するyの解は、y≦1で一つ、y>1で二つという事も知ることができます。（下の問題を解くときに手助けになるかも）
231：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 23:12:59 ID:V4GGA2BY: ありがとうございます
変形とか計算とか色々雑ですみません…

問2以降やるのに多分最低値の方を見る問題なのかなとおもって試しに電卓で凄い小さい数字で冪乗繰り返してたら繰り返し回数の偶奇で出てくる数字振動してるように見えますね…

すごいですねこれ
こんなことになるの知らなかった
232：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/29(土) 23:37:57 ID:LzCaf9ew: >>231
そうなるため(iii)以降、y_nを偶奇の数列に分ける必要があったんですね

意外に思う気持ちとてもわかります
僕もこの問題に取り組み始めてこの結果が出てきたとき「まさか！」と思って検算してみたら確かにそうなっていたという.....
皆も0.1で巾乗し続けて、エッチ（な結果を見て）みよう！
233：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 00:37:02 ID:zJniWhjk: 明日は少し用事があってすぐに返信できないかもしれません。
一応問２（補足問題も含む）で多用するヒントを投げておきます。

【重要ヒント】 A>1の時、s<tならA^s<A^t, 0<A<1の時、A^s>A^t.

あとはy=x^yやy_n+1=x^y_nという等式たちも忘れないで上げてください。
また、補足問題の存在意義は、xとそれに対応するyとの間にある一定の大小関係に気付かせるためです。一体どういう大小関係にあるのか、考えてみて頂けると幸いです。
234：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 19:31:56 ID:zJniWhjk: この様子だと解答上げて根流しした方がいいっすかね...?
235：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 19:37:51 ID:IbTDq18I: スレの傾向として数2Bまでの問題が多そうですね…（手も足も出ない）
236：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 20:31:23 ID:zJniWhjk: とりあえず解答（前編）を上げます。これを見てもう少し取り組みたいという方がいれば仰ってください。後編を差止めます。いなければ出来上がり次第挙げます。

【問２解答】（前編）

【補足問題】 y>0の時、y^(1/y)≦yを示せ。また等号成立条件はいつか。
（解）・0<y<1のとき、1/y>1なので、y^(1/y)<y^1　⇒　y^(1/y)<y
・y=1のとき、y^(1/y)=1=y ⇒ y^(1/y)=y
・1<yのとき、0<1/y<1なので、y^(1/y)<y^1　⇒　y^(1/y)<y
以上から、y^(1/y)≦yで等号成立条件はy=1　（終）

この問いからx=y^(1/y)≦y、即ち、
『x=y^(1/y)を満たすならば、x≦y（等号成立条件はx=y=1）』
となることがわかります。
この単純な関係が以降の証明で大きな役割を果たすことになります。

【(i)】 x>1の時、yが収束可能かどうか、或いはいつ収束可能か示しなさい。
⇒1<x≦e^(1/e)の時、{y_n}が収束する事を示す。具体的には、{y_n}がnに対し単調増加であり、かつ上限が存在する事を示す。
（解）問１の結果から、もし{y_n}が発散しないならば、xは1<x≦e^(1/e)の範囲にある筈である。実はこの範囲にあれば、{y_n}は発散せず収束する事を示すことができる。
　1<x≦e^(1/e)のとき、x=z^(1/z)を満たすzが存在して、そのzはグラフの形状から２つあることが分かるが、小さい方をaと置く。
　x=a^(1/a)を満たすので、補足問題からx<aである。（x≠1なので等号成立は有り得ない。）
　この時、x>1であるから、x^x<x^a=a（最後の等式は自明：元々aはz=x^zの解なので）。即ち、x<a ⇒ x^x<a.
　更にx^x<a ⇒ x^x^x<x^a=aより、x^x<a ⇒ x^x^x<a.
　本来は帰納法を使うべきだが、明らかなので省略。
　よってy_n=x^x^…(xがn個)^x<aつまり、任意のnに対しy_n<aがわかる。（y_nには上限がある）
　また1<xであるから、x=x^1<x^x⇒x<x^x.
　更に、1<xであるから、x<x^x⇒x^x<x^x^xである事も分かり、帰納法の議論は省略して、任意のnに対し、y_n<y<n+1とわかる。故に、{y_n}は単調増加列である。
　以上から、1<x≦e^(1/e)の時、{y_n}は単調増加列で、{y_n}<aなので、事実(a)から、{y_n}はα≦aを満たすαに収束、すなわち1<x≦e^(1/e)でy=αとなることがわかる。

【(ii)】lim[n→∞]y_n=αとわかっているので、事実(b)から、
y_n+1=x^y_n　⇒ α=x^α
　よってαはα=x^αの解であることがわかる。1<x≦e^(1/e)の範囲でα=x^αの解は二つあるが、α≦a（aはz=x^zの解の小さい方）なので、α=aとわかる。
　以上から、xに対するy(=x^x^…)の値は、z=x^zの解の小さい方であるとわかる。
237：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 20:33:58 ID:eZMLP5U.: しょっぱなのy=x^yで？？？ってなったゾ(クソザコ)
どうせ無限にベキジョーするんだから一緒みたいなもんでしょってノリだと思うけど
238：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:00:58 ID:zJniWhjk: 書き上がりましたので後編を挙げまし（しょんぼり）

【問２解答】（後編）

【(iii)】0<x≦1の時、{y_(2n-1)}、{y_2n}（前者が奇数番号のみを並べたy_nの数列、後者が偶数番号のそれ）が各々収束することを示しなさい。

0<x≦1に対し、x=z^(1/z)を満たすzをaと表す。（0<x≦1なので問１の結果から解は一つしかない）補足問題から、当然x≦aを満たす。
・{y_(2n-1)}（x^x^…[xが奇数個]…^x）の収束性について
始めに{y_(2n-1)}に上限がある事を示す。
0<x≦1であるから、x≦a　⇒　x^x≧x^a=a　⇒　x^x^x≦x^a=a
よって、x≦a　⇒　x^x^x≦a.
同様に考えればよいので帰納法の議論は省略して、任意のnに対し、y_(2n-1)≦a.
続いて{y_(2n-1)}が単調増加である事を示したい。そのために、x^x≦1であることをまず示す。0<x≦1　⇒ x^x≦1^x　⇒ x^x≦1.
　これによってy_n≦y_n+2（nは奇数）を示すことができる。帰納法を用いよう。
*n=1のとき、0<x≦1より、x^x≦1　⇒ x^x^x≧x^1=x　⇒　y1≦y3　（成立）
*n=k(奇数)のとき、y_k≦y_k+2がしていると仮定すると、y_k≦y_k+2　⇒ x^y_k≧x^y_k+2　⇒ x^x^y_k≦x^x^y_k+2 ⇒　y_k+2≦y_k+4.　よってn=k+2（奇数）の時も成立。
以上から、y_n≦y_n+2（nは奇数）、即ち{y_(2n-1)}は単調増加であるを示せた。
以上より、{y_(2n-1)}は単調増加でy_(2n-1)≦aと上限が存在するので事実(a)から収束する。
・{y_2n}（x^x^…[xが偶数個]…^x）の収束性について
　xが奇数個の場合とほぼ同じ議論で成立する。異なるのは、y_2n≧aと、aは{y_2n}の下限を与えており、y_n≧y_n+2(nは偶数)と、単調減少となるという風に、全体的な不等号の向きが異なるということである。事実(a)より、やはりこれも収束する。

【(iv)】{y_(2n-1)}の収束先をA、{y_2n}の収束先をBとする。この時、y_(n+1)=x^y_nから、n→∞の時、A=x^BとB=x^Aの二式がA,Bに対し要請される。収束値(A,B)はこの連立方程式の解の中に存在するとも言える。
　ところで、a=x^aより、(A,B)=(a,a)は明らかにこの連立方程式の解である。
　また、x=a^(1/a)=e^(loga/a)でa≦1（グラフから明らか）であるからloga≦0であることがわかる。よって、縦軸をA、横軸をBのグラフを考えた時、A=x^Bは右肩下がりの指数関数(a=1の時はA=1の直線)ということになる。また、B=x^Aは、A=x^Bのグラフを斜め45°の軸に対し線対称に映したものなので、B=x^AとA=x^Bの交点はたった一つしか存在しない。
　よって(A,B)=(a,a)が{y_(2n-1)},{y_2n}の収束先とわかる。

【(v)】(iv)の結果から、0<x≦1においてy(=x^…)=aとなる。x>1の結果と併せれば、次の主張ができる。
『y=x^…は0<x≦e^(1/e)≒1.4446...において値を持ち、それはz=x^zの解で、解が複数あれば小さい方がその値に該当する。
239：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:32:36 ID:zJniWhjk: 「y=x^x^…が0<x≦e^(1/e)≒1.4446...で収束する」という結論の面白い所は、x>1でもy=x^x^…は収束し得るという所ですね。普通ならこういう冪系の収束はx<1のみに限られそうなものですが、この場合においてはそうではないというお話です。
例えば、√2はe^(1/e)よりも小さいので、√2^√2^√2^…は値を持ち、その答えは2となります。

この設問の着想元は、昔twitterで見かけた物で、正に「2=x^x^…を満たすxは何か？」という問題だったと思います。解は2=x^2でx=√2とわかるのですが、色々物議があって投稿者が撤回してしまったというような記憶があります。なので具体的な出典が示せません、ｾﾝｾﾝｼｬﾙ!　
　そういったやり取りを思い出して、ではx^x^…が収束するxはいくつか？という問いを立てて何とか証明し、問題として出題した次第です。結論としては、【重要ヒント】で示したような素朴な関係の繰り返しと、無限数列の収束に関する基本的な定理から、その結果が導けてしまうという事でした。
　解けなかったとしても、証明を追って頂いて楽しんで頂ければ幸いです。

>>225
鋭い…鋭くない？　（まだ見ぬ能力を備えている可能性が）濃いすか？

>>235
そういえば極限を詳しくやるのは数３でしたっけ……悲しいなあ

>>237
一応「y=x^x^…が収束して値を持つ」という前提に立っているので、xの肩にあるx^x^…は必然的にyとならねばならない、則ちy=x^yが正当化されるという話になります。ま、細かい事は多少はね？　似たような話に直面したらノリでやってしまってもｲｰﾖｰ
240：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:58:24 ID:GJdJ0xrc: お疲れ様でした
実を言うと私ネタバレを発見してしまいまして解くのを控えさせて頂いた者になります
というのも
冪乗の繰り返しってグラハム数で記法がなかったっけ→テトレーションっていうのか～→wikiに答えが載ってる！
ということで気になる方はテトレーションでwikiを調べて頂ければ幸いです
ただこのwikiには e^-e≦x≦e^(1/e)において収束すると書かれてあるので下限についてはもう少し議論が必要なのかも知れません
241：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 23:27:21 ID:zJniWhjk: >>240
マジっすか（素）
ざっと見た感じe^-eで奇数極限と偶数極限が一致しないらしいのでそのあたりに不備がある感じですかね
もう少ししっかり裏打ちすべきでした

不備のある問題を長々とひりだしてしまいｾﾝｾﾝｼｬﾙ！
242：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/01(火) 21:55:50 ID:eDRQdIbU: 次回もお待ちしてナス！
243：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 22:48:16 ID:N5oGH8x.: 数年前に考え付いた問題を頭から掘り起こしてるけどどうにも答えに辿り着かない
設定しか思い出せないので今一度作り出すしかない
244：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 22:59:42 ID:wN/R8R92: がんばえー
245：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 23:16:56 ID:rAa0GZkU: (x^2+x+1)t=x^2+5x+6
みたいなやつでtの範囲を数2Bの範囲で解けたはずなんだけどどうやってやるんだっけ（痴呆）
-2≦x≦2の範囲を一応つけておきます
246：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 00:50:56 ID:vcFWjfLg: >>245の出題者なんですけど風呂に入っても忘れたままです
代わりの問題も考えましたがこれは同じシチュエーションもっとうまくて楽しい設問ができそうです

ダーツの的を円を1から20までではなく、円を1からn（nは2以上の自然数）まで分割させたものとする
このダーツをプレイヤーは必中させ、同じ数字kに当てるごとに2回目にkのk倍、3回目にさらにk+1倍、k回目にさらにk+k-2倍の得点を得るものとする（一度当てただけでは得点はえられない）
(1)プレイヤーAがn回投げて12点を得る確率を求めよ
(2)プレイヤーAがn回投げて10点を得る確率を求めよ
(3)n=100のとき、p回投げた場合の得点の期待値E(p)が2番目に低いときのpとE(p)を求めよ
隠れ問題（解けるのかわからない）(4)プレイヤーAがn回投げて810点を得る確率を求めよ
247：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 00:54:48 ID:vcFWjfLg: ちなみに>>245は予備校の東大文系コースの教科書に類題があったので確実に数2Bで解けるはずです
248：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 01:39:43 ID:z/ru/9Ss: >>245
t=1は別として、
y = (t-1)x^2+(t-5)x+t-6 の放物線とx軸の交点の存在範囲を考えればいいはず
249：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 01:48:17 ID:vcFWjfLg: >>248
あ、そっかあ…
t=(x^2+5x+6)/(x^2+x+1)(0<x^2+x+1より)
に拘っちゃってたゾ
250：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 02:27:51 ID:KEurClNE: 「このダーツをプレイヤーは必中させ、同じ数字kに当てるごとに2回目にkのk倍、3回目にさらにk+1倍、k回目にさらにk+k-2倍の得点」
ここの最後のところ
k回目にさらにk+k-2倍の得点→n回目にさらにk+n-2倍の得点
ですかね？
251：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 02:31:53 ID:vcFWjfLg: >>250
そのとおりです
252：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 06:23:41 ID:vcFWjfLg: 問題文を少し整理してできるのかわからない問題をもう一つ付け足します（最後の問2つがはじめに考えついた問題でした）

ダーツの的を円を1から20までで分割したものでなく、円を1からn（nは2以上の自然数）までで分割したものとする
このダーツの得点は同じ数字k（kは1≦k≦nの自然数）に2回以上当てたときに得られ、その得点は2回目ではkのk倍点、3回目ではさらにそのk+1倍、…、n回目ではさらにk+n-2倍された得点を得る
このダーツのプレイヤーはダーツを必中させ、かならず何かの数字に当てるものとする
このとき次に続く問に答えよ
(1)プレイヤーAがn回投げて12点を得る確率を求めよ
(2)プレイヤーAがn回投げて10点を得る確率を求めよ
(3)プレイヤーAがn回投げてすべて1に当たった場合の得点を求めよ
(4)n=100のとき、p回（pは1≦p≦nの自然数）投げた場合の得点の期待値E(p)が2番目に低くなるようなpとE(p)を求めよ
解法がわからないチャレンジ問題
(5)プレイヤーAがn回投げたとき、810点を得る確率を求めよ
(6)n=100で、プレイヤーAが必ず得点を得られるとき、もっとも得点の期待値が低くなるようなpとE(p)を求めよ
253：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 12:38:17 ID:3WF.L/h2: 12点とか小さな数字ならなんとかなりますが810点とかこれもうわかんねえな
具体的な点数表作って解く以外に何か方法がある可能性が微レ存...？
とりあえず(1)は(nP5/12)[(n-2)^(n-5)/n^n]（n≧5）他のnは0、(3)はn(n-1)/2になりました。
254：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 13:43:08 ID:vcFWjfLg: (5)(6)についてはシンプルな解法があったらすごいな（出題者の屑）、と思うレベルなのですが
(1)は2×2×3以外に12を得る方法が存在しないので、少なくともn≧3です
255：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 13:58:16 ID:3WF.L/h2: あれ、もしかしたら勘違いしてるかもしれませんね....
一回目の命中は必ず0点で、二回目以降は点数をその都度加算するという形ではないですかね？
僕の場合、計12点になるのは1を三回で3点、3を二回で9点の1パターンしかないという考えになりました
256：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 14:38:43 ID:vcFWjfLg: その得点は2回目ではkのk倍点、3回目ではさらにそのk+1倍、…、n回目ではさらにk+n-2倍された得点を得る
なので
k×k(k+1)(k+2)(k+3)…(k+n-2)点がkに複数回当てたときに得られる得点になります
257：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 14:41:26 ID:3WF.L/h2: あっなるほど勘違いしていました。ありがとうございます。
258：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 17:51:48 ID:rdy9LcBg: ダーツろくにやらない陰者なので「12点を得る」ってのがいまいち理解出来てないんですけど、
>>254の例だと2に当てるのを三回だよ三回ってことですよね

これって例えばn=3の時は三連続で2に当てたところで試行回数が尽きて強制終了ってことでしょうけど、
n=4で123回目を2に当てた時は4回目は外さないと12点を得たとは言えないってことですかね？

あと、例えばn=10だとして、
その中で3連続で2当てたけど3連続で3も当てたってときは
後者で得た36点が優先されるために12点を得たとは言えないって認識でいいですか？
259：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 19:11:18 ID:vcFWjfLg: >>252での「○点を得る」は合計獲得得点のつもりでしたので、こちらの配慮が足りていませんでした
なので、n=4のときは2以外にあてなくてはなりませんし、n=10のときに3にも複数回当ててしまってはいけません
260：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 19:54:09 ID:KEurClNE: あっ合計点かぁ…
そうなると(1)は
nが3～7のとき →2に3連続命中を1回決める確率(=Pa)
nが8～10のとき →2に2連続命中を3回決める確率(=Pb)とPaの和
nが11～17のとき →3に2連続命中を1回と1に2連続命中を3回決める確率(Pc)とPaとPbの和
nが18～26のときは 2に2連続命中を2回と1に2連続命中を4回決める確率(Pd)とPa～Pcの和
nが27～34のときは2に2連続命中を1回と1に2連続命中を8回決める確率(Pe)とPa～Pdの和
nが35～のときは1に2連続命中を12回決める確率(Pf)とPa～Peの和
って感じで場合わけかな？
261：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 20:03:18 ID:KEurClNE: 勝手に連続であてる必要があると思い込んでたけどそんなこと一言も書いてなかったゾ(池沼)
262：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 20:04:46 ID:vcFWjfLg: 複数回当てたときなので、連続で当てる必要はありません
そんな難しいのは>>245がわかってなかったわし(大問53)が(1)で出せないっす
263：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 22:49:22 ID:9Ow8W/uA: 6!で720まで行くので複数回数の最高としては1による7回でしょうか
逆に29^2が841なので複数の目の最高は28ですね
その範囲から810になる組み合わせを気合いで集めて更にそれぞれの確率を求める
これくらいしか思いつかない
264：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 22:54:56 ID:vcFWjfLg: ゴールドバッハの予想の拡張じみてしまっているからnを絞ってもいいかもしれませんね
n=20とかでも
265：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/04(金) 07:43:56 ID:DxEOupFE: (1)～(4)までの設問はもう皆さん答えられてて答えだしちゃっていい感じなんですかね？
(4)をちゃんと導出するのクソめんどくさいですね（人間の屑）
期待値はE(p-1)が関わってきそうで漸化式みたいにできそうな気もするから(5)より(6)のほうが簡単な気がしてきたゾ
266：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 00:54:32 ID:YXIeXeEo: 2度目ワクチンの副反応で土日はヤバそうなので(1)だけ示しておきます
なかば朦朧としているので記法がガバガバだったら許し亭ゆるして
(3)はそのまんま(n-2)!です、(4)はp=2について地道に総和を使ってE(2)を求めてください
(1)
1≦k≦nの自然数kにおいて、いずれのkについてもkにダーツが当たる確率は1/n
計12点を得るパターンは、2に3回当てることによって2×2×3点を得て、それ以外の数字について得点を得られないときである
n回投げてそのような結果を得るには、2に3回的中させ、のこりのn-1個の数字のうちのn-4個の数字に一回ずつダーツを的中させたときだけである。(n≧2)
このとき、何回目にどの数字に当てたかは求める確率に無関係である
このような確率は
nC3×(1/n)^3×n-1Cn-4×(1/n)^n-3(n≧3)
で求められる
計算すると、n-1Cn-4=n-1C3より
n(n-1)(n-2)/(3×2×1)×(1/n)^3×(n-1)(n-2)(n-3)/(3×2×1)×(1/n)^n-3
=n(n-1)^2(n-2)^2(n-3)/36×(1/n)^n
=(n-1)^2(n-2)^2(n-3)/36n^n-1(n≧3)
が求める確率である
267：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 01:03:12 ID:YXIeXeEo: n≧4についてはさっきの式で、
n=3については1/27です
途中n≧2となっていますがn≧3の誤記で、n≧3となっているところはn≧4ですね…
268：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 05:58:24 ID:YXIeXeEo: 熱にうなされながら30までだと7,8,23がこのゲームで得られない点数であることは計算したんですけど
なにか法則性が得られそうで得られない感じがもどかしい

28^2+5^2+1^2
27^2+9^2
26^2+10^2+5^2+3^2
これがすべて810なんですが全部数え上げるのはダメみたいですね…
n=20にして解いていだたくと幸甚です
269：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 13:47:47 ID:iYNzsTVM: >>266
n-1Cn-4になるのがんまぁちょっとよくわかんないです(クソ雑魚)
なんでPじゃないんですかね
270：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 14:49:01 ID:6AoAPH7M: ぼくもそこはPかと思いました
n=5として
22342と22432って別物っすよね
271：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 15:27:37 ID:YXIeXeEo: n=4のとき
2について4C3(1/4)^3なら、これに3/4を掛ければよい
だけ計算して検算した気になってました
数字は当然それぞれ区別されるので、n-1Pn-4通りあるので
正しくは
(n-1)(n-2)n-1Pn-4/6n^n-1
ですね
272：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 16:26:27 ID:HxqHmR/Q: (2)は(1)と同じ感じで解けばいいっすね
1が2回と3が2回とあとは被らないように数字を1個ずつ使うのがn-4回だから
分子がnC2・n-2C2・n-2Pn-4、分母がn^nになるんすかね
こっからきれいに整理できるのかは知らなーい

(4)はE(2)を求めること自体はシグマでﾊﾟﾊﾟﾊﾟってやれば終わるだろうけど、
E(2)が2番目に低いことの説明の仕方がよく分からないっす
そしてこれを説明できるなら(6)もE(2)が答えですよんって言って尾張平定では？

(5)はナオキです(即答)
273：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 16:52:12 ID:V.x5JpeA: (2)は2×2と1×1×2×3でも作れますね
足し算がめんどくさそう
(4)はk投目での得点にくらべてk+1投目での得点はかならず同じか大きくなるのだから、P(k)<P(k+1)はあきらかなのでは？
(6)は「必ず得点を得られる」というのが0点を含むのか否かで変わるでしょうね…
含むのであればP(1)=0で終わり！平定！もうみんな帰っていいよ！
274：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 17:12:26 ID:HxqHmR/Q: 2×2と1×1×2×3もありますねえ！(屑)

(4)は投げる回数が増えたら得点が増える方向に動くのは自明として、それが投げる回数の増加分以上に期待値増加に貢献していることを言う必要があるんじゃないですかね…？
275：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 17:20:18 ID:V.x5JpeA: たぶんこれまでの問と同じく（合計得点の）期待値なのだと思われます
(6)は求めさせたいpが個人的には明らかなので（解けるとは言ってない）
276：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/09(水) 13:27:08 ID:bQBouCfg: 出題者ですけど(4)までの答えは一応出揃ったんですじゃ、流しますね…
>>275兄貴の言うとおり合計得点の期待値のつもりでした
このあとE(3)を計算するときにE(2)が必要になりそうなので自分が想定していたE(101)（鳩の巣原理より）と漸化式で計算可能なのかなと思いましたが、問題設定の不備といい自分の力不足を感じる結果になりました
277：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 17:58:16 ID:caCL7o5E: 皆さんは「エイトクイーン」という遊戯をご存じでしょうか
チェス盤の上に8個のクイーンを、どの駒も互いに取られないような位置に置くというパズルです
日本にも利かずの駒並べというパズルがあるようで、今回はこれを拡張した「n-飛車」について考えたいと思います

2n×2nのマスを持つ将棋盤の上に、n個の飛車をお互いが他の飛車の利き筋にならないように置いて行きます
この時の置き方の総数をN(n)とします
では以下の極限値を求めてください
https://imgur.com/a/Zdxdiu6
278：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 18:03:21 ID:caCL7o5E: 補足ですが、飛車は上下左右に何マスでも進める駒です
また画像を間違えましたので再投稿致します、申し訳ありません
https://imgur.com/a/uW90SqH
見にくければすみませんが画像のルートはn乗根のつもりです
279：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 18:07:50 ID:caCL7o5E: また、本問題の最終段階で数学的には少し危ないことをやっています
素人製作の問題として大きい目で見ていただければ幸いです
280：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 23:20:16 ID:caCL7o5E: 数学的に危ないというのはこの問題の本質ではないです
そこに辿り着くまでの過程に面白さがあるので是非挑戦して頂ければと思います
281：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 02:22:38 ID:0KcBb75I: 自分の中では、N(n) / n^n = N(n) * n^n / {n^n}^2 にして y=log(1+x) と y=log(1/x) の二つで区分求積することでn乗ルートのない log {N(n) / n^n} が収束してくれるんだけど、どこが間違ってるか分からんしダメみたいですね(諦め)
282：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 04:48:12 ID:s.9KdSRQ: https://imgur.com/5VDLvQf
駒は区別しない感じでいいんですかね？
最後の0log0の部分は対数の発散よりも多項式の収束の方が速いから0みたいな感じでぇ…(ふんわり数学)
283：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 13:39:13 ID:0KcBb75I: あっそっかぁ区分求積の細かい長方形の幅が 1/n になるの忘れてたゾ(池沼)
0log0に関しては、x=1/t として xlogx = 1/t * log(1/t) = -logt / t 、t→∞で t >> logt ってのを習ったんですけどいいんですかね？(疑問)
284：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 23:09:08 ID:EG3Mme.o: 一応明日解答出します
結構難易度高い問題だと思ったんですけどね(畏怖)
285：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 00:24:21 ID:iXyvBO4c: エイトクイーンはレイトン教授にも出てましたね
286：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 16:53:28 ID:mKWRLX.E: 解答になります
https://imgur.com/a/pAIPtlm
答えは4log2-1になり、>>282さん見事正解です！
パーミュテーションやコンビネーションから区分求積法に繋がるといった点が本問題の面白さです
287：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 16:56:56 ID:mKWRLX.E: 最初に言った「数学的に危ないところ」であるlogxの(0，1］における積分についても注釈を入れました
https://imgur.com/a/yotuKuF
これはいわゆる広義積分というもので、大学数学の範囲になりますがこの程度であれば適当にやっても問題ないかもしれません
広義積分と定積分を混ぜて計算していいのかは良く知りません、数学の先生許して！
288：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 17:02:33 ID:mKWRLX.E: 注釈で触れたロピタルの定理は、使用条件は省きましたが使えれば非常に強力な武器になりますので高校生兄貴は覚えておくといいかもしれません

本問題は2010年京都大学前期数学第6問から着想を得て作りました
https://www.densu.jp/kyoto/10kyotospass.pdf
この問題は工夫により先述の広義積分にならないように設定されており、さすが京大と言った感じですね
拙問を解いて頂きありがとうございました
289：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 10:47:57 ID:xOUrcb9Y: 春休みに暇な方のために上げておきます
ある自然数(n,k)に対して
3^n+2n-1=k^2
が成り立つという
(1)上の式を満たすk^2の奇偶を求めよ
(2)上の式を満たすような(n,k)をすべて求めよ

比較的筋肉で計算する方法しか思いつかなかったのでエレガントなのがあったら期待したいです
290：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 15:13:01 ID:3TJxSbcs: この問題超助かる！
さっそく挑戦してみますよ～
291：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 19:17:14 ID:3TJxSbcs: なかなか難問ですね…
(1)はすぐだけどこれをどう次に活かすかで悩んでます
あと自然数が(n、m)ではなく(n、k)なのは意味があるんだろうか(邪推)
292：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 20:36:54 ID:xOUrcb9Y: m,nにしなかったのは大学への数学の有名問題のリスペクトってだけなんですが
たぶんキーになるのがnの存在範囲なのでヒントになってるのかもしれない（適当）
293：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 22:01:04 ID:mMDFhwv2: 2nと-1がくっついてるから3=2+1にバラして二項定理的にしたらいけるかと思ったけどまんまと泥沼に入ったゾ
294：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/24(木) 10:07:07 ID:7QtRnZTo: mod3の計算をミスって絞り込みできる範囲を勘違いしてました…（ガバ出題）
とりあえず(n,k)=(1,2)のときに成り立って
n≧3のときk>nだから、3^n=k^2-2n+1>k^2-2k+1=(k-1)^2というのが役立ちそうな気がします
元の問題は3^n=k^2-40で、これは(1)のアプローチだけでどうにかなりますので、こちらのほうが有意義ですね…
295：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/25(金) 23:35:15 ID:LTzFsreo: nが偶数の時はn=2mとして
(3^m)^2 < 3^2m+4m-1 < (3^m+1)^2なので等式は成立しないですね

nが奇数の時は、うーん…
296：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/26(土) 00:58:31 ID:rumOu50U: 両辺のmod3をとるとn≡±1(mod3)なので
n=3m±1で同じ変化にはできそう
297：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 17:01:20 ID:s3VGLI1A: 受験生のホモも落ち着いたと思うのでわかればサクッと解ける問題を出します
わからなかったら泥沼なので大学受験には出ないと思います
数2Bで解けます

810
∑｛√1/3x-x^2+(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
について考える
(1)xが実数解を取る方程式√（1-x^2）+√(4-x^2)=l（lは実数）について、lとxの範囲をそれぞれ求めよ
(2)上の式について、最大値とそのときのxの実数解をすべて求めよ
298：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 17:11:21 ID:s3VGLI1A: >>297
与式は正しくは
810
∑√｛x/3-x^2+(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
でした。スマホで数式打つのめんどくさいっすね…
299：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 20:08:11 ID:s3VGLI1A: グラフ書かないとめんどくさそうだから掲示板向けの問題ではなかったかもしれない（懸念）
300：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/30(水) 00:03:37 ID:QTbM20aY: 最近問題出してくれる兄貴が多くて嬉しい
301：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/30(水) 20:22:55 ID:m9AuG6zI: (1)を厳密に論述させるのってもしかして実はかなりめんどくさかったりしますかね？
そうだったらTDN誘導なので文言を変えますが

>>289って
>>296と>>295を使ってmが自然数、すなわちn≧2のときにこの不等式が成り立つから
(n,k)=(1,2)以外では成り立たないとしちゃっていいんですかね
302：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 00:12:35 ID:2Kl36d5Q: YOSHIKIがよくわかんないっす
これシグマを解くまでもなく最大値とるとしたらx=1/6の時でしかありえないけどそのときもk=1のときとかに√の中身がマイナスになってしまうから最大も最小もクソもなくなりませんかね
303：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 00:36:41 ID:lFn.pQvg: 810
∑√｛x/3-x^2-(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
が正しい与式でした、申し訳ナス！
304：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:01:18 ID:2Kl36d5Q: あっそういうことかあ…
それならx=1/6を入れて式を整理したらシグマの中身が1/k-1-1/k+1になってくれるんで答えは810/811ですかね(途中計算を省く屑)
(1)は数学的厳密性についてはよぐわかんないすけど虚数にならないように考えたらxは-1~1でlは√3~3
305：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:09:50 ID:2Kl36d5Q: シグマの中身書き間違えたゾ…
1/k-1/(k+1)です
306：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:29:37 ID:lFn.pQvg: そのとおりです！正解されるのが気持ちいい！
数学オリンピック予選の過去問改変ですが、どちらにしろめちゃくちゃこけおどしです
-(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2
が単なる
1/k^2(k+1)^2-1/36であるみたいなことは入試では共通テストレベルでもままあることなので受験生のホモは覚えておいてください
1/n(n+1)の総和もよく出ます
(1)もすごく国立大学っぽいなとは思いつつ想定した解答は>>304のとおりなんですが数学的厳密性が成り立ってるのかはわかんないです
（複素数）+（複素数）が実数になる場合と左辺を比べればいいのでたぶん大丈夫ですが
307：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 06:51:23 ID:DM.Wvhv.: 東工大の2019年大問4（空間をn個の面で切ったときにできる空間の数）が伝説の難問だったらしくていくつか解説を見たんですが
その最大がnC3+nC2+nC1+nC0になる理由がエレガントになるらしいんですけど、そこの部分がどこにもありませんでした
これの二次元バージョン（平面を直線で区切ったときにできる領域の数）がnC2+nC1+nC0で、同じことができるらしいんですけど
参考書で見たことあった解答は地道に漸化式使う方法だったんで知りたいです
これが(1)で(2)(3)は途中で解説見るのやめるレベルのシンプルにクソ問でした
308：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 10:19:36 ID:sjiJdQUs: 出題というか質問になってしまうのですが大丈夫でしょうか
出題者いわく、中卒でも解けるが高一以上が適正レベルらしいです

x^2+xy+y^2=49
y^2+yz+z^2=144
z^2+zx+x^2=169
x>0, y>0, z>0のとき、x, y, zを求めよ
309：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 18:11:38 ID:VwzKVR8s: 1番上の式から、yが7以上で有れば破綻することが最初の一歩ですかね
仮定と合わせて0<y<7なのでその範囲で1番上の式に総当たりしてみる
そうすると(x、y)＝(3、5)、(5、3)の組しか無い
yが3か5なのでそれを真ん中の式に入れて二次方程式を解く
そうすると(x、y、z)＝(3、5、7)のみになる
最後これを代入して与式が成り立つことを言って終わりだと思います

x、y、zが自然数じゃなかったら知りません…
310：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 18:55:17 ID:DM.Wvhv.: (x+y)^2-xy=7^2で計算すれば割と暗算のみでいけます
(x+y+7)(x+y-7)=xyでもよさそうです
二式を引くとy-zとかでくくれるのでそこから計算してもいいです
自然数じゃなかったら知りません
三式足して(a+b+c)^2と比較したりすんのかなと思ったけどそっち方面はわかりませんでした
311：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 12:16:12 ID:58qGHElw: 整数問題を作るのが難しかったので初投稿です
三次方程式の解の関係使うの結構難しいですねこれ

xy平面上の点Pから引かれたx^2+y^2=1への接線の2つの接点をA,Bと置く
△ABPが正方形となるとき、Pの軌跡を求めよ
312：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 12:16:37 ID:58qGHElw: 正方形じゃなくて正三角形です…
313：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 15:55:45 ID:pKSDs7F6: 308ですが、つべのチャット欄で投げられてた問題なので、自然数云々など問題自体がガバガバな所もあったかもしれません。回答してくださった方々ありがとうございます
314：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/04(月) 11:57:10 ID:MmmWnA5g: >>311が（たぶん）中学生にもすぐ解けることに気づいたので問題追加です
(1)は中学生のホモがいたら解いてみてください

xy平面上の点Pから引かれたx^2+y^2=1への接線の2つの接点をA,Bと置く
(1)△ABPが正三角形となるとき、Pの軌跡を求めよ
(2)四角形OABP（Oは原点）の面積が√3となるとき、Pのとりうる領域を求めよ
315：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/06(水) 15:15:04 ID:hEkLQCdg: (2)の四角形ってもしかしてOAPBですかね？
だとすると(1)と(2)って答え一緒になる気がしますが
316：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/06(水) 20:46:02 ID:kZHDq52w: (1)だけであることを示すのが意外と面倒くさいんですけど
∠OAB=θ(0≦θ≦180°)とおいて地道に導いたらsinθ+sinθ(1-cosθ)/(1+cosθ)=2√3とか出てきたんですけどなんなんすかねこれ
最大最小なら導けそうですけど
317：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:51:04 ID:k9kYcBMA: OAPBは対角線が直角な四角形だから面積はAB×OP×1/2で求められる
対角線の交点をMとしてAB・OPを求めていく
ABについては、∠OAB=ΘとするとAM=cosΘなのでAB=2AM=2cosΘ
OPについては、OP＝OM+MPとみて考える。
OM=sinΘ。PMについては、⊿APMと⊿OAMが相似になってるので比を利用してPM=cosΘ^2/sinΘ
よってOP＝sinΘ+cos^/sinΘ=1/sinΘ
よって面積=AB×OP×1/2=1/tanΘ
これが√3になるのでΘは30°一つに決定される
Θが一つしかないからOPの長さも一つに固定されるからとりうる領域はそれをぐるっと回した円になる(雑)

∠∠∠∠∠∠
318：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:52:32 ID:k9kYcBMA: 答案書くのに∠いっぱい使うかと思って下の方に溜めといたの消し忘れたゾ(池沼)
319：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:59:48 ID:k9kYcBMA: 相似なんて考えなくても直角三角形OAPでOAが1だから斜辺OPは1/sinΘで終わりっ！て考えられますねえ
320：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 05:22:41 ID:NnrfUK6M: ∠AOB=θとしてA(1,0)とB(cosθ,sinθ)にする王道パターンだと比較的計算地獄に陥りそうですねこれ
ABが√(2-2cosθ)とかやりはじめると
321：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/13(水) 22:54:21 ID:DhvlmpBs: 面白い問題拾ったので初投稿です
xy平面上の原点を中心とする半径１の円周上にN個の点を無作為に配置し（すなわち各点は円周上に一様かつ互いに独立に分布）、各点で円周を分割してN個の円弧を作成する。このとき点(1,0)を含む円弧の長さの期待値を求めよ。
ヒント：1/Nじゃないゾ
322：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/13(水) 22:59:30 ID:DhvlmpBs: すみませんガバりました
円周の長さは2πなので
ヒント：2π/Nじゃないゾ
が正しいヒントですね
323：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 00:02:02 ID:Wc/oybvk: 2π/Nだと思ったけど違うんですね
なんとなくの直観で点が(1、0)上にあるときが重要な気がする(小並感)
324：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 00:25:07 ID:vSjo9y7k: A(1,0)から数直線で考えると重なるときと重ならないときで点の数が変わるから場合分け？
Aの左隣（Aを含む）に打った点から数直線引こうと思ったらなんかめんどくさい気がしたので
それとも三角関数やθが関わったりするのだろうか
325：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 07:47:40 ID:eSfbVlrs: 点が重なる確率はゼロなのでそういう事象は度外視できるはず
大学レベルの確率統計を前提とした問題ですかね
一様分布とか一応高校数学でも扱ったっけ？
326：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 07:56:39 ID:vSjo9y7k: 一応数2Bでやります（大昔はC）
ただセンターや共通テストでベクトルやるのがめんどくさい人がやるものではある
(1,0)は単位円上の点だし点N_1(cosθ1,sinθ1),…,N_N(cosθN,sinθN)(0≦θk<2π)で考えても除外できないんじゃないかと
327：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 09:14:20 ID:eSfbVlrs: 一応高校でやるんですね
一様分布に従う変数がある一点にたまたま重なる確率はゼロなのでそういう事象は無視する(期待値計算には影響しないし)、みたいな議論は大学の確率統計じゃないとやらなそうですが
328：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/16(土) 18:06:12 ID:/bwgyz6c: ヒントオナシャス！
329：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:45:34 ID:iZ0hhfPs: >>321のヒントです
まず基本的な大前提として、こういう確率論の問題では確率０の事象（点がたまたま重なる）は無視して考えましょう
コインの裏表が50％っていったときに、じゃあコインが立ったらどうなるのかみたいな話をしたらキリがありませんからね

そもそもなぜ期待値が2π/Nにならないかですが、N個作成されたうちから無作為に円弧を取ってくれば確かに2π/Nなのですが、ここでは「予め指定された一点を含む」という条件がついてきます
ある一点を含む確率は長い円弧の方が短い円弧よりも高いので、答えは必然的に2π/Nより大きな値になります

具体的解法ですが、これは２通りの解き方があります
１つ目の解法はひらめき重視なのでヒントは出しにくいのですが、「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/(N-1)」という事実に注目、とでも言っておきます
２つ目の解法は数学的に厳密だけど力ずくで、大学レベルの確率論の知識が前提です
それぞれの点の弧度法による位置θ1,...,θNは(0,2π)上の一様分布に従うので、点(1,0)を含む円弧の長さをθ1,...,θNの関数として表現し、期待値を計算しましょう
330：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:49:45 ID:iZ0hhfPs: すみません、また記述ガバです
「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/N」が正しいですね
331：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 15:01:23 ID:GKJAH7rg: （複素平面上でe^iθとかするほうが楽なんだろうという想像はできそうなんですが数2Bまでしかやって）ないです。
(1,0)に近い3点を定めてどちらの円弧に(1,0)をふくむかとか考えると余計共役複素数とか出てきそう
332：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/28(木) 17:17:11 ID:ti.atY9A: 単位円を(1,0)から始まり終わる数直線にして
N+1個の点を打って、(1,0)からの距離の絶対値が一番小さい点P_N+1を一つ取り除けば必ず題意を満たすN個の点が打たれた単位円ができる
ところで、点P_N+1から伸びる円弧の長さの期待値は(2π/N+1)×2=4π/N+1であるから、これが求める期待値なんかな
確信がないわ、言うのやめとくわ
333：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/01(日) 22:19:57 ID:MK8LQDVA: 問題思いついたのでそろそろ次の問題出したい…
答え教えて下さい！おなしゃす！
334：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/01(日) 22:44:14 ID:VVc.A92E: >>332が正解です、レス見落としてて申し訳ない
解法１
円は対称なので、N+1個の点を打った時に最初に打った点を(1,0)と見なせば、「最初に打った点を含む２つの円弧の期待値」を求める問題に帰着でき、答えは4π/(N+1)
解法２
>>329のように(θ1,...,θN)を定義すると、点(1,0)を含む円弧の長さはmin{θ1,...,θN}+2π-max{θ1,...,θN}と示される。累積分布関数Fに従うN個の独立な確率変数の最大値の累積分布はF^Nであることを利用して、期待値を計算すると（計算は省略）、やはり答えは4π/(N+1)
335：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/03(火) 23:09:10 ID:LL1eGhwQ: 問題を出します
11…11のように1がk個並ぶ数があります(1≦k≦8101919)
この形の整数のうち少なくとも1つは8101919の倍数であることを示してください
336：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 00:58:06 ID:8ttxOOZ6: >>335
全ての桁が1な8101919個の整数の中に8101919の倍数が無いと仮定する
それらを8101919で割った余りは1以上8101918以下であるから多くても8101918種類、よって余りが同じとなる数が最低2つある
その二数の差は（全ての桁が1の数）×（10の何乗か）で表され、8101919の倍数である
10は8101919と互いに素だから（全ての桁が1の数）が8101919の倍数でなければならないがこれは仮定に矛盾する
337：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 03:03:01 ID:yiKx5FB6: 数2Bをやったことのあるホモなら、整数a,b,c,d(a≠0,d≠0)を係数に持つ三次方程式
ax^3+bx^2+cx+d=0
を因数定理で解こうとするとき、
x=(dの約数)/(aの約数)…①
を代入することによって解こうとしたことがあるはずです。
ところで、上記のxに関する三次方程式は、①で表されない有理数解を持ちうるでしょうか？
持っているなら、それはどんなものでしょうか？
338：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 20:43:49 ID:yiKx5FB6: >>337を出す間に、π<√10を示せという問題が出せたら面白いなと思いましたが
ちょっと調べたら具体的な数値を使わずに初等的に示すならバーゼル問題使わないといけないみたいでびっくりしました（それでも難しい）
339：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 22:38:36 ID:/2I3EGhs: >>336 早すぎィ！
この問題はJJMOからの改題です
鳩の巣原理(ディリクレの箱入れ原理)を使った問題は珍しいので出題してみました
名前が可愛くてすき
340：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/15(日) 14:59:15 ID:wo9.uUsU: >>337に答えが来ないので
aとdの最大公約数をr（≠0）とする
するとaとdは0でない整数A,Dを使うとa=rA,d=rBと表される
AとBは互いに素なので、d/a=D/Aである
与式に有理数p/q（p,qは0でなく互いに素な整数）を代入すると
a(p/q)^3+b(p/q)^2+c(p/q)=-d
左辺をpでくくって両辺にq^3を掛けると
p(ap^2+bpq+cq^2)=-dq^3
pとqは互いに素であるからpとq^3も互いに素であるので、pはdの約数である…①
同様にa(p/q)^3について
q(dq^2+cpq+bp^2)=-ap^3
と表すこともできるので、qとp^3が互いに素より、qはaの約数である
よって
p/qは(dの約数)/(aの約数)であり、これは冒頭の議論により一般性を失わない

これはxが何次式でも成り立つ証明ですが、もしかしたら3次式ならではの証明があったかもしれません
341：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/15(日) 15:36:22 ID:wo9.uUsU: ちなみに
√10>π
を
∞
Σ1/n^2=π/6
n=1
を使って証明させる問題は調べたら出てきたやつなんでオリジナルではないのですが、すごかったです（小学生並みの感想）
当然数3は使います
342：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/19(木) 21:15:14 ID:X.fR66a2: 数2Bな範囲で問題出したいです
ホモの高校生はウマ娘や競馬が流行っていても手を出せないので、あの気分をもう一度味わってみたかったんです
競馬を題材にした問題はまだ出せそうですね

10頭で行われる競馬のレースが存在し、10頭それぞれに対応する券が販売されている
券に対応する馬がレースに勝利すると、正の実数×購入枚数が購入者に支払われる
このとき、Aさんがすべての馬の券を1枚ずつ購入したとき、かならず損をする（購入代金以上の金銭を得ることがない）ための必要十分条件を求めよ
ただし、Aさんが券を1枚だけ買ったときは得をする（購入代金以上の金銭を得る）場合が必ず存在するとする
343：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/11(土) 01:49:22 ID:FWZcnyTw: 東大で三角関数の加法定理の証明が出題されたり>>337の問題があったり、点と直線の距離の証明の問題もあったりしますが
ほかに数2Bまでの有名な事実で証明を出題されると難しい問題ってあるんですかね？
344：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/12(日) 08:37:15 ID:09H1N0QQ: >>342
i番目の馬が勝った時の単勝馬券の払戻額をb_i、馬券1枚の購入費用をcとおくと、１枚づつすべて購入したとき必ず（確率１で）損をするのは、すべてのi=1,...,10についてb_i<10cのとき。
…と条件を記述できる思うんですが、これじゃ単純に定義しただけですかね？条件を変形するともっと直観的に意味のある条件になるんですかね？
上の条件は競馬用語だと「全ての馬が単勝10倍未満」と解釈できると思いますが
345：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/12(日) 09:30:54 ID:mr5qlOBE: >>344
条件によりレースに勝利する馬は1頭以上存在しますが
逆に条件に「必ず1頭の馬だけが勝利する」とは書かれていないので、一位同着の馬が複数存在することを考えなければいけません
たとえば1≦i<j≦10のとき、iとjに割り当てられた馬が勝利するなら、払戻金はc(b_i+b_j)となり、これは>>344の条件だけだと10cを超えてしまうかもしれません
すべての馬が同着で勝利するときの払戻金は
10
Σb_k<10c
k=1
（ただしb_i>c（iは1≦i≦10の整数）となるようなものが1つ以上必ず存在する）
となればよさそうです
これは各馬の勝率によらないので用意していた答えでした

大昔に存在した引っ掛けなぞなぞを出題する小○生みたいでした。
注意深く考えたつもりですがこれでも不十分かもしれません
たぶんこれを競馬っぽく書く方法はないんじゃないですかね…（実際の競馬は同着になった場合の単勝払い戻しは単純な足し算にはならない）
346：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 01:50:28 ID:pDR/b/Mk: YouTubeであまり再生されてないけど面白い問題を見たので、その動画を見てないホモは考えてみてください
中学生のホモでもわかるようになっています

任意の三角形ABCについて下の図のように定める
https://i.imgur.com/9P4zwsM.jpg（垂線「の足」を書き忘れてます）
このとき
△ADPと△AFPが合同なので
DP=FP…①
AD=AF…②
△PBEと△PCEも合同なので
BP=PC…③
①、③、∠BDP=∠CFP=90°より△BDPと△CFPも合同であるから
DB=FC…④
②、④より
AD+DB=AF＋FC
よってAB＝ACとなり、すべての三角形は二等辺三角形であることが示された

このすべての三角形が二等辺三角形であるという明らかに誤っているのにもっともらしい証明のどこが間違っているかを示してください
347：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 18:50:37 ID:WGFGq6s2: 「△BDPと△CFPも合同」の部分ですね。
①、③から合同を示すなら角BPDと角CPFが等しくなきゃいけない。
348：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 20:59:23 ID:1tdGLz7E: 例えばAB>ACだとAの二等分線は辺BCの中点よりC寄りを通るはずで、交点Pは三角形ABCの外部にくるはず
Pが三角形の内部にある前提で証明を進めているのが間違いですかね？
349：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/21(火) 21:33:36 ID:pDR/b/Mk: >>347
2つの辺が同じ長さの直角三角形は三平方の定理より合同っすね…

>>348
かなり近いのですが、一般的に言えるのかという部分と
外にあるとどう証明に不備が生じるのかが問題っすね

やっぱりペイントで図を書いたのでガバガバさが太いと思います
350：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/06/22(水) 00:18:42 ID:RpCw.bpI: >>349 ああ恥ずかしい、やだこんな恥ずかしい･･･(347記入者)
FとDが片方BCより上、片方BCより下になることを示せば良さそうですね。
351：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/07/02(土) 15:42:49 ID:lRuVWHt.: いまさらながら答えなのですが、
角の二等分線の定理からBCはAB:BCに分けられ、この点とAを結ぶ直線はBCの中点の上を通ることはありえないので（中点を通るのなら二等辺三角形）
Pは三角形の外になる
ここから両辺に垂線を降ろすと片方の足はかならずAB,ACどちらかの延長線上にあるので
AD+DB=AB,AF+FC=ACはどちらか片方しか成り立たず、ABの外にDがあるようならAD-DB=ABとなる（両方成立するなら二等辺三角形）
よって、AD+DB=AF+FCまではどんな三角形でも正しいけれど、最後のよってAB=ACだけが正しくない

でした。図というものはたいがい適当に書くものですが、それにトリックがあるという場合もあるということですね
352：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/08/01(月) 07:52:26 ID:dFWmPzfI: NaNじぇい大学入試問題作れそうですねこれ
353：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/09/25(日) 16:15:27 ID:gi.rEGjY: >>314について四角形OAPBの個数を調べる議論がちょっと楽しそうだったので、
(3)Pを中心とする円Cがx^2+y^2=1と接するとき、円Cが通過する領域の面積
とかほかに類題あるかなって考えてたんですけど
そもそも>>317がよくわからなくて四角形OAPBの対角線って常に直交してるんですかね？
354：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 04:11:13 ID:Lc4HL3SY: 多項式
x^4+6x^2+2
が実数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能である場合は因数分解せよ。

京大の院試の過去問解説を聞いていたらここが通過点だったのですが、これだけなら数IIBの範囲でできるなと思ったので初出題です。
このスレにある証明をアンカーで引用すれば楽になる部分もあるので、年末年始に暇なホモや追い込みたい受験生のホモも頑張ってみてください
355：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 15:47:01 ID:oeW3I4Ns: 無理矢理平方完成して、
(与式)
=(x^2+3)^2-7
=(x^2+3+√7)(x^2+3-√7)

なんですかね？これ以上いけるのかとかは分からないです
356：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 16:24:43 ID:MVmSVZpY: 久々にスレ上がってますね
やりますよーやるやる
357：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 17:27:30 ID:dJXcAdqs: x^2≧0だから(x-a)(x^3+bx^2+cx+d)の形には分解できない
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)の形に分解できると仮定すると係数比較して ①a+c=0 ②b+d+ac=6 ③ad+bc=0 ④bd=2が成立
①③よりa(d-b)=0だがa=c=0は不適、b=dも④が成立せず不適
よって実数係数では因数分解できない　でいいんでしかね？
358：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/12/31(土) 19:13:13 ID:Lc4HL3SY: あ、これ

多項式x^4-6x^2+6が
(1)有理数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能ならば因数分解せよ。
(2)実数係数の範囲で因数分解できるかどうかを示せ。可能ならば因数分解せよ。

のほうがよかったですね…
どちらにせよ>>355と>>357はどちらも正解です。（>>355の議論はもちろん不十分ですが）
途中式にあった多項式をそのまんま引っ張ってきてはいけない（戒め）
359：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/02(月) 01:11:40 ID:f.IFIn4A: 調べたらアイゼンシュタイン多項式の既約の証明って数2Bレベルでできるのでそれこそ京大くんが入試で出したことあるらしいですね
んだよこのクソ捨て問（ﾍﾟｼｯ
360：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 20:17:15 ID:jc3hrWCE: あー年始だから2023にちなんだ問題を作りたかったけど何も思いつかない
√2023m を有理数にする最小の整数mは？とかくらいしか
361：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 21:53:14 ID:AGkZ1ibI: 17^2*7なのはいかにも悪用できそうっすね
ただ9^2*10=810でもここのホモがなかなか問題を思いつくのが難しいんで毎年そういうのを考えている大学入試作る人は大変だなと思いました

(1)小さいものから順に正の約数をならべたとき、2023が5番目にくる自然数のうち最小のものをもとめよ
(2)小さいものから順に正の約数をならべたとき、2023が6番目にくる自然数をすべてもとめよ
362：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/03(火) 23:48:50 ID:jc3hrWCE: (1)なんですが
2023=7*17*17を約数に持つということは
1、7、17、7*17、17*17が約数にあるはずなので2023が絶対5番目に来れない…来れなくない？
間違っていたらごめんなさい…
363：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:02:32 ID:lMXJpVws: >>362
(1)は解なしですね。
勝手な改題ですけど (1)を2023が6番目 (2)を2023が7番目かつ、2023以上の素数を約数に含まないの条件が良い気がしてます
364：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:38:05 ID:j/kiwFC6: >>363
題意その通りというか、それどころか
(1)7番目で最小(2)8番目で最小
でした。申し訳ナス！
365：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 00:51:10 ID:j/kiwFC6: ちゃんと記述して再出題です。

(1)正の約数を小さいものから順に並べたとき、2023が7番目になる自然数nで最小のnを求めよ
(2)正の約数を小さいものから順に並べたとき、2023が8番目になり、かつn<4*10^6である自然数nをすべて求めよ
366：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 01:20:55 ID:lMXJpVws: >>365
(1)最小のn=2023*p (pは素数) となるのでP=7,17,それ以外で場合分け
P=7と仮定すると2023以下の約数は3*3-1=8→不適
p=17と仮定すると2023以下の約数は4*2-2=6→不適
p≠7,17のとき、2023/7 (=289)より大きい最小の素数293がpとして適する
最小のn=2023*293=592739
367：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:10:15 ID:lMXJpVws: >>365
p,qを素数かつp≦qとし、n=2023*pまたはn=2023*p*qを満たすp,qを考える
このときn<4*10^6よりそれぞれp<2000、p*q<2000を満たす。

n=2023*pのとき
p=7は適する
p=17は不適
p≠7,17を考えると、
2023/17 (=119)<p<2023/7 (=289)より、p=127~283の素数31個

n=2023*p*qのとき
p*q<2000よりq<45となり、p,q,7p,7q,17p,17qも2023未満の約数
このときp,qいずれかが7,17以外だとこれらの最低3つは2023の約数でなくなるので不適
(p,q)=(7,7)→適する
(p,q)=(7,17)→適する
(p,q)=(17,17)→不適

以上より求めるnは2023に7,49,119,127~283の素数31個のいずれかをかけたもの
368：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:20:15 ID:lMXJpVws: >>367
n=2023*p*q*rの場合を忘れてた
(p,q,r)=(7,7,7)(7,7,17)(7,17,17)も適するので
nに2023にこのpqrをかけた3数を追加
369：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:53:42 ID:j/kiwFC6: >>366-367
49だけは
1,7,17,7^2,7*17,7^3,17^2,7^2*17,2023
となってしまうのて適しませんが、そこをのぞけばすべて正解です！
というか問題を考えたときにそこ(7と7*17)ばかりパズル的に考えていて、7p(pは119<p<289をみたす素数)の存在を失念してました…nを合成数にしておけばよかった

2023はほかに常用対数とかもありえそうっすね
370：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 02:57:06 ID:j/kiwFC6: >>368
nが7^3を含むと上より適さないので、不正解です…
2023^2は2000^2よりデカいっすね
長時間お付き合いいただき感謝しかないです
371：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/04(水) 11:35:40 ID:lMXJpVws: >>369-371
あっそっかぁ49*17と7*17*17=2023を忘れてるし俺の解答ガバガバじゃねぇかよ
解答は2023＊(7or7*17or p (pは119<p<289をみたす素数))ですね
素数表とセットで普通に入試に出題されそうな問題で面白かったゾ～
372：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/11(水) 10:44:26 ID:7OA/ZL5.: 国土地理院くんがなんか出してたので置いておきます
https://twitter.com/gsi_chiriin/status/1612648038501343232
373：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/11(水) 21:30:06 ID:cm2uFaxU: 放物線って、「数をその二乗に従って処理する」と「ある点とある線からの距離が等しい」の
どちらの性質から先に生まれたんでしょうかね？
上の問題見てふと思いました
374：名前なんか必要ねぇんだよ！：2023/01/15(日) 00:17:10 ID:kuvmgwew: 放物線って言うくらいだから物を放り投げたときの軌道が始まりで、そこから自然に出てくるのは2次関数じゃない？知らんけど