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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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OK。
だけど、先生はいいんだろうか？
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>>99
いいですよ。私がとくべき問題番号を指定してください。
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>>99-100
㌧クスです。どうしようかな。
問題番号を mod 3 で振り分けますか。
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>>101
お二人で決めてください。従いますので。
伝衛門の散歩にいってきます。
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ほほぅ
じゃ4で
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>>103
mod3だっていってんだろうがハゲ！！
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4ってなにー？？？
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>>104
ﾜﾛﾀｗｗｗｗ
微妙に（・∀・）の阿寒…
>>ラーメン氏
では (1,4,7), (2,5,8), (3,6,9) のなかから
お好みのセットをお選びください。
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初の自演ですた
はぁしょーもな
じゃ1
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じゃ俺は3, 6, 9に挑戦します。
C・D: ラーメン氏
E・F: ９−ｍａｎ
問題1, 4, 7: ラーメン氏
問題2, 5, 8: 先生
問題3, 6, 9: ９−ｍａｎ
じゃ、こういう割付けでおながいします。
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了解。
じゃとっととやりますか
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俺の担当分は明日の夕方頃になると思います。
よろしくおながいします。
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C) 差
A,Bが2つの集合のとき、Aの元であってBの元でないもの全体のつくる集合を
A,Bの差(AからBを引いた差)といい、A-Bで表す。
すなわち、A-B={x｜x∈A∧x○B}
特にA⊃Bである場合には、A-Bを、Aに対するBの補集合という。
○=∈の否定です。すんません。
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D) 普遍集合
数学の理論においては、そのとき考えている集合は全て、ある1つの定まった
集合Xの部分集合である、ということがはっきりわかっているような場合が
少なくない。そのような場合、その定まった集合Xのことを、その考察における
普遍集合または全体集合という。
普遍集合Xが与えられているときには、集合A(Xの部分集合)のXに対する補集合
X-Aを、単にAの補集合といい、通常、記号A^cで表す。(Aの右肩にc)
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>>111
「xはBの元ではない」は「¬(x∈B)」って表記すればいいんじゃないですか。
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xをXの元を表す変数とすれば、A^c={x｜x∉ฺA} あるいは、x∈A^c⇔x∉ฺA
である。
A^cの定義から、明らかに次の諸法則が成立する。
(2.12) A∪A^c=X,A∩A^c=Φ
(2.13) A^cc=A (ただし、A^ccはAの補集合の補集合)
(2.14) Φ^c=X,X^c=Φ
(2.15) A⊂B⇔A^c⊃B^c
(2.15)だけ証明しておきます。他のは明らかだと思うので・・・
xをXの元を表す変数とする。A⊂B⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(x∉ฺB⇒x∉ฺA)⇔
(x∈B^c⇒x∈A^c)⇔A^c⊃B^c
また、次の2つの法則は、"de Morganの法則"と呼ばれる。
(2.16) (A∪B)^c=A^c∩B^c
(2.16)' (A∩B)^c=A^c∪B^c
(2.16)の証明:xをXの任意の元とするとき、x∈(A∪B)^c⇔x∉ฺA∪B⇔(x∉ฺA)∧(x∉ฺB)
⇔(x∈A^c)∧(x∈B^c)⇔x∈A^c∩B^c より成立。
(2.16)'も同様。
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>>113
一応９が用意してくれた記号があったもので。>>114では使いました。
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>>114
(2.12)の証明をお願いします。
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(2.12)の証明
xをXの元を表す変数とすれば、
(1つ目)x∈A∪A^ｃ⇔x∈A∨x∈A^c⇔x∈A∨x∉ฺA
(2つ目)x∈A∩A^ｃ⇔x∈A∧x∈A^c⇔x∈A∧x∉ฺA
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2つ目はA∩A^ｃが空集合でないとすると矛盾、といったほうが
いいのでしょうか
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あ、1つ目もですか
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なんかよくわからなくなってきますた
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>>120
1つ目は
A⊂X,A^ｃ⊂XよりA∪A^c⊂X,
x∈X∧(¬(x∈A∪A^c))とすると
x∈X∧(¬(x∈A)∧¬(x∈A^c))
即ちx∈X∧(¬(x∈A)∧(x∈A)).
これは常に偽.よって
x∈X⇒x∈A∪A^c
即ちX⊂A∪A^c
って感じでいいんじゃないでしょうか。
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>>121
なるほど。(p⇒q)⇔(¬p∨q)ですか。
>>117の右端x∈A∨x∉ฺAからx∈Xと言ったらまずいですか？
2つ目は、A∩A^ｃが空集合でないとすると、
x∈A∩A^cとなるXの元xが存在するが、
x∈A∩A^ｃ⇔x∈A∧x∈A^c⇔x∈A∧x∉ฺA
となり矛盾。
でいいですか？
空集合であることを示すにはどんな手段があるんでしょうか？
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>>122の訂正
>>117の1つ目の右端x∈A∨x∉ฺA⇔x∈Xと言ったらまずいですか？
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>>123
いいの・・・かなぁ？？？
特に問題ないようにも思いますけど。
先生の解説待ちってことで…
続き逝きます。
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E) 集合系，巾（べき）集合
集合の集合、すなわち
その元がすべてそれ自身集合であるような集合を、
一般に、”集合系（集合族）”と呼ぶ。
集合系はしばしば、ドイツ大文字で表される。
# ドイツ大文字の表示のしかたがわからないので、
ドイツ語Ａ → Å、Ã （オングストローム、＆Ａｔｉｌｄｅ；）
ドイツ語Ｂ → ℬฺ （＆＃８４９２；＆＃３６４２；）
ドイツ語Ｍ → ℳฺ （＆＃８４９９；＆＃３６４２；）
ドイツ語Ｎ → Ñ （＆Ｎｔｉｌｄｅ；）
などで代用することにしましょう。
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Xを任意の集合とするとき、
その部分集合全体のつくる集合系、すなわち、
Xのすべての部分集合の集合を、Xの巾集合（power set）と言います。
本書ではこれを ℬฺ(X) で表します。
（確か 2^X って表し方もあったと思います）
特に、X＝φの場合、その部分集合はφただ1つだけなので、ℬฺ(φ)＝{φ}。
一般にXがn個の元から成る有限集合のとき、
ℬฺ(X)は 2^n 個の元を持つ集合となります。 …(☆)
［(☆)の証明］ nに関する数学的帰納法で証明する。
n=1 ならば、Xの部分集合はX自身とφの2つのみであるから(☆)は正しい。
次に n≧2 とし、簡単のため X={1, 2, …, n-1, n}、X'={1, 2, …, n-1} とする。
Xの部分集合でnを含まないものは、X'の部分集合であるから、
それらは帰納法の仮定によって2^(n-1)個存在する。
また、Xの部分集合でnを含むものは、X'の部分集合にnを付け加えて得られるから、
それらも2^(n-1)個存在する。
したがって、Xの部分集合は、全部で 2^(n-1)+2^(n-1)=2^n 個存在する。（終）
# これは X＝φ（すなわちn=0）のときも成立します。
ある1つの普遍集合Xの巾集合ℬฺ(X)の部分集合であるような部分集合系
―すなわちXのいくつかの部分集合から成る集合系― を、
一般にXの”部分集合系”と言います。
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F) 集合系の和集合，共通部分
1つの集合系Ãが与えられたとき、
Ãに属する少なくとも1つの集合の元となっているようなもの全体のつくる集合を、
’Ãに属するすべての集合の和集合’あるいは簡単に’集合系Ãの和集合’と言い、
記号 ∪Ã ∪[A∈Ã]A ∪{A| A∈Ã} などで表します。
また、Ãに属するすべての集合に共通な元全体の集合を、
’Ãに属するすべての集合の共通部分’あるいは’集合系Ãの共通部分’といい、
記号 ∩à ∩[A∈Ã]A ∩{A| A∈Ã} などで表します。
ここで、論理記号∀、∃についての説明です。
一般に、変数xを含む1つの文章があるとき、’すべてのxに対してpが成り立つ’ことを
∀x(p)
という記号で表し、’pが成り立つようなxが（少なくとも1つ）存在する’ことを
∃x(p)
でという記号で表します。
また、Xを1つの集合とするとき、’Xのすべての元xに対してpが成り立つ’ことと、
’pが成り立つようなXの元xが存在する’ということを、通常それぞれ
∀x∈X(p), ∃x∈X(p)
と表します。
集合系Ãの和集合∪Ã、共通部分∩Ãは、それぞれ
∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)}
∩Ã＝{x| ∀A∈Ã(x∈A)}
と書き表すことができます。
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集合系Ãの和集合∪Ã、共通部分∩Ãは、それぞれ
∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)}
∩Ã＝{x| ∀A∈Ã(x∈A)}
と書き表すことができます。
上の定義から、次のことが成り立ちます。
(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)]
(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C
(2.17)' ∀A∈Ã[A⊃(∩Ã)]
(2.18)' [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∩Ã)⊃C
これらは (2.2), (2.3), (2.2)', (2.3)' の一般化であって、
(2.17), (2.18) は、∪Ãが、Ãに属するすべての集合を
含むような集合のうちで最小のものであって、
(2.17)', (2.18)' は、∩Ãが、Ãに属するすべての集合に
含まれるような集合のうちで最大のものであることを、それぞれ示しています。
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俺がFをパスした理由なんだけど、p21の
¬(∀x∃y∀z(p))≡(∃x∀y∃z(¬p))
が示せませぬ。(述語論理サボったんで・・・)
これと(2.17)の証明お願いします。
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漸く帰還。
>>122
Xを全体集合としてるわけですから一つ目が言えてれば
Φ=X^c=(A∪A^c)^c=A^c∩(A^c)^c=A^c∩A=A∩A^c
でもいいんじゃないでしょうか。
x∈A∨x∉ฺA⇒x∈Xはともかく
x∈X⇒x∈A∨x∉ฺAを言ってもいいかどうかわからんので
>>121のようなことを試みたのです。
>>125
集合系ってのも集合族って言い方の方が耳慣れてる気がします。
ℬฺはドイツ語のBではなくドイツ語のPです。
間違えやすい字だけど。power set のpなのかな？
でもpower setって英語だしな。。わからん。
>>128
>>129でLAR-menさんも仰ってますが、(2.17),(2.18),(2.17)',(2.18)'
の証明をお願いします。
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↑名前入れ忘れました。
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>>130
＞Φ=X^c=(A∪A^c)^c=A^c∩(A^c)^c=A^c∩A=A∩A^c
ヒャー
そうですね！
こういうのってなんか地力の差を感じます。
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Φ=X^cを見落としてた、っていえばそれまでですが、
なんかこういうシンプルなものほど実力の差を感じてしまう
って変ですか？
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>>133
どこに目がいってるかという問題だから、
やっぱり慣れてるかどうかが大きいんじゃないでしょうかね。
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練習量って話じゃないとは思いますが。
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すいません、(2.17),(2.18),(2.17)',(2.18)'今からやりまつ。
巾集合の記号にℬฺは使わないほうがいいんでしょうか。
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¬(∀x∃y∀z(p))≡(∃x∀y∃z(¬p))
後でこれもお願いしますよ
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>>136
ぜんぜんオッケーですよ。2^Xなんかより一般的だと思います。
手書きでもpc上でもぺーの字があんましうまくかけないので
2^Xをつい使ってしまいますが。
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>>137
へい、今から頑張りますｗｗｗｗ
>>138
了解です。
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【(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)] の証明】
A∈Ã ⇒ A⊂(∪Ã) を示せばよい。
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈A に対して x∈(∪Ã).
∴ A⊂(∪Ã). （終）
【(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊂C)
⇒ (A⊂(∪Ã) ⇒ A⊂C) （∵(2.17)）
⇔ (∪Ã)⊂C. （終）
【(2.17)' ∀A∈Ã[A⊃(∩Ã)] の証明】
A∈à ⇒ A⊃(∩Ã) を示せばよい。
A∈à のとき、（Ãの共通部分の定義 ∩Ã＝{x| ∀A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈(∩Ã) に対して x∈A.
∴ A⊃(∩Ã). （終）
【(2.18)' [∀A∈Ã(A⊃C)] ⇒ (∩Ã)⊃C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊃C)
⇒ (A⊃(∩Ã) ⇒ A⊃C) （∵(2.17)'）
⇔ ∩Ã⊃C. （終）
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>>137
[1] ¬(∀x(p))≡∃x(¬p)
[2] ¬(∃x(p))≡∀x(¬p)
を既知とします。
【¬(∀x∃y∀z(p))≡∃x∀y∃z(¬p) の証明】
¬(∀x∃y∀z(p))
≡ ¬(∀x(∃y(∀z(p))))
≡ ∃x(¬(∃y(∀z(p)))) （∵[1]）
≡ ∃x(∀y(¬(∀z(p)))) （∵[2]）
≡ ∃x(∀y(∃z(¬p))) （∵[1]）
≡ ∃x∀y∃z(¬p) （終）
-
…ツッコミ等おながいします。
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スマソ。長電話してた。ちょっと待って。
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【(2.17) ∀A∈Ã[A⊂(∪Ã)] の証明】
A∈Ã ⇒ A⊂(∪Ã) を示せばよい。
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈A(x∈A)} より）
任意の x∈A に対して x∈(∪Ã). ←(ここもっと詳しくお願いします。①)
∴ A⊂(∪Ã). （終）
【(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C の証明】
(A∈Ã ⇒ A⊂C)⇒ (A⊂(∪Ã) ⇒ A⊂C) ←(X⇒Yのとき、(X⇒Z)⇒(Y⇒Z)？②)
⇔ (∪Ã)⊂C. ←((P⊂Q⇒P⊂R)⇔Q⊂Rは、正しいと思うけど、どっかで証明したっけ？③)
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すいません、>>140訂正です。
3行目
A∈Ã のとき、（Ãの和集合の定義 ∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)} より）
14行目
A∈à のとき、（Ãの共通部分の定義 ∩Ã＝{x| ∀A∈Ã(x∈A)} より）
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>>145
了解です。
それは気づいてますた。
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>>144
① A∈Ã の条件の下でなら、常に
x∈A ⇒ x∈∪Ã
が成立します。
それは、∪Ã＝{x| ∃A∈Ã(x∈A)}という定義から
自明としてよいのではないでしょうか。
② あ、、、マズいですね…考え直しまつヽ(`Д´)ﾉ ｳﾜｧｧﾝ!!
③ 何だかこれもマズいような気がしてきますた（´Д｀；）
少し時間をください。
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∀,∃,∈,Åが混在してるとどうやって形式的に示したらいいかわからんね。
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今までのページに手がかりあるのかなあ
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うーん。これでどうでしょか。
【(2.18) [∀A∈Ã(A⊂C)] ⇒ (∪Ã)⊂C の証明】
「任意の A∈Ã に対して A⊂C が成立している」という仮定の下で、
x∈(∪Ã) ⇒ ∃A∈Ã(x∈A) ⇒ x∈C.
∴ (∪Ã)⊂C （終）
(2.18)' も同様にしてできると思います。
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>>150
納得しますた。
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>>140の証明は明らかに（ﾉ∀｀）ｱｲﾀｰですた。ｽﾏｿ
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(2.17)は
∀A∈Ã[(∪Ã)^c⊂A^c]
の方が納得しやすいかも。
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>>153
えっと… (∪A)^c⊂A^c は何故言えるんでしょうか。
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A⊂(∪Ã)のことでは？
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>>155
それの対偶ですよね。
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(2.17)⇔∀A∈Ã[(∪Ã)^c⊂A^c]
じゃないの？だよね？
このあとどうしたらいいかわからないけど・・・
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>>157
そうです。
俺もよくわからないです。
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>>158
定義から直ちに
x∈(∪Ã)^c⇔∀A∈Ã,x∈A^c
ですけど。
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>>159
あーなるほど！！！
そっちの方がわかりやすいですね。
流石です〜
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>>159
ひー
そうですね
でも⇔だと(∪Ã)^c=A^c
な気がするんですが
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あ、違いますね。
すみません。
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ん？あれ？
わからなくなってきますた
どうなんでせう？
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x∈(∪Ã)^c
⇔ ¬(x∈(∪Ã))
⇔ ¬(∃A∈Ã(x∈A))
⇔ ∀A∈Ã(¬x∈A)
⇔ ∀A∈Ã(x∈A^c)
これでどうですか？？
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>>164
うん。
そこまではわかるんだけど、>>161の疑問はどうなんでせうか？
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>>161
＞でも⇔だと(∪A)^c=A^c
＞な気がするんですが
の「⇔」は何と何とを結んでるんですか？？？
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>>166
x∈(∪Ã)^c⇔∀A∈Ã,x∈A^c
の⇔が右向きだけならわかるんだけど、左向きのとき(∪Ã)^c⊃A^cではないかと・・・
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>>167
そうすると、>>164のどこかに
同値変形でない箇所があるってことになると思いますけど…
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そうなのよ
俺がなんかとんでもない勘違いしてるのか・・・
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たとえば簡単な例として
A, B を集合として Ã＝{A, B} と定義します。
このとき (∪Ã)＝A∪B です。
すると、
x∈(∪Ã)^c とは即ち ¬(x∈A∪B) のことであり、
∀A∈Ã(x∈A^c) とは即ち (x∈A^c)∧(x∈B^c) のことです。
左向きが成立するとき、すなわち
(x∈A^c)∧(x∈B^c) ⇒ ¬(x∈A∪B) のとき、
必ずしも (∪Ã)^c＝A^c になるでしょうか？？？
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(∪Ã)^c＝A^cとは言ってなくて(∪Ã)^c⊃A^cなんだけど・・・
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>>171
>>161に＝で書かれてますけど…
いや、⊃でもいいですけど、
必ずしも成り立つでしょうか？？？
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９ありがとう。
x∈(∪Ã)^c⇔∀A∈Ã,x∈A^c
ここから、 (∪Ã)^c⊂A^cはいえて (∪Ã)^c⊃A^cはいえないのは
どうしてなんでせう？
と思っていたんだけど、∀A∈Ãが入ってるからか。
つーか、いえないことを示せなんてどこにも書いてない罠。←最大の勘違い
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>>173
ごめん。映画見てますた。
>>164からわかるように
(∪Ã)^c=(∩[A∈Ã]A)^c=∩[A∈Ã]A^c
ですね。
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>>174
結論として、左端と右端が＝になるのは>>173の2行目の式からわかるんですが、
(∪Ã)^c=(∩[A∈Ã]A)^c
(∩[A∈Ã]A)^c=∩[A∈Ã]A^c
これがどういう変形か教えて下さい。∩[A∈Ã]AってÃに属する全てのAの共通部分
ですか？
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>>175
間違えました。
(∪Ã)^c=(∪[A∈Ã]A)^c=∩[A∈Ã]A^c
です。de Morgin
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禿げしく納得いたしました。
何の映画見てたんですか？
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>>177
拳セレクトで
「クロコダイル･ダンディー in L.A」でした。
楽しめましたよ。笑うとこいっぱいで。
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いいですね。
今は"王の帰還"が見たいです。
1人で行こうかな。
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>>179
知らない映画です。。。
問題の解答はもううｐしていいのかな？
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>>179
ラーメン丸がどんな映画好きなのか分からないけど、
小林正樹監督の「切腹」は（･∀･）ｲｲ!!!!
二月の間に2回も見ちゃったYO！
時間あったら見てみてNE！
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>>179
ああ、空騒ぎの後列の人が出てるやつでしたか。
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>>182
そうです。実は似てないですけど。
さて、
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>>183
さて
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§2の問題逝きますか。
-
では
問題2 次のことをたしかめよ.
A∩B=φ⇔A^c⊃B⇔A⊂B^c
解答
対称性より最初の⇔のみ示せばよい。
x∈A∩B⇔(x∈A)∧(x∈B)⇔(x∈B)∧(x∈A)
⇔(x∈B)∧(¬(x∉ฺA)なので
もし
A∩B=φ
⇔(x∈B)∧(¬(x∉ฺA))は偽.
⇔(¬(x∈B))∨(x∉ฺA)は真
⇔(¬(x∈B))∨(¬(x∈A))は真
⇔((x∈B)⇒(¬(x∈A)))は真
⇔B⊂A^cが真.
-
問題5 次の等式を証明せよ.
(a) (A-B)-C=A-(B∪C)
(b) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)
解答
(a) (A-B)-C=(A∩B^c)∩C^c=A∩(B^c∩C^c)=A∩(B∪C)^c=A-(B∪C).
(b) A-(B-C)=A∩(B-C)^c=A∩(B∩C^c)^c=A∩(B^c∪C)=(A∩B^c)∪(A∩C)=(A-B)∪(A∩C).
-
問題8 次の等式を証明せよ.
(a) A△φ=A(b) A△X=A^c
(c) A△A=φ(c) A△A^c=X
解答
(a) A△φ=(A∩φ^c)∪(φ∩A^c)=(A∩X)∪φ=A∪φ=A.
(b) A△X=(A∩X^c)∪(X∩A^c)=(A∩φ)∪(X∩A^c)=φ∪A^c=A^c.
(c) A△A=(A∩A^c)∪(A^c∩A)=φ∪φ=φ.
(d) A△A^c=(A∩(A^c)^c)∪(A^c∩A^c)=(A∩A)∪(A^c∩A^c)=A∪A^c=X.
-
御批判よろしく。
-
>>186
「もし」っていうのは何を仮定してるんでしょうか。
>>187
OKです。
>>188
OKです。
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>>190
「もし」は消し忘れです。ｽﾏ
-
>>186
OKです。
たぶん同じだと思いますが
A∩B＝φ
⇔ ∀x∈X(¬(x∈A∧x∈B))
⇔ ∀a∈A(¬(a∈B))
⇔ A⊂B^c
こんな感じでもいいでしょうか。
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問題 (以下A,B,C･･･は、いずれも、ある集合Xの部分集合とする。)
１ 次の式を簡単にせよ。
(a) (A∪B)∩(A∪B^c) (b) (A∪B)∩(A^c∪B)∩(A∪B^c)
(a) (A∪B)∩(A∪B^c)={A∩(A∪B^c)}∪{B∩(A∪B^c)}={(A∩A)∪(B^c∩A)}∪{(A∩B)∪(B^c∩B)}
={A∪(B^c∩A)}∪{(A∩B)∪Φ}=A∪(B^c∩A)∪(A∩B)=A (A⊃A∩X,Y⊂Z⇔Y∪Z=Zより)
(b) (A∪B)∩(A^c∪B)∩(A∪B^c)=(A∪B)∩(A∪B^c)∩(A^c∪B)=A∩(A^c∪B) ((a)より)
=(A∩A^c)∪(B∩A)=Φ∪(A∩B)=A∩B
-
>>192
2行目から3行目はどうしてですか？
3行目の主張と
a∈A⇒(¬(a∈B))
って同じだといっていいのかなあ。
-
>>194
ここですか？？
＞⇔ ∀x∈X(¬(x∈A∧x∈B))
＞⇔ ∀a∈A(¬(a∈B))
a∈A に対して、a∈B, ¬a∈B の一方のみが真ですが、
2行目より ∀A∈a(¬(a∈A∧a∈B)) なので、¬a∈B です。
-
>>193
OKです。
(a)の解答中のカッコ内の注のXは普遍集合のXではなくって
2^Xの任意の元のつもりですよね。
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>>196
すいません。その通りです。
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>>195
ごめん。ド･モルガン使ったわけじゃないんだよね。
もう少し詳しく説明お願いします。
あと>>194の後半の疑問についてもお願いします。
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