数学質問スレ

43：こけこっこ：2004/03/10(水) 09:10: 「多項式が実数係数に限る前提なんてない」。
その通りでつ。だから，この場合，
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a，b，c，dは「複素数」)とおいて，
ｆ(i)=3i+2, ｆ(-i)=-3i+2, ｆ(ω)=2ω+3, ｆ(ω^2)=2ω^2+3 を満たす
a，b，c，dを決定していくと思うんですが，
これは具体的にどうやって行なうのでしょうか？
a=p+qi，b=r+si，(p，q，r，sは実数)・・・とおいていくのは大変すぎますし・・。

以前，僕はこの手の問題を解いたとき，a，b，c，dを勝手に実数だと見なして，
f(i)=3i+2，f(ω)=2ω+3 の式から，係数比較(実部と虚部)して
a，b，c，dの値を決定した答案を書いたら×にされたので，（今考えると当たり前・・）
そのときの教訓を教えてあげたかったのでつ。

いちおう無難な回答はこんな感じにしたほうがいいかもってことがいいたかったのです。

ｆ（ｘ）をｘ＾２＋ｘ＋１で割った商をg(x)とおくと
f(x)=(x^2+1)g(x)+{xg(x)+2x+3}．
xｇ(x)+2x+3 を x^2+1 で割ると，3x+2 になるので、ｇ（ｘ）は1次式以上であるから、
ｇ（ｘ）＝ax+b(a≠0)とおく。このとき、
xg(x)+2x+3=x(ax+b)+2x+3=a(x^2+1)+(b+2)x+(3-a)
であるから，b+2=3、3-a=2より、b=1,a=1
∴f(x)=(x^2+x+1)(x+1)+2x+3

誤解を与える表現ですみません

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