数学質問スレ

7：n </b><font color=#FF0000>（oBOk1n/o）</font><b>：2004/03/02(火) 20:35: 以下自分の解答を書いてみます。
ｘｙ平面にちょうど軸がくるように（一つはｘ軸上、一つはｙ＝ｘ）おきます。
するとｘｙ平面において共通部分は一辺が２√２のひし形になります。

ここで円柱を切断したときあらわれる形は円か楕円であるがひし形の対角線を通る平面は軸と垂直には交わらないので
楕円ということになる。（対角線において二つの円柱は対称な位置関係にありかつ半径が同じであるから一つの円柱に対して折り返しが可能）
またひし形であるから対角線が直交する。
いま対角線上π１平面、π２平面上かつ上の共通部分を満たす集合を(u,ｚ),(u',ｚ)とすれば
（u^2/a^2）＋ｚ^2＝１かつ{(u')^2/b^2}＋ｚ^2＝１ただしa=２√２sin（１３５°/２）、ｂ＝２√２cos（１３５°/２）、
これをｚ＝ｔで切断すれば
このとき｜u｜=a√（１－ｔ＾２）、｜u’｜=ｂ√（１－ｔ＾２）よってｚ＝ｔで切断したひし形の一辺は
√｛｜u｜~2＋｜u’｜＾2｝＝√｛（a＾２＋ｂ＾２）（１－ｔ＾２）｝＝２√｛２（１－ｔ＾２）｝
よってひし形の面積Sは
S/2＝（１/２）（２√｛２（１－ｔ＾２）｝）＾２sin45°から
S＝４√２・（１－ｔ＾２）
微小体積はSΔｔなので
共通部分VはV＝２∫[1,0]４√２・（１－ｔ＾２）ｄｔ＝１６√２/３

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