東大の授業で奮闘するスレ

299：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 19:50:59: 定理4.2、4.3とも、証明の方針は、∀n；||s_n||<Cとして
S(n,m)=p_na_n+p_(n+1)a_(n+1)+・・・+p_ma_m
=p_n(s_n-s_(n-1))+p_(n+1)(s_(n+1)-s_n)+・・・+p_m(s_m-s_(m-1))
=s_n(p_n-p_(n+1))+・・・+s_(m-1)(p_(m-1)-p_m)-s(n-1)p_n+s_mp_m
より||S(n,m)||≦C||(p_n-p_(n+1))+・・・+(p_(m-1)-p_m)+p_n+p_m||=2C||p_n||からコーシー列であることを示す。

定理4.4(アーベルの定理)
A=[0,1],a_n(x)をz^n(z∈C、|z|<1)として冪級数f(x)=Σ[n=0,∞]p_n(x)*z^nを考える。
(p_n(x))は単調減少非負数列とする。
そのときΣ[n=0,∞]p_n(x)*z^nはA上一様収束し、lim[z→1-0]f(x)=Σ[n=0,∞]p_n(x)。
つまり、冪級数を経由して函数項の級数の和が求まる。

証明の方針は、一様収束する連続函数列の極限函数がまた連続となることを使う。

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