東大の授業で奮闘するスレ - 1113833563

232：あしぺた：2006/03/13(月) 19:31:14: うお(笑)大数の証明すげえ(笑)
233： ◆B0TNinNEko：2006/03/13(月) 19:31:55: その解法はいくらなんでも自分で作るのは無理ですね･･･。
一応京大スレの住人なので、実際に受験した人から聞きました。
ちなみに俺は前期で京大通ってます
234：あしぺた：2006/03/13(月) 19:51:43: >>233
合格おめでとうございます！！
ご入学ですか！いやあ！

もしかして数学科？
235： ◆B0TNinNEko：2006/03/13(月) 20:09:34: >>234
ありがとうございます。
自分に才能があるとは思えなかったんで、理学部は断念しました
236：green：2006/03/13(月) 20:32:57: ◆B0TNinNEko 氏おめ！
237：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/13(月) 21:40:52: 任意の三角形ABCを考え、内接円の半径をr、外接円の半径をRとする。
∠A=Aと書くことにして、Aの対辺の長さをaと書くことにする。
このとき、r/R≦1/2を示せばよい。
c=r/tan(A/2)+r/tan(B/2)なので、
正弦定理より、
2R={r/tan(A/2)+r/tan(B/2)}/sinC
これを整理すると、
r/R=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
X=A/2,Y=B/2,Z=C/2とおいて、
X+Y+Z=pi/2,0＜A,B,C＜pi/2
のもと、4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)の最大値を求める。
4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=2{cos(X-Y)-cos(X+Y)}sinZ
=2{cos(X-Y)sinZ-sin^2(Z)}
≦2{sinZ-sin^2(Z)}
≦2{-(sinZ-1/2)^2+1/4}
≦1/2 //

大数の証明は思いつかないだろうけど、順当に考えていけばこんな感じかな。
後期の問題としては標準ぐらいじゃない？
sinみっつかけたやつの最大値とか一回はやったことあるだろうし。

>>235
京大生ｷﾀｺﾚ。工学部ですか？
238：あしぺた：2006/03/13(月) 22:54:31: 別解

(a+b+c)r=2S
2r≦Rを示すには
4S≦R(a+b+c)
を示せばよい
A,B,Cがそれぞれ辺の中点になるような三角形を考えると
これはすぐに分かる
■

※目が悪い上に携帯からの書き込みなので毎度丁寧さを欠いておりすみません
239：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/13(月) 23:19:46: >>238
なるほど！こう考えると大数の解法も頑張ったら思いつけそう。
240： ◆B0TNinNEko：2006/03/14(火) 00:18:12: >>237
工学部情報学科です
こんな思いつかなかったorz

俺が取った解法は
まず外接円無視して、三角形と内接円を考える
X=-a+b+c Y=a-b+c Z=a+b-c 2s=a+b+c
面積公式(内接円使った奴とヘロンの公式)より
sr=√s(s-a)(s-b)(s-c)
(a+b+c)/r=2√((A+B+C)^3/ABC)
ここから(A+B+C)^3の3次の項同士と２次の項同士で相加相乗
途中略して(a+b+c)/r≧6√3(等号成立は正三角形のとき)
以下略

これか
内接円の問題面白そうだし考えてみた
内接円の半径をr、外接円の半径をR、三角形の辺の長さをa,b,c、三角形の面積をSとすると
S=(a+b+c)r/2=(absinC)/2
正弦使ってRr(sinA+sinB+sinC)=2R^2sinAsinBsinC
以下略
241： ◆B0TNinNEko：2006/03/14(火) 00:21:52: 余計なコピペは気にしないでorz
242：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/14(火) 14:38:40: >>240
＞正弦使ってRr(sinA+sinB+sinC)=2R^2sinAsinBsinC
ここからだと変形が思いつきにくそう。
そんなに難しくなく感じたのはたまたまc=r/tan(A/2)+r/tan(B/2)から攻めたのが良かっただけか。

同じく京大工です。情報じゃないけど。よろしく。
243： ◆B0TNinNEko：2006/03/14(火) 22:42:41: >>242
完璧に俺の追求不足でした

よろしく＞おなじ
新入生じゃないなら、授業とかのことちょっと教えてほしいかも
244：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/15(水) 00:17:02: みんなやるねー
さらに別解(もちろん非オリジナル)
内心I,外心O、内接円の半径r、外接円の半径RとするとR^2-2Rr=OI^2(*)≧0∴R≧r/2
(*)は誰か偉い人の名前がついた定理だった気がするけど忘れた
245：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/15(水) 00:55:26: >>243
4月から3回生です。僕がお役に立てそうなことならなんでもどぞー。

>>244
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/euler.htm
これか。Eulerってなんでもできるのな。
246：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/03/24(金) 02:28:00: >>たまさん
数学、物理、情報系の講義の中でこれはとっとけというようなのがあったら教えてください
(単位が取りやすいという点でなく、勉強するという点で)
247：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/24(金) 03:41:27: >>246
ある程度授業ごとの特徴を述べる方向でいきます。
まず工学部配当の微積と線形の授業は先生によってかなり違って、
工学部向けに生温くやろうと思ってる先生とかだと、前期のテストが
「y=x^3+3x+2を微分せよ。」とか「概形をかけ。」ぐらいのレベル
だったりするらしいので注意。登録はクラス指定の授業にしないといけないけど、
様子見てぬるかったら理学部の授業に潜るのもありだと思う。
言えることは一回生のうちは微積と線形をこれでもかってぐらいしっかりやっとけ
ってことです。自分の理解度を過信してると僕みたいに後で後悔します。

次に、数理解析研究所でやってる授業は時間があったら受けてみるべし。
こじんまりしてて(・∀・)イイです。いろいろ面白い話が聞けるし。
授業のレベルも全学共通の授業案内に載ってる数理研の講義は
1回生でも余裕でわかるようにしてくれてるので心配ないです。
248：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/24(金) 03:42:56: あと、前期の理学部がやってる数学の講義で1回生から取れそうなのは
「集合と位相」(2回生向け)ぐらいだと思うけど、この授業はひたすら早い。
僕は1回目の授業だけ受けたけど、早すぎたので諦めました。
集合と位相はこの研究所でゆっくりやったらいいのでは？

残りは、数論基礎は取っても取らなくてもご自由に。
情報なら数値計算系の授業は取っとくと面白いかも。
きっと今年もいろいろと悪名高い磯先生がどっかでやると思うけど、
あの人は喋りと授業はうまいから、一回はお目にかかっとくと楽しいｗ
249：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/24(金) 03:52:45: 物理は僕が今までで取ったのは物理学基礎論A、力学続論、振動波動論、熱力学、統計物理学
ぐらいなんだけど、どれも先生がそんなに良くなかったから、
とりあえず同じ授業でも先生で選べとしか言えない。
どっかであしぺたさんが言ってたみたいに物理は数学で詰まるので、
あんまり早いうちから背伸びしてとらなくていいと思う。
前期のうちは物理学基礎論Aをまじめに受けましょう。
そういや友達が武末先生の授業が面白いっていってたな。
前期の半ばぐらいに1回見に行ったけど確かに面白そうだった。
物理はこれぐらいで勘弁ｗ
250：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/03/24(金) 22:29:48: >>たまさん
ありがとうございます
シラバス配られたら検討してみたいと思います
251：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/04/07(金) 01:01:29: 数理解析研究所での講義って現代の数学と数理解析だけかな？
埋めてみてから気づいたけど、A群は楽勝科目取らないとすげえきつそうorz
252：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/07(金) 01:48:53: 今日8号館で全学共通の授業案内もらってきました。
現代の数学と数理解析
グラフネットワーク
対称性の数理
あたりが数理研かな。
グラフネットワークは1年前受けたけど、藤重先生は穏やかな感じのいい先生です。
かなりゆっくりやるから大して進まないけど、1限目だしのんびり話し聞くつもりで受けてました。
それが原因なのか人少なすぎで、最後のほうは3,4人しかきてなかったｗｗ
現代の数学と数理解析と対称性の数理受けてみたいけどバイトの都合で行けそうにないorz
253：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/04/07(金) 08:49:36: >>252
対称性の数理って全く同じ名前の授業がある・・・
先生も同じなのかな？こっちは神保さんという方なんですが
254：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/07(金) 09:49:44: >>253
こっちは柏原正樹教授です。さすがに先生は同じではないですね。
もしかすると、東大と京大で連絡取りながら授業の進め方考えたりしてるのかも。
255：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/04/09(日) 23:11:52: 合宿から帰ってきました
単位にならない科目とるのに抵抗がちょっとあるのと、授業が地味にかぶってるのがorz
256：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/09(日) 23:48:24: >>255
抵抗あるなら1年のときから無理して単位にならない科目とらなくていいと思う。
僕も1年の前期は単位になる科目しか取ってなかった。
後期は背伸びして函数論とか代数学入門とか受けにいったけど、
あんま身につかずにだいぶ忘れちゃってるし。
まあ、面白かったからいいんだけど。
2年で時間取れるようにとりあえず1年のうちは単位そろえることに専念してもいいのでは？

あと、A群のおすすめはグループダイナミックス。
杉万教授の喋りのうまさは異常。
257：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/04/10(月) 01:02:27: >>256
>ぐるーぷだいなみっくす
明日暇なんでいってみます！
ただ、A群は試験の難易度高いと死ねるから。。。

>背伸び
クラス指定の2回生向けとかとって単位に余裕もたせときます
来年、それで友達と一緒に受ける授業0だと悲惨だけどw
情報学科朝鮮語選択者1/91おｒｚ
258：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/04/10(月) 20:33:38: 確率論基礎とってみましたが、眠かったり諸々の用事があったりで出席できず
教科書とか分かりますか？

>ぐるーぷだいなみっくす
はじめの20分は面白かったけど、具体例みたいなのに入ってからちょっと。。。。
259：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/11(火) 02:59:13: >>258
＞ぐるーぷだいなみっくす
僕は好きだったんだけど合わなかったか・・・スマソ。

今日の確率論基礎は岩塚さんだから、教科書は去年と一緒なら小針?宏の「確率・統計入門」
しかし、岩塚さんの授業はあんまり面白くないと思う。はじめの一回だけでて後はふけってたから
断定はできないけど、しゃべり方とか授業の進め方とかが僕には受け付けなかった。
単位はかなり取りやすいけど。
260：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/11(火) 03:01:05: 小針あき宏の"あき"の字が出なかった。
261：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/04/11(火) 17:49:38: >>260
小針覗宏ね。
広中先生の序文が泣かせる本だねえ。
ぼくはまだ本文読んでないんだけど、
この本まさか測度論に基づく確率論じゃないよね。
262：あしぺた：2006/04/11(火) 17:54:07: へえ、そんな本あるんだ。
定番本？

最近は数学から遠ざかってます。
263：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/04/11(火) 18:12:01: 「覗」じゃないな。どんな字だっけ。
264：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/12(水) 02:58:12: >>261
あの序文はかなりぐっときますね。すばらしいです。

＞この本まさか測度論に基づく確率論じゃないよね。
まさかｗ確率論っていうよりは統計寄りの本ですね。
測度論に踏み込まない本の中では定番本なのかな。
はじめ半分ぐらいがポアソン分布、2項分布、正規分布などの基本的な分布の解説で、
残り半分が推定・検定とそれに伴うΧ^2分布とかt分布とかの話って感じです。

あきは「目見」←これを横幅1/2にした字です。
265： ◆ZFABCDEYl.：2006/04/12(水) 05:16:14: 手書き入力で探しました。
「ケン」って読むらしいです。→　睍
266：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/06/06(火) 01:36:46: お久しぶりです
忙しかったり忙しくなかったりでこっちの存在忘れてました

>>259
朝がつらいのと、話は分かりやすいけど具体例多すぎて萎えるのとで、俺もサボることにしました
確率・統計入門必死こいてまとめてます

なんか院から理学部行きそうな流れなんで勉強がもっと忙しくorz
267：あ：2006/07/25(火) 02:21:22: rot(rotA)=▽(divA)-▽A

の証明を説明してください。
268：Je n'ai pas de nom!：2006/07/25(火) 12:30:34: >>267

X×(Y×Z)=(X･Z)Y-(X･Y)Z から判る。
269：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 00:30:29: 今から新学期開始までに、特に何か準備しておくべきことってありますか？
10日くらいじゃ付け焼刃にしかならないでしょうけど。
複素関数論が授業についていけるか不安・・・。
270： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/23(土) 00:35:12: >>269
しけぷり
271：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/23(土) 02:20:15: >>269
新学期開始は十月一日？
なんで複素函数論だけ不安なんだろう。
272：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/09/23(土) 09:41:54: 前期に複素関数論で躓きましたorz
できればお勧め書籍化なんか教えてもらえるとありがたいです
273：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 11:45:31: >>271
10月6日です。
集合位相は輪読会の知識があるし、代数と幾何は線形代数の復習らしいんで、
残る関数論が準備不足かなぁ、と。図書館から教科書を借りたりしてるんですが、
妙に分厚くて、どの程度重点をおいてやってくべきかよくわからんのです

>>272
えっ一年夏から関数論をやってんの！？
274：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 11:49:04: ちなみに、
>>270
数学科にシケプリを作る確固たる共同戦線は張られないと思われる
275： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/23(土) 16:16:33: >>274
そんな！
それじゃみんな留年しちゃうじゃん・・。
276：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/23(土) 17:18:07: >>273
セルフコンテインドに近い授業をしてくれると思われます。
だから輪読会スレでの君の様子だったらついていけないって
ことは考えにくいです。

ただし一回の授業で進む量は結構なものになると思われます。
僕の頃の僕の大学で、一回の授業でとったノートは
A４で十から十五ページでした。17ページくらいにまでなったこともあります。

授業で教科書は使いますか？使うのならその教科書の、
使わないなら、
複素関数論　　　岸正倫，藤本担孝
学術図書出版 1980
あたりの最初のほうを読んでいけばどうですか？
277：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/23(土) 17:23:45: >>274
あ、差し支えなければ、二年冬学期のカリキュラムを教えてもらえませんか？

>>275
数学科にシケタイ制度は、そぐわないとぼくも思いますよ。
278：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 18:38:57: >>275
数学科は一人で勝手にやってるっていうイメージがある。
みんなで助け合うイベントとして最適の実験がないからねぇ(俺としては大歓迎だが)。

>>276
10～15ページ！？ぐはっ・・・
板書写すのが遅い俺は泣きそうです

教科書はシラバス上使わないってなってますけど、担当教官の、過去の講義ページを見たら
教科書はL.AhlforsのComplex Analysisの原文or和訳　ってなってたのでこれだと思います。
読もうにも地元の図書館においてません・・・買うならやっぱ原文でしょうか。
279：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 18:48:44: >>277
・代数と幾何
線型空間、線型写像、固有多項式、Jordan標準形、双対空間、双線型形式
群と作用、商空間、テンソル積と外積

・複素解析学I
複素微分可能性とコーシー・リーマン方程式
正則写像の等角性
コーシーの積分定理と積分公式
正則関数のベキ級数展開とローラン展開
孤立特異点の分類
シュワルツの補題
最大値の原理
偏角の原理とルーシェの定理
留数定理
調和関数の基本性質：共役調和関数の積分表示
鏡像の原理
ポアッソン積分による調和関数の表示

・集合と位相
たぶん「集合･位相入門」1冊分の内容と思われます。

それぞれ講義２コマ+演習1コマ。1回につき3時間の授業ってことを考えると重そう・・・。
280：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/23(土) 19:50:22: >>278
＞地元の図書館においてません
大学の図書館にはあるでしょう。

原書はいま買うと二万円以上するみたいですね。アマゾンによると。
そんなにしたかなあ。ぼくはペーパーバックのんを二千円くらいで
買った記憶があるんですけど。

原文のんは買うより、図書館のんを少しずつコピーしていけばいいんじゃない？
281：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 20:42:24: >>280
2万円！？ぜってー買わないですね、それじゃ。
ただ3500円で買えるという噂が(ソースが2chというのが痛い)
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1060287216/49
とりあえず大学行ったときどんな本か見てみます。
282：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/23(土) 21:01:02: 日本語のページで見たら、ペーパーバック版は品切れ中。
英語のページでは、
http://www.amazon.com/Complex-Analysis-L-Ahlfors/dp/0070850089
たしかに4000円くらいで買えるみたいですね。
283：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/23(土) 22:44:53: うーむ。奥の部屋みてみたけどアールフォースみつからん。
284： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/23(土) 23:02:47: なんというハイレベル。数学の真髄を行っている。

>>277-278
その雰囲気って恐ろしくありませんか？僕の所はみんなで仲良く渡ろうね
という雰囲気なのでとても楽です♪学部に行っても試験は暗記型中心の
ものが多いだろうし、みんなでがやがや実習するのも好きじゃ。
数学科はなんかギスギスしてるところなんですか？それとも台地氏の学年だけが
たまたまそういう雰囲気なんですか？
285：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/23(土) 23:06:54: >>284
僕のころの僕の大学の数学教室は、ギスギスなんかしてませんでしたよ。
結構仲良くって、1つのサークルみたいな感じでした。
勉強は各自勝手にやるっていうだけで。
院生の頃には自主セミナーとかそんなのはやってましたが。
286： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/23(土) 23:17:44: >>285
ほおほお。その雰囲気ならとても（･∀･）ｲｲ!ですね。。
ただ数学を専攻するって大変なんだなと感じました。
台地氏は数年後にはすごい数学者になってるかも！
何か新しい定理を発見するとか。僕は平々凡々な感じですな。

あ・そういえば数学科でも専攻は細かく分かれるんですよね。
台地氏は何を専攻するんだろう。
287：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/24(日) 00:19:03: >>283
俺に売ってください！・・・冗談です

>>284
別に仲が悪いっていうわけではないと思うよ。先生の行っている通り。
その辺どんな人がいるのか楽しみです。

>>286
専攻か。3年生の内に決められるか不安。どの分野も面白そうだと感じるし、
裏を返せば、どの分野も興味に差が出てくるほど深く理解してはいない、ということになるし。
エリート目指すならアクチュアリー・・・！？
288：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/24(日) 00:25:57: >>287
みつかったら、スキャンしてあげようかとおもったんですけど。
289：にん猫 ◆B0TNinNEko：2006/09/24(日) 02:41:02: >>273
2回の専門受けたら複素関数論に関する話が出ててたんでなんとなく手をつけてみたんです
290： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/24(日) 02:57:52: >>287
やっぱ元大数読者の専攻は初等幾何が似合う(￣ー￣)。

そういえば数学かどうか分からないけどで聞きたいことがあるんです。
前，ウイルスには正20面体をしたものがあるって話なんですけど，
正20面体と球では同じ体積とした場合，どちらがより緊密になれますか？
たとえば，
100×100×100の立方体に体積1の球面を詰める場合と，
体積1の正20面体を詰める場合とではどちらがよりたくさん
詰めれるか？っていう疑問です。
正20面体のほうが「接着面積」は数多く取れることは分かるけど
詰めこめる量はどっちが多いのかなと思ったんです。
きっと生物的に有理な理由があるために，各ウイルスは各々の構造をしているんだろうけど
数学的なアプローチも可能なんじゃないかなあと考えたわけです。
291： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/24(日) 02:59:00: ごめんなさい！！このスレは東大授業スレでした。

>>290の回答をしてくださる場合，
雑談スレにてお願いします。
292：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/07(土) 04:56:59: Ahlforsをゲットォ！！生協で1冊売ってた。ペーパーバック版、3500円。
これで英語で数学の本を読む勉強ができる！
・・・と思ったらいきなり雨でぐっしょり濡れた。鬱
293：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/07(土) 11:42:26: >>292
お、よかたね。

初日の感想はどう？
294：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 00:35:50: 初回だし、まだまだ余裕ですね。これからぶっ飛ばし始めると思われます。
ただし演習は頑張らないと。さっそく↓に躓きました

Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/nの和を求め、一様収束するxの範囲と極限関数の連続性を調べよ。

級数の和って等比級数や有名な展開式以外はそう簡単に求まらないと思って手も足も出ず。
295：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 00:52:04: って解析入門p381に載ってるし！折角だから考えてみよう。
296：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 18:50:22: 定理4.2　
以下が成立するとき、Σ[n=0,∞]p_na_n(p_n∈R,a_n∈C)は収束
(i)(p_n)は単調減少
(ii)s_n=Σ[k=0,n]a_kとする。(s_n)は有界複素数列
(iii)いずれか一方でよい。
(a)p_n→0(n→∞)
(b)s_n→0(n→∞)

定理4.3
4.2の函数項バージョン。
p_n(x)：A→R、a_n(x)：A→C、s_n(x)=Σ[k=0,n]p_k(x)a_k(x)：A→C
以下が成立するとき、Σ[n=0,∞]p_n(x)a_n(x)はA上一様収束
(i)∀x∈A；(p_n(x))は単調減少数列
(ii)s_n(x)は一様有界∀n∈N；||s_n||=sup_[x∈A]s_n(x)<M
(iii)いずれか一方でよい。
(a)||p_n||→0(n→∞)つまり(p_n(x))は0にA上一様収束
(b)||s_n||→0(n→∞)かつ||p_0||は有限
297：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 19:01:08: ミス。
両方とも、(ii)は単調減少「非負」数列。
(iii)(b)はlims_n<+∞。つまりただ収束すれば十分。
298：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/08(日) 19:02:25: >>297
？複素数列なのに減少？非負？
299：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 19:50:59: 定理4.2、4.3とも、証明の方針は、∀n；||s_n||<Cとして
S(n,m)=p_na_n+p_(n+1)a_(n+1)+・・・+p_ma_m
=p_n(s_n-s_(n-1))+p_(n+1)(s_(n+1)-s_n)+・・・+p_m(s_m-s_(m-1))
=s_n(p_n-p_(n+1))+・・・+s_(m-1)(p_(m-1)-p_m)-s(n-1)p_n+s_mp_m
より||S(n,m)||≦C||(p_n-p_(n+1))+・・・+(p_(m-1)-p_m)+p_n+p_m||=2C||p_n||からコーシー列であることを示す。

定理4.4(アーベルの定理)
A=[0,1],a_n(x)をz^n(z∈C、|z|<1)として冪級数f(x)=Σ[n=0,∞]p_n(x)*z^nを考える。
(p_n(x))は単調減少非負数列とする。
そのときΣ[n=0,∞]p_n(x)*z^nはA上一様収束し、lim[z→1-0]f(x)=Σ[n=0,∞]p_n(x)。
つまり、冪級数を経由して函数項の級数の和が求まる。

証明の方針は、一様収束する連続函数列の極限函数がまた連続となることを使う。
300：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 19:59:49: >>298
(i)の(p_n)の方でした・・。

一様ノルムの定義もミスった。||f||_A=sup_[x∈A]|f(x)|。ただの上限じゃ正値性がダメになる
301：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/08(日) 20:04:14: >>300
第一回の函数論の授業でそんなことまでやったの？
あ、第一回は導入っぽい話だったのかな。
302：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:08:59: >>301
演習に>>294が出てました。解析入門のやり方をみると、こう解くしかなさそうで、
アーベルの定理とかは1年生のときにやっておいてくださいということだと思われます。

うちのクラスじゃやってなかったんだけどなぁ・・・
303：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:18:05: >>299
アーベルの定理、全然違った。
a_n(x)=a_n(定数函数)、p_n(x)=x^n(x∈[0,1]=A)としてf(x)=Σ[n=0,∞]a_n*x^n。
整級数f(z)=Σ[n=0,∞]a_nz^n(z∈C)の係数が作る級数Σ[n=0,∞]a_nが収束するとき、
(i)Σ[n=0,∞]a_nx^nはA上一様収束
(ii)lim[x→1-0]f(x)=��[n=0,∞]a_n

複素平面全体で級数が定義されていて、それが[0,1]上に制限された、と考えるんですね。
304：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:42:02: さて、Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/n(x∈[0,2π])を求めたいわけだが。
どーもsinはオイラーの公式でe^iθで考えるとうまくいくらしい。
そこでΣ[n=1,∞](-1)^(n-1)*e^(inx)/n(x∈R)を考える。
アーベルの定理を使うんで、一度冪級数の形にする。
��[n=1,∞](-1)^(n-1)e^(inx)/n*z^n=��[n=1,∞](-1)^(n-1)/n*{e^(ix)z}^n・・・(i)

さて、ここで有名な展開式Log(1+z)=��[n=1,∞](-1)^(n-1)/n*z^n(|z|<1、等比級数の公式を項別積分すると出る)
を使えば、(i)=Log(1+ze^(ix))
z∈[0,1)とし、アーベルの定理の条件を満たしていることを祈ってｗ、適用。
��[n=1,∞](-1)^(n-1)*e^(inx)/n=lim[z→1-0]Log(1+ze^(ix))=Log(1+e^ix)=Log(1+cosx+isinx)
=log|1+cosx+isinx|+iarg(1+cosx+isinx)(argは-π<arg<π)

虚部を考えて、��[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/n=arg(1+cosx+isinx)=Arctan(sinx)/(1+cosx)
=Arctan(tanx/2)=x/2

[0,2π)で連続、一様収束する範囲もこの範囲じゃないのかなぁ・・・
305：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:48:50: とりあえず答えが出たけど、細部がかなり残ってる・・・
アーベルの定理の条件を確認してないし、
微妙にlim(a+b)=lima+limb使ってるし、
xの一様収束する範囲をちゃんと出してないし(>>294と>>303で、意味が違うものに同じxを使っていて紛らわしい)
今度もう少し考えて見ます。

しかし90分の演習で本当にここまで要求するのか？はっきりいってムリポ。
306：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/18(水) 23:44:48: >>294
解答を見ると、項別積分して剰余項をがんばって評価する方針でもできるみたいです。
そんな器用なこと出来ないよー

集合と位相の演習のとき。
数学オリンピック代表の3人が前に呼ばれて、
「あなたたちは相当できるようだから普通に問題を解くのではなく他の学生の発表に突っ込んであげてください」
みたいなこと言われてた。

うーん。覚悟はしてたけど、やっぱ自分とはレベルの桁が違う奴がいるってのはやっぱ悔しいなー。
数年で追いつけるとはとても思えないけど、いつかは同じレベルで数学を議論できるようになりたいものです。
307： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/19(木) 00:05:33: >>306
追いついてるような希ガス
308： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/19(木) 00:15:46: 台地氏ならやってくれると信じております!!
309：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/19(木) 00:19:01: >>306
そういう人がいるってのは、非常にいい環境ですね。
310：藁にもスガル：2006/11/06(月) 04:26:27: どうかこの問題を解いてください!!!　
(C([a,b]),d_∞)は完備な距離空間であることを示せ。
(C([a,b]),d_2)は完備でない距離空間であることを示せ。
どうかお願いします。
311：Je n'ai pas de nom!：2006/11/06(月) 10:37:39: >>310

距離空間であることは示せせるのか？

「完備である」ことの定義は知っているのか？
312：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 22:21:07: >>310
C([a,b])とかd2とかd∞って何でしょうか？
313：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/11/06(月) 22:32:27: >>312
C([a,b])={f∈R^[a,b] | fは連続関数},
f∈C([a,b]),g∈C([a,b])に対してd_∞(f,g)=sup[x∈[a,b]]|f(x)-g(x)|,d_2(f,g)=√∫[a,b](f(x)-g(x))^2dx
のつもりなんだろうなあ。
314：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 23:41:06: >>313
なるほど。完備、ってのは任意のコーシー列が収束することでしたっけ。
実数の完備性に帰着させるのかな。
315：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/23(木) 14:09:11: 「主小行列式」って本によって意味するものが違うんですか？

佐武『線型代数学』p163によると、
n次実正方行列A=(a_ij)_(1≦i,j≦n)∈M_nn(R)のk次の主小行列式ってのは、
数列(1,2,・・・,n)の部分列(i_1,i_2,・・・,i_k)を取ったとき(つまり1≦i_1<i_2<・・・<i_k≦n)、
det(a_(i_p)(j_q))_(1≦p,q≦k)のこと
を指していると思われます。

一方杉浦『解析入門I』p156によると、
Aのk次主小行列式はdet(a_ij)_(1≦i,j≦k)のこと
を指していると思われます。

つまり、右下の行と列を取り去ったやつだけを主小行列式というのか、
右下に限らず真ん中の行と列をくり貫いた行列式もそう呼ぶのか、どっちだろうなということです。
マイナーな用語だから文献ごとに違うのかな。
316：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/02/09(金) 23:11:17: おひさです。
教養の試験・・・といってもフランス語だけなんですが、終りましたー
全体の3割を「仏訳せよ」という問題が占めるというかなりﾌｧｯｷﾝなことをしてくれたせいで、
成績見るのが怖いことこの上ありません。

3月は数学科の試験なんですが、複素解析が一番やりづらいです。
集合・位相や線形代数にくらべて、幹となる定理(例：コーシーの定理)から分岐している定理(例：最大値原理)
の数がかなり多く、世界観の把握に苦労してます。問題解きながら慣れていきたいですね。

折角時間があるので次学期に向けた予習もしておきたい(というかしなきゃならん)のですが、
どの点を重視していくのがいいですかね。何かご意見あればよろです。
ちなみに3年夏の科目は、
　複素解析続き
　ルベーグ積分
　多様体
　代数学
　数値計算
317：green：2007/02/10(土) 00:51:04: 乙です
318：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/02/10(土) 02:11:22: >>316
僕もそうでした。関数論が一番つかみ辛かった。
サボリには向かん分野なのかも。
319：Je n'ai pas de nom!：2007/02/21(水) 22:19:04: ＞臺地さん
その中で予備知識が必要なのは、
多様体と（勿論複素解析の続き）ですね。
京大では多様体の講義で、
位相空間論での商空間の概念が理解できていないために、
最も基本的な多様体の例である射影空間さえ分からない
というひとがそれなりにいました。
その辺の理解はしっかりしておいたほうがよいかも。

代数や積分論は基本的な集合の言葉さえ分かれば、
予備知識としては十分でしょう。
って何か偉そうになりましたが、
ぼくも大して理解しているわけではないので・・・。
320：Je n'ai pas de nom!：2007/02/21(水) 22:24:19: そういえば、なぜか松坂和夫の本には商空間がないですよね。
位相空間の直和もありません。距離付け可能性などの
general topologyプロパーに近い内容に踏み込むよりは、
こういう基本的な構成法を載せたほうがよいと思うのですが、
どうしてかな。函数解析で必須のベールの定理とかもないですし。
321：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/02/22(木) 02:53:11: >>320
そうですね。なんでかな。
河田三村には、商空間も位相空間の直和もBaireの定理も、
分離公理と距離付け問題も載ってるんですけどね。
松坂は集合・位相の本、河田三村は位相・測度の本だからかな。
322：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/02/23(金) 00:17:40: >>319-320
レスどうもです。
なるほどー多様体はしっかり予習しておく必要がありそうですね。頑張ります。

ぱらっと本を見た限りだと、ルベーグ積分もきつそうですね。
「積分」といいつつ、50pくらいにならないとインテグラルが出てこないｗ
集合のところで息切れしないようこれも予習したいです。
323：Je n'ai pas de nom!：2007/02/25(日) 13:05:48: >>321
河田三村は色々載ってて面白いですよね。
チコノフから選択公理の証明とかも貴重です。
>>322
測度論はある意味忍耐勝負かも。
ルベーグ測度の構成とかが激しくめんどくて発狂しますｗ
結び目の院生によると、
「あんなもん理解してなくても幾何はできる」とかｗ
324：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 00:50:39: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%8D%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%A5
世界のトップレベルの数学者はこんな方ばかりですか？
野球界で言う松坂はこんな感じなのかな。
325：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/03/13(火) 01:14:00: >>324
リンク先、開ける前からドリーニュのことやねやろーなーって思った。
326：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 21:28:24: >>325
うは。相当有名な人みたいですね。
327：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:00:31: ルベーグ積分とかの予習をしようと思います。やる箇所はランダム。
テキスト：ルベーグ積分と函数解析(朝倉書店)
R上の一次元ルベーグ測度のところ。
m*：ルベーグ外測度
L：ルベーグ可測集合全体｛E⊂R｜∀A∈2^R；m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩E^c)｝
m：ルベーグ測度

Lem2.9
E1∈L、E2∈LならばE1∪E2∈L
∵
示すことはA⊂Rに対し、m*((A∩E1)∪(A∩E2))+m*(A∩E1^c∩E2^c)≦m*(A)。
(A∩E1)∪(A∩E2)=(A∩E1)∪(A∩E2∩E1^c)だから、外測度の劣加法性より、
左辺≦m*(A∩E1)+m*(A∩E1^c∩E2)+m*(A∩E1^c∩E2^c)
=m*(A∩E1)+m*(A∩E1^c)(∵E2∈L)=m*(A)(∵E1∈L)
よって示された。
328：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:18:13: Lem2.10
E1,・・・,En∈Lは互いに素　
A⊂Rに対し、m*(A∩{∪[j=1,n]Ej})=Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)
特にA=Rとして、m({∪Ej})=Σm(Ej)(Lem2.9より∪Ej∈Lに注意)

証明
帰納法。n=1は明らか。n-1まで正しいとする：m*(A∩{∪[j=1,n-1]Ej})=Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)。
En∈Lより、m*(A∩∪[j=1,n]Ej)=m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En)+m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En^c)
(∪[j=1,n]Ej)∩En=Enで、(∪[j=1,n]Ej)∩En^c=∪[j=1,n-1]Ejより右辺=m*(A∩En)+Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)
なので示された。
329：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:51:38: Lem2.11
E1,E2,・・・∈Lなら、∪[n=1,∞]En∈Lである。
E1,E2,・・・が互いに素なら、m(∪En)=Σ[n=1,∞]m(En)

証明
E1∩E2≠φだとしても、E2'=E2＼E1=E2∩E1^c=(E2^c∪E1)^c(これは可測)とかおいて互いに素
なものに切り離せるので、初めからE1,・・・は互いに素としてよい。

∀A∈2^ Rをとり、m*(A∩∪En)+m*(A∩∩En^c)≦m*(A)を示す。
A∩∪En=∪(A∩En)で、劣加法性、単調性より、
左辺≦Σ[j=1,∞]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,∞]Ej^c)=sup[n≧1]Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)
これがm*(A)以下であることを示せばよい。

ここで、Lem2.10より、∀n≧1に対し、
Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A∩∪[j=1,n]Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A)なのでOK。
330：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 23:31:37: 外測度
区間I(端点はa<b)に対し、その長さ|I|:=b-aで定義。
Def2.1
A⊂Rに対し、Aを覆う加算個の開区間の、長さの総和の下限をm*(A)と書きルベーグ外測度という。
つまり、P_A=｛(In)_n∈N｜Inは開区間でA⊂∪[n=1,∞]In｝、Q_A=｛Σ[n=1,∞]|In|｜(In)∈P_A｝(+∞も許可)
とおいたとき、m*(A)=inf_[(In)∈P_A]Q_Aである。

Th'm2.2.3)劣加法性
A1,・・・⊂Rに対し、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)

証明の方針
∪[j=1,∞]Ajを覆う区間列で、その長さの総和がΣ[j=1,∞]m*(Aj)くらいになる奴を作れればおｋ。
各jに対し、Aj⊂∪[n=1,∞]Injとなる区間Injたちをとってくる。ただしΣ[n=1,∞]|Inj|≦m*(Aj)+(小)となるようにする。
すると∪Aj⊂∪[n,j≧1]Injであって、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[n,j≧1]|Inj|≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)+Σ[j=1,∞](小)となる。

余計なΣ(小)の項は、m*(∪[j=1,∞]Aj)やΣ[j=1,∞]m*(Aj)とは独立に、いくらでも小さくできるようにしなくてはいけない。
任意のε>0をとり、Σ[j=1,∞](小)=εとなるようにするには・・・(小)=ε/2^jとしておけばいい。