数学質問スレ - 1078085758 - したらば掲示板

1：ｎ （oBOk1n/o）：2004/03/01(月) 05:15: ２ｃｈの本スレの移行の場所として主に問題を考えるスレッドです。
2：ｎ （oBOk1n/o）：2004/03/01(月) 05:17: すみません出すぎたマネをしたのならはっきり削除してください。
問題抱えているのですがテスト終わったら書き込みたいと思います
3：９＠どうやら管理人★：2004/03/01(月) 22:20: >>2
いえ、全然OKですよ。
どんどん活用していってください。
4：名無し研究員さん：2004/03/02(火) 16:10: lim[x→+0]x^x ってどうなるんでしょう？
y = x^x のグラフ描いた感じだと1あたりになりそうな気がするんですが。

って、こんな質問書いてOKですか？
5：Ενταξει＠携帯：2004/03/02(火) 18:44: x^x=e^(x･log x)
=e^(-log(1/x)/(1/x))
だからx→0+0とすると
x^x→1になりますね。
6：n （oBOk1n/o）：2004/03/02(火) 20:07: ちょっと気になってる問題その１
半径１の直円柱が二つあります。軸と軸の角がちょうど４５°になるように傾けます。
このとき重なる体積を求めなさい。
7：n （oBOk1n/o）：2004/03/02(火) 20:35: 以下自分の解答を書いてみます。
ｘｙ平面にちょうど軸がくるように（一つはｘ軸上、一つはｙ＝ｘ）おきます。
するとｘｙ平面において共通部分は一辺が２√２のひし形になります。

ここで円柱を切断したときあらわれる形は円か楕円であるがひし形の対角線を通る平面は軸と垂直には交わらないので
楕円ということになる。（対角線において二つの円柱は対称な位置関係にありかつ半径が同じであるから一つの円柱に対して折り返しが可能）
またひし形であるから対角線が直交する。
いま対角線上π１平面、π２平面上かつ上の共通部分を満たす集合を(u,ｚ),(u',ｚ)とすれば
（u^2/a^2）＋ｚ^2＝１かつ{(u')^2/b^2}＋ｚ^2＝１ただしa=２√２sin（１３５°/２）、ｂ＝２√２cos（１３５°/２）、
これをｚ＝ｔで切断すれば
このとき｜u｜=a√（１－ｔ＾２）、｜u’｜=ｂ√（１－ｔ＾２）よってｚ＝ｔで切断したひし形の一辺は
√｛｜u｜~2＋｜u’｜＾2｝＝√｛（a＾２＋ｂ＾２）（１－ｔ＾２）｝＝２√｛２（１－ｔ＾２）｝
よってひし形の面積Sは
S/2＝（１/２）（２√｛２（１－ｔ＾２）｝）＾２sin45°から
S＝４√２・（１－ｔ＾２）
微小体積はSΔｔなので
共通部分VはV＝２∫[1,0]４√２・（１－ｔ＾２）ｄｔ＝１６√２/３
8：n （oBOk1n/o）：2004/03/02(火) 20:39: 出展は本スレでこけこっこさんが塾で出されたらしいが解けなかったとおっしゃっていた問題です。
第一回東大模試の第６問（でしたっけ？）の円柱のところでこけこっこさんがそれとなく言ってました
9：９ （SpxcWT76）：2004/03/02(火) 21:32: >>7-8
貴殿、まじで中１っすか…
今から考えてみまつ。
10：n （oBOk1n/o）：2004/03/02(火) 22:13: 中一ですが俺より上の奴は結構います。
11：n （oBOk1n/o）：2004/03/02(火) 22:14: ↑校内で
12：阪理数<711>：2004/03/02(火) 23:17: >nさん
その問題ですが、合っていますよ。（私も同じ解き方ですがｗ）
13：n （oBOk1n/o）：2004/03/03(水) 05:17: よかった～ー。まだ実は問題があったりします。
今度持ってきまつ。
14：n （oBOk1n/o）：2004/03/05(金) 07:07: 代ゼミのHPあさってたら、ｆ（ｆ（・・ｆ（ｘ）））とかいう問題ありますよね。
あれについて聞きたかったのですが詳しくは帰ったら書きます。（兄やん今日帰るので聞けない。。死
15：名無し研究員さん：2004/03/05(金) 19:54: 0^0=1ってのは恒常的に成り立つと思ってもいいんですか？
16：阪理数<711>：2004/03/05(金) 20:06: おそらくこれは某算数・数学掲示板でご覧になった話題かと思われますが（違ったら申し訳ありません）
受け売りですが、0^0=1とは定義されていないようです。
ただlim[x→+0]x^x=1なだけであって・・・
17：名無し研究員さん：2004/03/06(土) 00:37: （東大97)
負でない整数k,l,m,nする。
0でないすべてのxについて
{(x+1)^k}/x^l - 1 = {(x+1)^m}/x^n
が成り立っているとき、k,l,m,nを求めよ。
という問題があって、
0^0≠1じゃなかったらx=-1のとき成り立たないなって思ったんです。
問題文には補足なかったし。。。
18：阪理数<711>：2004/03/06(土) 01:33: その問題は先生曰く「解答の最初に「0^0=1と定義する」と書かなければ厳密には正解にはならない」
といっていたと思います。
ん～、こういう議論は良いのですが、自分の知識・力の浅さ故、的確に答えれないのが歯痒い・・・
19：名無し研究員さん：2004/03/06(土) 03:08: a≠0ならa^0=1，0^a=0とするのが自然でしょう。
x^xをx=0で右連続にするには0^0=1としたいし、
0^xをx=0で連続にするには0^0=0としたい。
あちらを立てればこちらがたたずで、どうにも定義の使用のない話なので
>>17みたいな問題には「0^0=1と解釈して以下の議論を進める」
とでも書いておくと上に書いた事情をわかっているとアピールできるのじゃ
ないでしょうか。
20：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/06(土) 03:09: ↑また名前入れ忘れ
21：n （oBOk1n/o）：2004/03/06(土) 05:36: nを２以上の自然数とし、２ｎ個の点P_(1),P_(2),P_(3),・・・,P_(２ｎ)がこの順に同一円周上にあるとする。
これらの点のうちの２点を両端とする線分がｍ本あり、さらにｍ≧３のとき、次の条件（A）が満たされていると仮定する。
（A）これらの線分のうちのどの３本も（点P_(1),・・・,P_(２ｎ)のうちの任意の３点を頂点とするような）三角形を形づくることはない
異なる２点P_(i)とP_(j)を結ぶ線分があるときｘ_(i)(j)=ｘ_(j)(i)=１、そうでないときｘ_(i)(j)=ｘ_(j)(i)=０とし、
a_(i)=Σ[ｊ|２ｎ,１]ｘ_(i)(j),　ｂ（i）(j)=Σ[ｋ|２ｎ,１]ｘ_(i)(ｋ)＊ｘ_(j)(ｋ)（ただしｘ_(i)(i)＝０とする）
とおくと、Σ[i|２ｎ,１]a_(i)=？

この問題最初のつかみからわからないのですがどういうことでしょうか？
解答には線分はｍ本存在しある一本の線分に対し２つのｘ(i)(j)＝１となるのでΣ[i|２ｎ,１]a_(i)=２ｍ
「ある一本の線分に対し２つのｘ(i)(j)＝１となるので」この部分がよくわからんです。
22：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/06(土) 14:53: >>21
こういう質問じゃないのかな？もしかして。
一応ドゾー
ttp://sobchan.no-ip.com/cgi-bin/wc/source/unko20040306145109.pdf
23：９ （SpxcWT76）：2004/03/06(土) 17:34: >>21
それ確か、今年の慶應医学部の問題じゃないかな。
誘導付き（穴埋め？）だったと思ったけど…
24：９ （SpxcWT76）：2004/03/06(土) 17:37: たぶんこれ
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho04/keio/igaku/sugaku/images/mon4_1.gif
25：n （oBOk1n/o）：2004/03/06(土) 17:59: そうです。問題のリンクをコピペしただけだとなんだか失礼だと思ったので書きました。どこの問題か書いとくべきでした。
>>22　ありがとうございます。それを参考にもう一度考えてみたいと思います
>>24　はい。誘導部分の問題がわからへんかったので。。死

英語の塾に行かなあかんのでいってきます
26：n （oBOk1n/o）：2004/03/07(日) 18:42: 実はまだやってないでつ。。
もうちょっと落ち着いたらやりたいと思います。
27：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:44: >>26
あなた輪読会に参加する気はないですか？
28：n （oBOk1n/o）：2004/03/07(日) 18:57: 全然ついてってないですよ。とゆうか学校の課程を全部やってからのほうがいいかと思いまつ。
２年で２次関数やら三角関数やると学校の先生がいっていましたが、僕は一応微積までやってますが
その間のところは抜けありまつ。センター数学ぐらいの範囲なら全部網羅（満点とるとかは別に）してますが、平均値とか行列なんかはまだやってません
因みに２年では４STEPとかチャート数Ⅰ・Aとかやるらしいですが、あのあたり去年でやってしまったのですが試験には出るからやらなあかんし、でもこっちもやらなーー
29：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:59: >>28
無理強いはしませんが、
いまやってる部分の大半は30年前の高校一年生が
普通にやってたことですよ。
30：n （oBOk1n/o）：2004/03/07(日) 19:03: いまはとりあえず、自分の課題をこなして余裕が持てるようになったら参加というかまずROMして１から読むことになりますがやっていきたいと思いまつ。
31：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 19:12: それがいいですね。
それにしても凄いｗｗｗｗ
32：n （oBOk1n/o）：2004/03/07(日) 19:17: Nのトップ３は驚きっぱなしでつ。俺はまだまだ修行しなければ
33：こけこっこ：2004/03/08(月) 18:31: 会話ハイレベル杉(　ﾟдﾟ)ｶﾎﾟ-ｿ
若いって（･∀･）ｲｲ!と思うのであります。
最近疲れが抜けないので，もう「男の更年期」？って気がして・・(；´Д｀)。
34：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 19:31: >>33
スレ内に後輩ができて最年少じゃなくなったのね。
35：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 20:57: こけ氏ｷﾀ━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━!!!!!
何のスレを立てたいんだろう？
36：n （oBOk1n/o）：2004/03/09(火) 20:57: ちょっとしょーもない質問させてください
f(x)を（ｘ＾２＋１）、（ｘ＾２＋ｘ＋１）で割るとそれぞれ余りが（３ｘ＋２）、（２ｘ＋３）余ります。
これを満たすｆの最小次数である整式を求めよ。

ｇ１＝ｆ－（３ｘ＋２）、ｇ２＝ｆ－（２ｘ＋３）
とおけばｇ１は(ｘ－i)(x＋i)持ち、ｇ２は｛ｘ－(－１＋√３i)/２｝×｛ｘ－(－１－√３i)/２｝を解に持つ
これから答えにもっていきたいのですがいま思いつかないです。
37：n （oBOk1n/o）：2004/03/09(火) 21:33: 答えを出すだけなら
ｆ＝（ｘ＾２＋ｘ＋１）（ｘ＋１）＋２ｘ＋３
と出たのですがこれは余りが１次だからｆは２次以上だろう。だからそうして計算していくとこれに行き着いたのですが
上のやり方ではできひんかなーと
38：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 22:22: >>36
ｆ(ｘ)-(3ｘ+2)=(ｘ-i)(ｘ+i),
ｆ(ｘ)-(2ｘ+3)=(ｘ-ω)(ｘ-ω^2)
だからｆ(i)=3i+2, ｆ(-i)=-3i+2, ｆ(ω)=2ω+3, ｆ(ω^2)=2ω^2+3．
これら4つを満たす2次以下の整式が存在しないことを示した後,
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
とおいて各次数の値を決定すれば出来るんじゃないですか？

なお>>36の文章中で,
＞ｇ２は｛ｘ－(－１＋√３i)/２｝×｛ｘ－(－１－√３i)/２｝を解に持つ
とありますが
ｇ２は｛ｘ－(－１＋√３i)/２｝×｛ｘ－(－１－√３i)/２｝を
「解に持つ｣ではなく「因数として持つ｣です。
また、
(－１＋√３i)/２、(－１－√３i)/２もg２の「解｣ではありません。
「零点｣です。
39：こけこっこ：2004/03/09(火) 23:10: >>34
(￣ー￣)中年期でつ
>>36
因数定理は虚数のとき，使わないほうがいいのかも・・。
なぜかというと，求める多項式が実数係数であることを
前提としてしまっているかららしいです。

同じような解き方をしたことがあって，昔，数学の先生に注意をうけたこと
がありますたので・・。
40：名無し研究員さん：2004/03/10(水) 01:35: >>39
そんなわけない。複素数係数のn次式は複素数の範囲内で
（重解等を含めて）ちょうどn個の零点を持つことが保証されている。
41：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/10(水) 01:46: >>39
あなたの数学の先生が何を思ってそんなこと言ったのかは分かりませんが、
少なくとも入試で多項式が実数係数に限る前提なんてないですよ。
もしそうなら明記しなければならんでしょう。
たとえば次の問題を解いてみてください。2003年京都大学理系前期の問題です

問題

多項式(x^100+1)^100+(x^2+1)^100は多項式x^2+x+1で割り切れるか

>>40
いずれそのこと(代数学の基本定理)をテーマにしたスレッドを立てたいと個人的には思っております。
リウビユの定理をつかうはずなので関数論のスレにするか、抽象代数のスレを立てるかは思案のしどころですが。
42：n （oBOk1n/o）：2004/03/10(水) 06:02: そうかなるほど。ありがとうございます＞Ενταξει(☆4)さん
零点はグーグルで検索でもかけて調べまつ

>こけこっこさん　ありがとうございまつ。でもなんかいろいろ物言いがあるようでつ
43：こけこっこ：2004/03/10(水) 09:10: 「多項式が実数係数に限る前提なんてない」。
その通りでつ。だから，この場合，
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a，b，c，dは「複素数」)とおいて，
ｆ(i)=3i+2, ｆ(-i)=-3i+2, ｆ(ω)=2ω+3, ｆ(ω^2)=2ω^2+3 を満たす
a，b，c，dを決定していくと思うんですが，
これは具体的にどうやって行なうのでしょうか？
a=p+qi，b=r+si，(p，q，r，sは実数)・・・とおいていくのは大変すぎますし・・。

以前，僕はこの手の問題を解いたとき，a，b，c，dを勝手に実数だと見なして，
f(i)=3i+2，f(ω)=2ω+3 の式から，係数比較(実部と虚部)して
a，b，c，dの値を決定した答案を書いたら×にされたので，（今考えると当たり前・・）
そのときの教訓を教えてあげたかったのでつ。

いちおう無難な回答はこんな感じにしたほうがいいかもってことがいいたかったのです。

ｆ（ｘ）をｘ＾２＋ｘ＋１で割った商をg(x)とおくと
f(x)=(x^2+1)g(x)+{xg(x)+2x+3}．
xｇ(x)+2x+3 を x^2+1 で割ると，3x+2 になるので、ｇ（ｘ）は1次式以上であるから、
ｇ（ｘ）＝ax+b(a≠0)とおく。このとき、
xg(x)+2x+3=x(ax+b)+2x+3=a(x^2+1)+(b+2)x+(3-a)
であるから，b+2=3、3-a=2より、b=1,a=1
∴f(x)=(x^2+x+1)(x+1)+2x+3

誤解を与える表現ですみません
44：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/10(水) 09:39: >>43
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dで
ｆ(i)=3i+2, ｆ(-i)=-3i+2, ｆ(ω)=2ω+3, ｆ(ω^2)=2ω^2+3 を満たす
なら
-ai-b+ci+d=3i+2…(1),
ai-b-ci+d=-3i+2…(2),
a+bω^2+cω+d=2ω+3…(3),
a+bω+cω^2+d=2ω^2+3…(4).

(2)-(1)よりa-c=-3…(5)
(3)-(2)よりa(1-i)+b(ω^2+1)+c(ω+i)=2ω+3i+1…(6)
(4)-(3)よりb-c=-2…(7).

(5)よりa=c-3,(7)よりb=c-2なので(6)より
(c-3)(1-i)+(c-2)(ω^2+1)+c(ω+i)=2ω+3i+1.
これより
c=(2ω^2+2ω+6)/(ω^2+ω+2)=(2ω^2+2ω+2+4)/(ω^2+ω+1+1)=4/1=4.
よってa=c-3=4-3=1,b=c-2=4-2=2.
(1)よりd=3i+2+ai+b-ci=3i+2+i+2-4i=4.

したがってf(x)=x^3+2x^2+4x+4.

…大変かなあ。。
45：こけこっこ：2004/03/10(水) 21:24: >>44
神
ていうか，連立4次方程式だから，解けますよね・・。
勘違いすみません＿|￣|○
46：n （oBOk1n/o）：2004/03/11(木) 23:29: なんか寂しいので今日考えている問題おいときまつ。
任意の自然数ｎについて次の等式を証明せよ
（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）・・・（２ｎ）＝２＾ｎ・１・３・５・・・（２ｎ－１）
47：n （oBOk1n/o）：2004/03/11(木) 23:34: あと先日の問題こんな解釈した人がいるのですが
「整式P(ｘ)を４次式で割っときの商をQ(ｘ)余りをR(ｘ)とする。P(ｘ)を割ったときの余りと
R(ｘ)を割ったときの余りが一致するからR(x)が求める答え」
こんなんで答えでるのですか？こいつはどうやるんだよ？聞いたら「そのままやん」
とのこと
48：名無し研究員さん：2004/03/12(金) 00:32: >>46
【2*n】P【n】=2*(2*n-1)*【2*n-2】P【n-1】
よって、帰納的に与式は成り立つ。
49：阪理数<711>：2004/03/12(金) 08:41: >>46
(左式)=(2n!)/(n!)と見ればサッと出来ますね。
50：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/12(金) 18:04: >>47
よくわからんけど、(x^2+1)(x^2+x+1)で割るということでは？
51：n （oBOk1n/o）：2004/03/13(土) 17:23: そっか～。なるほど

昨日、今日と考えている問題
半径√３、高さ２の円柱面C（ただし上底と下底はないもの）がある。Cの上円上の点Aを通る上円の直径の他端から下円に下した垂線の足をBとする。この円柱面Cを直線ABのまわりを回転するとき円柱面Cが通る部分の体積を求めよ

一応方針は立っているのですが計算が激しく鬱苦しいでつ。考え中
52：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/13(土) 18:12: >>48はひょっとして、９３６の筆者氏？
53：n （oBOk1n/o）：2004/03/13(土) 18:52: 後期入試の問題が今日発表のようでつ。
５１は置いといて出来る問題やってよっと
54：n （oBOk1n/o）：2004/03/13(土) 22:23: なんか東大後期数学３番場合分けしたら４つ出て激しく計算鬱苦しいでつ。
55：n （oBOk1n/o）：2004/03/15(月) 18:59: ５１があとちょっとで出来そう。出来たらカキコしまつ。
ガウス・グリーンとかいう定理で東大の３番がそっこうで出来るようです。
だいぶ前に○チャレで話題に上がってました。
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou54.html

試験中にこんなの覚えていて出来た人はいたのでしょうか。謎です
56：９ （SpxcWT76）：2004/03/16(火) 02:30: ガウス・グリーン…うひょーすげぇ。
57：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/16(火) 02:51: >>56
ガウス･グリーンだのストークスだのを知ってるの？
58：９ （SpxcWT76）：2004/03/16(火) 02:53: >>57
あ、いえ、>>55を読んですごいと思ったんです。
ストークスは聞いたことないです。
59：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/16(火) 02:54: >>58
できるならそんなのが登場する本も
セミナーで一緒に読みたいね。
60：９ （SpxcWT76）：2004/03/16(火) 03:29: はい、読みたいです！！
でもとりあえずは、集合・位相入門のほうをがんばります。
61：438：2004/03/16(火) 10:31: ＞ガウス・グリーン
>>55のページにも書いてありますが今年度の大数に再三にわたって取り上げらていたので
印象に残ってた人もいるのでは？ただ入試でいきなり使ったら減点されるんじゃ・・・
横槍ｽﾏｿ（因みにストークスとはなんでしょうか）
62：９ （SpxcWT76）：2004/03/16(火) 12:11: >>61
そういえば一度くらい読んだ覚えが…
しかしあなた本当にすごいね、絶対に東大現役合格できると思うよ。
63：438：2004/03/16(火) 16:21: >>62
す、すごい!?漏れがですか!?そんなことないですよ　(；´Д`)
大数は目通してるだけで演習問題解か（け）ない、自然な解法を
スマートに運用するのも苦手で、かといって計算でｺﾞﾘ押しするのも得意でない、
標準的な東大受験（予備軍）生だと思いますよ。。

　最近は受験数学なんてどうでもいいや～などとﾔﾙ気減退気味だったのですが、
ここに来て、自分より上にいる人がまだまだいることがわかり、
もっかい数学を勉強し直したいという気が起きてきました。
とても感謝してます。。　＼（≧∀≦）／

あー、ホント大学に受かりたくなってきた。
でもそのためには他教科ももっとできるようにならんとイカンのだなぁ・・・
64：n （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 18:00: 問題文の切断面を図のようにおきます。
空間上の円柱上の点をPとします。OP↑とOM↑を一辺とする平行四辺形の面積の二乗から
|OP↑|^2・|OM↑|^2－｜OP↑・OM↑｜^2=S^2=|√３・１|^2
（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）・１－｛（√３/２）ｘ＋（１/２）ｚ｝＾２＝３
⇔（ｘ－√３ｚ）＾２＋４ｙ＾２＝１２・・・①
またｘ、ｚの満たす領域は図より－２≦√３ｘ＋ｚ≦２・・・②
さらに①から４ｙ＾２＝１２－（ｘ－√３ｚ）＾２≧０から
－２√３≦ｘ－√３ｚ≦２√３・・・③
ここで体積を求めるのですがｚ＝ｋでこれを切ったとき切断面の面積はπ（ｘ＾２＋ｙ＾２）で表せるが中身が空だから最大となる半径をR、最小となる半径をｒとすれば微小体積はπ（R^2－ｒ＾２）×Δｋ
65：n （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 18:01: そこで①から
ｘ＾２＋ｙ＾２＝（１/４）（√３ｘ＋ｋ）＾２＋３－ｋ＾２・・・④
④を最大、最小にするのが他ならないR ,rでありまたｘ、ｋは②、③から図の四角形内部の領域を満たす部分
√３ｘ＋ｋ＝ｔ・・・⑤とおいてｔが最大、最小のときがR,rである。図形の対称性からｋ≧０の部分を考えればいいから
（鄯）０≦ｋ≦３/２のとき
ｔ＝０のとき④が最小、ｔ＝２のとき④が最大。よってｒ＝３－ｋ＾２、R＝４－ｋ＾２
（鄱）３/２≦ｋ≦２のとき
⑤がｘ－√３ｋ＝－２√３を通るとき最小すなわち⑤が（√３ｋ－２√３,ｋ）を通るときｔが最小
このときｔ＝４ｋ－６
最大のときはｔ＝２のとき。ｒ＝３ｋ＾２－１２ｋ＋１２、R＝４－ｋ＾２
よって
V=２π∫[3/2,0]｛４－k＾２－（３－ｋ＾２）｝ｄｋ＋２π∫[2,3/2]{４－ｋ＾２－（３ｋ＾２－１２ｋ＋１２）}ｄｋ
＝１１π/３
66：n （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 18:04: http://v.isp.2ch.net/up/39e82c3b6d7c.bmp
http://v.isp.2ch.net/up/e4d41d3c8cf5.JPG
２ちゃんねるのとこ借りました。この一般化に２、３日取り組んでましたテスト期間中でしたが。。死
67：n （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 18:06: 大学への数学なるものに書いていたよでつね。＞ガウス・グリーン
68：n （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 18:10: 一般化のとき２個目の図でかなり鬱苦しい場合わけが必要でした。。
途中で死にました。なんせｘ、ｚの領域が長方形じゃなく平行四辺形になりさらにもう一本の直線を考え交点の位置とかも
関係しているからかなり体力勝負でした。あ～疲れた
69：n （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 18:11: あってるかわかりませんが採点のほどよろしくお願いします。
勉強してきます
70：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/16(火) 21:27: ストークスの定理は電磁気ですぐ出てくる。
div,rotとかあったな。もう忘れたけど。

ｎ氏すごいな。"鬱苦しい"これなんて読むの？"美しい"？
71：ｎ （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 21:36: うつでくるしいでつ。略してうつくるしい。学校でショッチュウ（←なぜか変換できない
使ってます。テストが終わって（～１３）あとは問題解きまくってるのですがそんな中で見つけた（ネット上で）問題でつ
あと「６９」とってすみませんでした。
本スレ７９９考え厨でつ。むずい。。死
72：ｎ （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 21:40: 実際この問題に取り組んだのは１０日頃でした。結構この問題考えました。
73：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/16(火) 21:57: ＞あと「６９」とってすみませんでした
気になさらずに・・・（　ＴДＴ）

ｎ氏は数オリ予選とか受けるんですか？
あれって予選通っても本選無理ぽ。
74：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/16(火) 22:03: 井上ひさしは小説の中で
初中終と書いてしょっちゅうと読ませてましたよ。
75：ｎ （oBOk1n/o）：2004/03/16(火) 22:53: ＞LAR-menさん
予選は来年か再来年受けようかと思ってますがまだ苦手なところがあるからやらなくちゃいけないでつ。

＞ Ενταξει(☆4)さん
博識でつね。漢字はググルに検索かけていま検索してきました。
76：n＠合宿帰り （oBOk1n/o）：2004/03/30(火) 22:10: 数学質問スレのレス番３６６で
「Σ[k=1...n]√k
は任意のnで整数にならないことを証明してください。」

というのがありました。
以下のように考えました
「連続する２つの無理数の和は整数ではない」・・・①
「連続する２つの無理数のうち一方が整数になり一方が無理数の２つの和は整数にはならない」・・・②
「連続する２つの無理数の両方が整数にならないとき２つの和は整数にならない」・・・③

というのを考えて帰納法でｎ＝２のとき成り立たないからoｋ
ｎ＝ｋのとき整数でないと仮定して（和が整数ではなくて無理数）
ｎ＝ｋ＋１のとき
S_(k)＋√(k+1)が無理数であることを示せばいいが上の３つのことから整数にならないとしたのですがどうでしょうか？
77：n＠合宿帰り （oBOk1n/o）：2004/03/30(火) 22:17: 最後のとこ付け加えでつ
S_(K)+√(k+1)＝（１＋√２）＋（√３＋√４）＋・・・＋（√ｋ＋√(ｋ＋１)）
あるいは
＝（１＋√２）＋（√３＋√４）＋・・・＋（√(k－１)＋√ｋ）＋√(ｋ－１)
78：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/30(火) 22:54: >>76
連続する無理数って何ですか？
79：n＠合宿帰り （oBOk1n/o）：2004/03/30(火) 23:13: √内の中の数字が連続しているということでつ。
80：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/30(火) 23:45: どこまで証明すればいいんだろ？
①②③も証明せよってことなのかな？
結果が当然すぎて・・・

総和は無理数と整数の和になる
無理数の和は整数にならない
の2つを示しても十分だと思う
81：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/30(火) 23:50: 無理数の和が整数にならないのを示すのは難しいかな・・・
82：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/30(火) 23:53: >>76は帰納法で示したい命題が何かよくわからないのですが・・・
83：n （oBOk1n/o）：2004/03/30(火) 23:57: ①②③はいちお自分でやってこういうことが示せた（つもり）ので
これらを使って
「Σ[k=1...n]√k
は任意のnで整数にならないことを証明してください。」
を帰納法で示した（つもり）なんですが
84：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/31(水) 00:06: ①②③は"√m+√(m+1)は整数にならない"って言ってますよね？
でもそれを>>77のように使うと、整数にならないものの和が整数になることはありますよね。
85：n （oBOk1n/o）：2004/03/31(水) 00:15: うぅ。そういうことか。２つはそうだがそれらを和にするとどうなんだ？ということでつね
考えなおしてきまつ
86：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 00:47: >>79
答案ならそこだけで読むのをやめられても文句言えません。
気をつけましょう。

>>79のように解釈しても√3と√4ってのを考えれば片方は
有理数なので、無理があるでしょう。
87：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/31(水) 00:50: 無理数の和が整数になることはあるんだな・・・
もっと限定しないと・・・
88：９ （SpxcWT76）：2004/03/31(水) 01:46: うわー難しいな。
「√2+√3+√5は無理数であることを示せ」
みたいな問題はやったことあるけど、
あれと同じ感じでできないかな。
89：n （oBOk1n/o）：2004/03/31(水) 01:59: >>86
それは７６の②じゃないのですか？
二つの場合ではということで。
√３＋√４＝√３＋２→ｍ（整数と仮定）
より√３＝ｍ－２であるが左辺は無理数。右辺は整数
90：９ （SpxcWT76）：2004/03/31(水) 02:29: >>88だったらできるんだけどなぁ。

　　x=√2+√3+√5
⇔ x-√5=√2+√3
⇒ x^2-2(√5)x=2√6
⇒ x^4+20x^2-24=4(√5)x^3

であるから、xが有理数であると仮定すると
左辺は有理数、右辺は無理数となって不合理。
よってxは無理数。

これを何とか一般化できないだろうか。　　

>>89
>>76の①と③って何が違うの？
91：n （oBOk1n/o）：2004/03/31(水) 02:42: あ・・・同じですね。。死
いま考えていること
案
①ｙ＝√ｘをなんかうまく使えないだろうか？
②総和をSとするとある連続する整数ｍ、ｍ＋１ではさめないだろうか？（ｍ＜S＜ｍ＋１）
③②の形はなんかガウスが使えそうだからなんかできないだろうか？

参考案LAR-menさん
「総和は無理数と整数の和になると無理数の和は整数にならないの２つを示せば十分」
92：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 02:59: >>89
＞「連続する２つの無理数のうち一方が整数になり一方が無理数の２つの和は整数にはならない」・・・②
で「連続する２つの無理数」というのがあなたのいう解釈「mを自然数としたときの√mと√(m+1)」
だとしても変です。m=3とかm=9のときに片方が無理数にならないからです。

それからS_(k)というのは問題文のどこにもなく、あなたが勝手に作ったものですから
それが何を表すかは、説明しなければなりません。
93：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 03:08: >>91
簡単に分かるのは…
Σ[k=1,n]√k=S(n)とおいたとき、例えばS(100)-S(99)=10だから②はダメですね。
①は積分を考えれば
(2n√n)/3<S(n)<((2n√n)/3)+√n-(2/3)なのですが、これ使えますかね。
94：n （oBOk1n/o）：2004/03/31(水) 03:10: ＞m=3とかm=9のときに片方が無理数にならないからです
「２つの無理数のうち一方が整数」とは√４やら√９のことを指しているつもりでした。

＞それからS_(k)というのは問題文のどこにもなく、あなたが勝手に作ったものですから
それが何を表すかは、説明しなければなりません。

回答する配慮が欠けていました。すみません。
95：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 03:18: >>94
実際には{r|rは無理数}∩{n|nは整数}=φですから
「2つの無理数のうち一方が整数」ということはありえないわけです。

少なくとも入試でそういうありえないことを書けば、読む側の印象は
めちゃくちゃ悪くなりますので、作文の仕方に注意をはらう訓練は
今からしたほうがいいと思いますよ。
96：n （oBOk1n/o）：2004/03/31(水) 03:26: ＞実際には{r|rは無理数}∩{n|nは整数}=φですから
「2つの無理数のうち一方が整数」ということはありえないわけです。

丁寧な解説ありがとうございました

＞少なくとも入試でそういうありえないことを書けば、読む側の印象は
めちゃくちゃ悪くなりますので、作文の仕方に注意をはらう訓練は
今からしたほうがいいと思いますよ。

そっか～。採点する人はこういうとこも見てるのですね。いままで大筋重視で解答を書いてましたが今後気をつけます
97：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/31(水) 06:33: 「Σ[k=1...n]√k
は任意のnで整数にならないことを証明してください。」

試案ができたけど、どうしよう。本スレに９ちゃんが問題うｐしたし
解こうとするひとがいるかもしれない。こけくんのHPでは未解決らしいけど。
98：阪理数<711>：2004/03/31(水) 11:44: 以前このような(下記ＨＰ)問題を解いたことがあります。
これを参考にしてみてはいかが？

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/irratio.html
99：名無し研究員さん：2004/03/31(水) 16:45: >98
これで解けてない？
100：阪理数<711>：2004/03/31(水) 17:30: >>99
直に解いているわけではないでしょう。
少し言葉を足せば・・・と私は思っているのですがどうでしょう？
101：阪理数<711>：2004/03/31(水) 17:49: もう少し言うと・・・
・これは平方根内が素数の時のみ
・平方根内が合成数の時は議論されていない
のでQ(√p)・・・(√p(i)p(j))・・・(√p(i)p(j)p(k))・・・について同じ事をしなければならないのでは
っと思ったりします。
まだ殆どこの問題は考えていないので即終わる考え方があるかもしれませんが・・・
正直私も考えがまとまっていませんｗ