東大の授業で奮闘するスレ

237：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/13(月) 21:40:52: 任意の三角形ABCを考え、内接円の半径をr、外接円の半径をRとする。
∠A=Aと書くことにして、Aの対辺の長さをaと書くことにする。
このとき、r/R≦1/2を示せばよい。
c=r/tan(A/2)+r/tan(B/2)なので、
正弦定理より、
2R={r/tan(A/2)+r/tan(B/2)}/sinC
これを整理すると、
r/R=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
X=A/2,Y=B/2,Z=C/2とおいて、
X+Y+Z=pi/2,0＜A,B,C＜pi/2
のもと、4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)の最大値を求める。
4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=2{cos(X-Y)-cos(X+Y)}sinZ
=2{cos(X-Y)sinZ-sin^2(Z)}
≦2{sinZ-sin^2(Z)}
≦2{-(sinZ-1/2)^2+1/4}
≦1/2 //

大数の証明は思いつかないだろうけど、順当に考えていけばこんな感じかな。
後期の問題としては標準ぐらいじゃない？
sinみっつかけたやつの最大値とか一回はやったことあるだろうし。

>>235
京大生ｷﾀｺﾚ。工学部ですか？

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