東大の授業で奮闘するスレ

304：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:42:02: さて、Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/n(x∈[0,2π])を求めたいわけだが。
どーもsinはオイラーの公式でe^iθで考えるとうまくいくらしい。
そこでΣ[n=1,∞](-1)^(n-1)*e^(inx)/n(x∈R)を考える。
アーベルの定理を使うんで、一度冪級数の形にする。
��[n=1,∞](-1)^(n-1)e^(inx)/n*z^n=��[n=1,∞](-1)^(n-1)/n*{e^(ix)z}^n・・・(i)

さて、ここで有名な展開式Log(1+z)=��[n=1,∞](-1)^(n-1)/n*z^n(|z|<1、等比級数の公式を項別積分すると出る)
を使えば、(i)=Log(1+ze^(ix))
z∈[0,1)とし、アーベルの定理の条件を満たしていることを祈ってｗ、適用。
��[n=1,∞](-1)^(n-1)*e^(inx)/n=lim[z→1-0]Log(1+ze^(ix))=Log(1+e^ix)=Log(1+cosx+isinx)
=log|1+cosx+isinx|+iarg(1+cosx+isinx)(argは-π<arg<π)

虚部を考えて、��[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/n=arg(1+cosx+isinx)=Arctan(sinx)/(1+cosx)
=Arctan(tanx/2)=x/2

[0,2π)で連続、一様収束する範囲もこの範囲じゃないのかなぁ・・・

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板