東大の授業で奮闘するスレ - 1113833563

1：臺地 </b><font color=#FF0000>（qpPuO9q2）</font><b>：2005/04/18(月) 23:12:43: どうも。板の住人の一人、臺地です。この板に住み着きはや一年。
とりあえずいろいろな方に支えられて、一年前の目標、東大合格を果たしました。めでたし。
・・・とはいかなかったんですね。大学通い始めたはいいものの、なんだか様子がつかめません。
というか授業がわからないところが多々あります。じゃあ自分で復習すればいいじゃんということ
になるんですけど、自分じゃ復習しないんですね。最低ですね。

まあそういうわけで、この板のスレで授業日記でも書いてみようか
と思い立ちました。授業でわからなかったところを取りあげて、納得できるよう
考えてみたいと思います。科目はランダムです。たぶん語学も数学も物理もごっちゃになって
脈絡がなくなるでしょう。しかも説明は適当になると思います。他の人が読んでも
「は！？何これ」的状態になるかもしれません。あとすぐ挫折するかもしれません。
でも大目に見てやってください。

ごちゃごちゃ書いてきましたけど、何が言いたかったのかというと、
「スレ一つ私物化するけどあんまりいじめないでね♪」ってことですｗ
それでは、よろしくお願いします。(一応sageます)
303：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:18:05: >>299
アーベルの定理、全然違った。
a_n(x)=a_n(定数函数)、p_n(x)=x^n(x∈[0,1]=A)としてf(x)=Σ[n=0,∞]a_n*x^n。
整級数f(z)=Σ[n=0,∞]a_nz^n(z∈C)の係数が作る級数Σ[n=0,∞]a_nが収束するとき、
(i)Σ[n=0,∞]a_nx^nはA上一様収束
(ii)lim[x→1-0]f(x)=��[n=0,∞]a_n

複素平面全体で級数が定義されていて、それが[0,1]上に制限された、と考えるんですね。
304：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:42:02: さて、Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/n(x∈[0,2π])を求めたいわけだが。
どーもsinはオイラーの公式でe^iθで考えるとうまくいくらしい。
そこでΣ[n=1,∞](-1)^(n-1)*e^(inx)/n(x∈R)を考える。
アーベルの定理を使うんで、一度冪級数の形にする。
��[n=1,∞](-1)^(n-1)e^(inx)/n*z^n=��[n=1,∞](-1)^(n-1)/n*{e^(ix)z}^n・・・(i)

さて、ここで有名な展開式Log(1+z)=��[n=1,∞](-1)^(n-1)/n*z^n(|z|<1、等比級数の公式を項別積分すると出る)
を使えば、(i)=Log(1+ze^(ix))
z∈[0,1)とし、アーベルの定理の条件を満たしていることを祈ってｗ、適用。
��[n=1,∞](-1)^(n-1)*e^(inx)/n=lim[z→1-0]Log(1+ze^(ix))=Log(1+e^ix)=Log(1+cosx+isinx)
=log|1+cosx+isinx|+iarg(1+cosx+isinx)(argは-π<arg<π)

虚部を考えて、��[n=1,∞](-1)^(n-1)*{sin(nx)}/n=arg(1+cosx+isinx)=Arctan(sinx)/(1+cosx)
=Arctan(tanx/2)=x/2

[0,2π)で連続、一様収束する範囲もこの範囲じゃないのかなぁ・・・
305：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/08(日) 20:48:50: とりあえず答えが出たけど、細部がかなり残ってる・・・
アーベルの定理の条件を確認してないし、
微妙にlim(a+b)=lima+limb使ってるし、
xの一様収束する範囲をちゃんと出してないし(>>294と>>303で、意味が違うものに同じxを使っていて紛らわしい)
今度もう少し考えて見ます。

しかし90分の演習で本当にここまで要求するのか？はっきりいってムリポ。
306：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/18(水) 23:44:48: >>294
解答を見ると、項別積分して剰余項をがんばって評価する方針でもできるみたいです。
そんな器用なこと出来ないよー

集合と位相の演習のとき。
数学オリンピック代表の3人が前に呼ばれて、
「あなたたちは相当できるようだから普通に問題を解くのではなく他の学生の発表に突っ込んであげてください」
みたいなこと言われてた。

うーん。覚悟はしてたけど、やっぱ自分とはレベルの桁が違う奴がいるってのはやっぱ悔しいなー。
数年で追いつけるとはとても思えないけど、いつかは同じレベルで数学を議論できるようになりたいものです。
307： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/19(木) 00:05:33: >>306
追いついてるような希ガス
308： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/19(木) 00:15:46: 台地氏ならやってくれると信じております!!
309：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/19(木) 00:19:01: >>306
そういう人がいるってのは、非常にいい環境ですね。
310：藁にもスガル：2006/11/06(月) 04:26:27: どうかこの問題を解いてください!!!　
(C([a,b]),d_∞)は完備な距離空間であることを示せ。
(C([a,b]),d_2)は完備でない距離空間であることを示せ。
どうかお願いします。
311：Je n'ai pas de nom!：2006/11/06(月) 10:37:39: >>310

距離空間であることは示せせるのか？

「完備である」ことの定義は知っているのか？
312：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 22:21:07: >>310
C([a,b])とかd2とかd∞って何でしょうか？
313：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/11/06(月) 22:32:27: >>312
C([a,b])={f∈R^[a,b] | fは連続関数},
f∈C([a,b]),g∈C([a,b])に対してd_∞(f,g)=sup[x∈[a,b]]|f(x)-g(x)|,d_2(f,g)=√∫[a,b](f(x)-g(x))^2dx
のつもりなんだろうなあ。
314：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 23:41:06: >>313
なるほど。完備、ってのは任意のコーシー列が収束することでしたっけ。
実数の完備性に帰着させるのかな。
315：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/23(木) 14:09:11: 「主小行列式」って本によって意味するものが違うんですか？

佐武『線型代数学』p163によると、
n次実正方行列A=(a_ij)_(1≦i,j≦n)∈M_nn(R)のk次の主小行列式ってのは、
数列(1,2,・・・,n)の部分列(i_1,i_2,・・・,i_k)を取ったとき(つまり1≦i_1<i_2<・・・<i_k≦n)、
det(a_(i_p)(j_q))_(1≦p,q≦k)のこと
を指していると思われます。

一方杉浦『解析入門I』p156によると、
Aのk次主小行列式はdet(a_ij)_(1≦i,j≦k)のこと
を指していると思われます。

つまり、右下の行と列を取り去ったやつだけを主小行列式というのか、
右下に限らず真ん中の行と列をくり貫いた行列式もそう呼ぶのか、どっちだろうなということです。
マイナーな用語だから文献ごとに違うのかな。
316：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/02/09(金) 23:11:17: おひさです。
教養の試験・・・といってもフランス語だけなんですが、終りましたー
全体の3割を「仏訳せよ」という問題が占めるというかなりﾌｧｯｷﾝなことをしてくれたせいで、
成績見るのが怖いことこの上ありません。

3月は数学科の試験なんですが、複素解析が一番やりづらいです。
集合・位相や線形代数にくらべて、幹となる定理(例：コーシーの定理)から分岐している定理(例：最大値原理)
の数がかなり多く、世界観の把握に苦労してます。問題解きながら慣れていきたいですね。

折角時間があるので次学期に向けた予習もしておきたい(というかしなきゃならん)のですが、
どの点を重視していくのがいいですかね。何かご意見あればよろです。
ちなみに3年夏の科目は、
　複素解析続き
　ルベーグ積分
　多様体
　代数学
　数値計算
317：green：2007/02/10(土) 00:51:04: 乙です
318：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/02/10(土) 02:11:22: >>316
僕もそうでした。関数論が一番つかみ辛かった。
サボリには向かん分野なのかも。
319：Je n'ai pas de nom!：2007/02/21(水) 22:19:04: ＞臺地さん
その中で予備知識が必要なのは、
多様体と（勿論複素解析の続き）ですね。
京大では多様体の講義で、
位相空間論での商空間の概念が理解できていないために、
最も基本的な多様体の例である射影空間さえ分からない
というひとがそれなりにいました。
その辺の理解はしっかりしておいたほうがよいかも。

代数や積分論は基本的な集合の言葉さえ分かれば、
予備知識としては十分でしょう。
って何か偉そうになりましたが、
ぼくも大して理解しているわけではないので・・・。
320：Je n'ai pas de nom!：2007/02/21(水) 22:24:19: そういえば、なぜか松坂和夫の本には商空間がないですよね。
位相空間の直和もありません。距離付け可能性などの
general topologyプロパーに近い内容に踏み込むよりは、
こういう基本的な構成法を載せたほうがよいと思うのですが、
どうしてかな。函数解析で必須のベールの定理とかもないですし。
321：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/02/22(木) 02:53:11: >>320
そうですね。なんでかな。
河田三村には、商空間も位相空間の直和もBaireの定理も、
分離公理と距離付け問題も載ってるんですけどね。
松坂は集合・位相の本、河田三村は位相・測度の本だからかな。
322：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/02/23(金) 00:17:40: >>319-320
レスどうもです。
なるほどー多様体はしっかり予習しておく必要がありそうですね。頑張ります。

ぱらっと本を見た限りだと、ルベーグ積分もきつそうですね。
「積分」といいつつ、50pくらいにならないとインテグラルが出てこないｗ
集合のところで息切れしないようこれも予習したいです。
323：Je n'ai pas de nom!：2007/02/25(日) 13:05:48: >>321
河田三村は色々載ってて面白いですよね。
チコノフから選択公理の証明とかも貴重です。
>>322
測度論はある意味忍耐勝負かも。
ルベーグ測度の構成とかが激しくめんどくて発狂しますｗ
結び目の院生によると、
「あんなもん理解してなくても幾何はできる」とかｗ
324：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 00:50:39: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%8D%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%A5
世界のトップレベルの数学者はこんな方ばかりですか？
野球界で言う松坂はこんな感じなのかな。
325：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/03/13(火) 01:14:00: >>324
リンク先、開ける前からドリーニュのことやねやろーなーって思った。
326：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 21:28:24: >>325
うは。相当有名な人みたいですね。
327：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:00:31: ルベーグ積分とかの予習をしようと思います。やる箇所はランダム。
テキスト：ルベーグ積分と函数解析(朝倉書店)
R上の一次元ルベーグ測度のところ。
m*：ルベーグ外測度
L：ルベーグ可測集合全体｛E⊂R｜∀A∈2^R；m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩E^c)｝
m：ルベーグ測度

Lem2.9
E1∈L、E2∈LならばE1∪E2∈L
∵
示すことはA⊂Rに対し、m*((A∩E1)∪(A∩E2))+m*(A∩E1^c∩E2^c)≦m*(A)。
(A∩E1)∪(A∩E2)=(A∩E1)∪(A∩E2∩E1^c)だから、外測度の劣加法性より、
左辺≦m*(A∩E1)+m*(A∩E1^c∩E2)+m*(A∩E1^c∩E2^c)
=m*(A∩E1)+m*(A∩E1^c)(∵E2∈L)=m*(A)(∵E1∈L)
よって示された。
328：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:18:13: Lem2.10
E1,・・・,En∈Lは互いに素　
A⊂Rに対し、m*(A∩{∪[j=1,n]Ej})=Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)
特にA=Rとして、m({∪Ej})=Σm(Ej)(Lem2.9より∪Ej∈Lに注意)

証明
帰納法。n=1は明らか。n-1まで正しいとする：m*(A∩{∪[j=1,n-1]Ej})=Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)。
En∈Lより、m*(A∩∪[j=1,n]Ej)=m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En)+m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En^c)
(∪[j=1,n]Ej)∩En=Enで、(∪[j=1,n]Ej)∩En^c=∪[j=1,n-1]Ejより右辺=m*(A∩En)+Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)
なので示された。
329：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:51:38: Lem2.11
E1,E2,・・・∈Lなら、∪[n=1,∞]En∈Lである。
E1,E2,・・・が互いに素なら、m(∪En)=Σ[n=1,∞]m(En)

証明
E1∩E2≠φだとしても、E2'=E2＼E1=E2∩E1^c=(E2^c∪E1)^c(これは可測)とかおいて互いに素
なものに切り離せるので、初めからE1,・・・は互いに素としてよい。

∀A∈2^ Rをとり、m*(A∩∪En)+m*(A∩∩En^c)≦m*(A)を示す。
A∩∪En=∪(A∩En)で、劣加法性、単調性より、
左辺≦Σ[j=1,∞]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,∞]Ej^c)=sup[n≧1]Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)
これがm*(A)以下であることを示せばよい。

ここで、Lem2.10より、∀n≧1に対し、
Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A∩∪[j=1,n]Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A)なのでOK。
330：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 23:31:37: 外測度
区間I(端点はa<b)に対し、その長さ|I|:=b-aで定義。
Def2.1
A⊂Rに対し、Aを覆う加算個の開区間の、長さの総和の下限をm*(A)と書きルベーグ外測度という。
つまり、P_A=｛(In)_n∈N｜Inは開区間でA⊂∪[n=1,∞]In｝、Q_A=｛Σ[n=1,∞]|In|｜(In)∈P_A｝(+∞も許可)
とおいたとき、m*(A)=inf_[(In)∈P_A]Q_Aである。

Th'm2.2.3)劣加法性
A1,・・・⊂Rに対し、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)

証明の方針
∪[j=1,∞]Ajを覆う区間列で、その長さの総和がΣ[j=1,∞]m*(Aj)くらいになる奴を作れればおｋ。
各jに対し、Aj⊂∪[n=1,∞]Injとなる区間Injたちをとってくる。ただしΣ[n=1,∞]|Inj|≦m*(Aj)+(小)となるようにする。
すると∪Aj⊂∪[n,j≧1]Injであって、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[n,j≧1]|Inj|≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)+Σ[j=1,∞](小)となる。

余計なΣ(小)の項は、m*(∪[j=1,∞]Aj)やΣ[j=1,∞]m*(Aj)とは独立に、いくらでも小さくできるようにしなくてはいけない。
任意のε>0をとり、Σ[j=1,∞](小)=εとなるようにするには・・・(小)=ε/2^jとしておけばいい。
332：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/05/02(水) 23:32:00: 授業が始まって1ヶ月・・・まずい・・・早くも落ちこぼれそうだ。

ルベーグ積分：演習問題が解けず、たまっていく
多様体：演習問題が難しい・・
複素解析：講義すら、聴いただけでは理解不能。復習すべきノートのページがたまっていく・・・
　　　　　　　演習問題は手も足も出ない問題ばかり。
代数：演習問題がたまってる。
数値計算：プログラミングが全然わからん。
統計：演習問題に取り組めていない。

全体的に、講義はまだいいのだが、演習問題についていけてない。
どの問題も難しく見えてびびってしまっている。
９スレ時代のような、粘り強く取り組む姿勢が欠けてきているのが一番の問題点。
333： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/03(木) 00:42:25: >>332
統計ってどこら辺まで？
分散分析まで？

勉強大変そうでつね・・。僕の場合，「勉強」らしい「勉強」というものは
だんだんなくなっていくから，ある意味ラクじゃよ。

しっかし，本当に数学科は大変なところじゃな・・。
でも台地氏は総代で卒業するじゃろうと期待しております。
僕の場合はブービー賞を狙ってます。
334：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/05/03(木) 23:01:18: >>333
統計は今のところ高校の復習+αって感じだね。
確率変数の独立とか、二項分布とか、母関数とかそんなとこ。
ルベーグ積分は未習なので、測度論を使った本格的な確率論は冬学期からです。
335： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/04(金) 00:05:52: >>334
僕の場合，『使い方』だけを覚えただけであります！
理論式のような見ちゃいけない所は見ておりませぬ。

でも台地氏，とても難しいものを学んでいて立派じゃ。
今の僕にとって数学の接点はカテキョだけ。
カテキョ女子はとても吸収性に富んでいるので，
僕はロリ江とあだ名をつけました。なぜか彼女は喜んでおります。
青チャートを中心にして，別に補うところはノートを作って教えています。
英語は構文把握能力は身についていることが分かりました。
あとは単語とイディオムの量と，返り読みをしない癖をつけさせる
ことだけで大丈夫そう。高２か高３で英検２級は取れると思います。
僕は高３のとき準１に墜ちたので，彼女も２級までじゃ！って感じです。
336： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/04(金) 00:13:28: >ルベーグ積分

図書館でこのタイトルがついた本を見たことがある！
（シリーズ本のなかの１冊だった）

演習問題っていうのは先生が作った問題なんですか？
それとも本の章末問題のような奴？
337：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/06(日) 05:47:14: >>332
講義、聴いただけで分かる人はまあいません。
復習をしっかりしましょう。
演習問題はできそうなのからやってくほかないですね。