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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>285
９くんが言うとおり
対応fが写像であるときはaのfによる像f(a)は
必ず一元からなる集合となりますので
集合ではなくて単に値として扱っても混乱しない
という理由でf(a)=bなどという書き方をする習慣になっています.
実数成分の一行一列の行列をときに単なる実数のように扱うようなものです.
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すいません問題書くの忘れてました。
昨日の拳さんの話とは何だったのですか？
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問題３ＯＫです。
§4に進みましょうか。
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９３６の筆者氏を待たないかい？
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待ちます
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>>292
ラーメン丸は
ポン･デ･あずき好き？
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ポンデリングしか食った事無いですが、ｳﾏｰでしたよ。
あずきはだめですね。ようかん好きだけど粒あんだとだめですし。
それが何か？
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>>297
∧
∠'A`＞ そうでつか…
|∧| 好きならﾁｮｯﾄお願いしようかと思ったんだけど。
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.＿＿_
| 'A` |y━~~ ずれちゃったよぅかん
.ﾉ|ﾍ＿ﾍ|
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>>298
ポンデあずき最高！皆で復活キャンペーンやろうぜ！
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>>298
どういうことですか？
一応聞かせてください。
ここではまずいので雑談スレでお願いします。
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>>286 >>291
なるほどね。どうもいらんとこにこだわったようで。
サンクス。
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えーっと、これからどうしますか？？？
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>>303
雑談スレ>>219
９がOKなら再開しませう
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>>304
了解です。
割りふり適当にお願いできますか。
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９忙しそうだからまず俺からいこうか
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§４ 写像に関する諸概念
A) 写像による像および原像
AからBへの１つの写像fが与えられたとする。
PをAの任意の部分集合とするとき、Pの元aのfによる像f(a)を全部集めてできる集合、より正確に言えばf(a)=bとなる
Pの元aが(少なくとも1つ)存在するようなBの元b全体からなる集合を、fによるPの像といい、f(P)で表す。すなわち
f(P)={b｜∃a∈P(f(a)=b)}
もちろんf(P)はBの部分集合である。特に、定義域Aのfによる像f(A)は、明らかに、fの値域V(f)と一致する。
Pが内包的記法によってP={a｜C(a)}のように表されているときには、f(P)をf(P)={f(a)｜C(a)}と書くこともある。
たとえば、明らかにP={a｜a∈P}であるから、f(P)={f(a)｜a∈P}。特にf({a})={f(a)}(対応の特別な場合としての写像の本来の
定義では、この右辺が、fによるaの像であった)なお、f(P)=Φ⇔P=Φであることは、いうなでもない。
QをBの任意の部分集合とするとき、Aの元で、その像がQの中にはいるようなもの全体の集合を、fによるQの原像または逆像といい、f^(-1)(Q)
で表す。すなわち、
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f^(-1)(Q)={a｜f(a)∈Q}これはもちろんAの部分集合である。特に、bをBの１つの元とするとき、
f^(-1)({b})={a｜f(a)=b}はf^(-1)(b)と同じものである。(これが≠Φとなるのは、
b∈V(f)のとき、かつそのときに限る)また、もちろんf^(-1)(Φ)=Φであるが、Q≠Φであってもf^(-1)(Q)=Φ
となることはあり得る。なお、fはAからBへの写像であるから、当然のことながら、Aの任意の元aに対してf(a)∈B
したがってf^(-1)(B)=Aであることに注意しておこう。
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写しただけでつ。ちょっと今日体調悪いのでここまでで。
証明書きたいところもあるし。質問は待ってください。
＞９
早く先に進みたいのであればどんどん先書いてもOKです。
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いつものことながら読みにくくてｽﾏｿ｡
インデントもしてないし。なんかこういうの苦手。打つの遅いし。
我ながら厨丸出し。笑ってくれ。
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>>307-309
OKです。
たぶん明日か明後日くらいで一通り片付けが終わるので
そしたら復帰しまつ。
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（・３・）エェー CheckしてNE
>>307
＞定義域Aのfによる像f(A)は、明らかに、fの値域V(f)と一致する。
(蛇足ながらAからBへの写像の定義域はAである。)
b∈f(A)⇔∃a∈A(f(a)=b)⇔∃a∈A((a,b)∈G)⇔b∈{b｜∃a∈A((a,b)∈G)}⇔b∈V(f)
>>308
＞bをBの１つの元とするとき、f^(-1)({b})={a｜f(a)=b}はf^(-1)(b)と同じものである。(これが≠Φとなるのは、
b∈V(f)のとき、かつそのときに限る)
f^(-1)(b)≠Φ⇔∃a(a∈f^(-1)(b))⇔∃a∈A(f(a)=b)⇔∃a∈A((a,b)∈G)⇔b∈V(f)
＞また、もちろんf^(-1)(Φ)=Φであるが、Q≠Φであってもf^(-1)(Q)=Φとなることはあり得る。
QをBの部分集合Q={b｜∀x∈A(f(x)≠b)}とし、背理法。
∃a∈A(a∈f^(-1)(Q))⇔∃a∈A(f(a)∈Q)⇔∃a∈A(∀x∈A(f(x)≠f(a)))
これは明らかに偽。
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>>312
最後のやつは f^(-1)(φ)＝φ の証明ってことですよね。
ＯＫです。
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>>313
違うYO！
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＞Q≠Φであってもf^(-1)(Q)=Φとなることはあり得る。
この部分でつ。わかりにくくてｽﾏｿ｡
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ありゃ？考え直します
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なぜ背理法なのかがわからない…
>>312のQは
「Q≠φであってもf^(-1)(Q)=Φとなることはあり得る。」
の一例を提示してるんですよね？？？
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>>317
背理法でf^(-1)(Q)=Φを示した。=Φっていうのを示すのに背理法しか
思いつかなかったんだけど、変かな？
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>>318
９は
Q={b｜∀x∈A(f(x)≠b)}
が空集合とは限らないっていいたかったのかな。
実際、f(A)=BならQ=Φですよね。
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バンハ。
>>319
あ、それも思いましたし、他にもなんか引っかかるトコが…
でも自分の頭の中で整理されていないって感じです
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>>319
"このようなQでかつQが空集合でないとき"と付け加えればよいでしょうか？
一例を示せばよいので。
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>>320
なんでも思いつくまま言ってｸﾚｸﾚ
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>>321
一例を実際に示したほうがいいでしょうね。
コンスタントマップのときとか。
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>>323
そうですね・・・
中途半端にややこしくしてしまいました
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そういうことっすね。
これで先に進めますか？？？
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>>325
OKなの？なんか変なところない？
ｽﾏｿ｡(4.2)が証明できないので、途中だけど交代してもらえませぬか？
甘い？だめ？
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>>326
じゃあここで交代しまつ。
明日は一日暇なので頑張ってどんどん進めます。
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ｽﾏｿ｡頼みます。
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定理3で苦戦中。もうしばらくお待ちください…
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定理3 fをAからBへの写像とするとき、
fによる像および原像について、次のことが成り立ちます。
# P, P_1, P_2 はAの部分集合、Q, Q_1, Q_2 はBの部分集合。
(4.1). P_1⊂P_2 ⇒ f(P_1)⊂f(P_2).
(4.2). f(P_1∪P_2)＝f(P_1)∪f(P_2).
(4.3). f(P_1∩P_2)⊂f(P_1)∩f(P_2).
(4.4). f(A−P)⊃f(A)−f(P).
(4.1)' Q_1⊂Q_2 ⇒ f^(-1)(Q_1)⊂f^(-1)(Q_2).
(4.2)' f^(-1)(Q_1∪Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∪f^(-1)(Q_2).
(4.3)' f^(-1)(Q_1∩Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2).
(4.4)' f^(-1)(B−Q)＝A−f^(-1)(Q).
(4.5). f^(-1)(f(P))⊃P.
(4.5)' f(f^(-1)(Q))⊂Q.
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先に補題を用意しておきます。
【補題1】 f(P^c)⊃f(P)^c.
［補題1の証明］
できない…感覚としては自明的に成立なんですけどｗｗｗｗ
誰か代わりにやってくれませんか。
【補題2】 f^(-1)(Q^c)＝(f^(-1)(Q))^c.
［補題2の証明］（以下、普遍集合をAとする。）
f(a)∈Q, f(a)∈Q^c のどちらか一方のみが真なので、
f^(-1)(Q^c)＝{a| f(a)∈Q^c}＝{a| f(a)∈Q}^c＝(f^(-1)(Q))^c. （終）
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［(4.1)の証明］
P_1⊂P_2 ならば、すべての b∈f(P_1) に対して
b∈f(P_1) ⇔ ∃a∈P_1(f(a)=b) ⇒ ∃a∈P_2(f(a)=b) ⇔ b∈f(P_2)
が言えるから、f(P_1)⊂f(P_2). （終）
［(4.1)'の証明］
(4.1)で f→f^(-1), P_1→Q_1, P_2→Q_2 と置き換えれば直ちに示される。（終）
［(4.2)の証明］
b∈f(P_1∪P_2) ⇔ (∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b)
⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)} ⇔ b∈f(P_1)∨b∈f(P_2). （終）
［(4.2)'の証明］
(4.2)で f→f^(-1), P_1→Q_1, P_2→Q_2 と置き換えれば直ちに示される。（終）
［(4.3)の証明］
(2.2)'より P_1∩P_2⊂P_1 であるから、(4.1)によって f(P_1∩P_2)⊂f(P_1).
同様して f(P_1∩P_2)⊂f(P_2).
したがって(2.3)'より f(P_1∩P_2)⊂f(P_1)∩f(P_2). （終）
# 等号は必ずしも成立しません。
ex) f が値 b_0 の constant map で P_1∩P_2＝φ の場合、
f(P_1∩P_2)＝φ, f(P_1)∩f(P_2)＝{b_0}.
［(4.3)'の証明］
a∈f^(-1)(Q_1∩Q_2) ⇔ f(a)∈Q_1∩Q_2 ⇔ f(a)∈Q_1 ∧ f(a)∈Q_2
⇔ a∈f^(-1)(Q_1) ∧ a∈f^(-1)(Q_2) ⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2). （終）
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［(4.4)の証明］ 補題1より、
f(A−P)＝f(A∩P^c)＝{b| (∃a∈A∩P^c)(f(a)=b)}＝{b| ∃a∈A(f(a)=b)}∩{b| ∃a∈P^c(f(a)=b)}
＝f(A)∩f(P^c)⊃f(A)∩f(P)^c＝f(A)−f(P). （終）
［(4.4)'の証明］ 補題2より、
f^(-1)(B−Q)＝{a| (∃b∈(B−Q))(f(a)＝b)}＝{a| (∃b∈(B∩Q^c))(f(a)＝b)}
＝{a| ∃b∈B(f(a)＝b)}∩{a| ∃b∈Q^c(f(a)＝b)}＝A∩f^(-1)(Q^c)＝A−f^(-1)(Q). （終）
［(4.5)の証明］
a∈P ⇒ f(a)∈f(P) ⇒ a∈f^(-1)(f(P)). （終）
# 等号は必ずしも成立しません。
ex) f を値 b_0 の constant map, PをAの真部分集合とすれば、f^(-1)(f(P))＝A≠P。
［(4.5)'の証明］
b∈f(f^(-1)(Q)) ⇒ (∃a∈f^(-1)(Q))(f(a)=b).
ここで a∈f^(-1)(Q) ⇔ f(a)∈Q であるから、b∈Q. （終）
# この場合も等号は必ずしも成立しません。
ex) Bを2つ以上の元を含む集合、f を値 b_0 の constant map、Q＝B としたとき、f(f^(-1)(Q))＝{b_0}≠B(＝Q)。
以上でA)は終わりです。補題1だけ誰かおながいしまつ。
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えーと、、、とりあえずageておきますね。
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＞(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}
＞{b| (∃a∈A∩P^c)(f(a)=b)}＝{b| ∃a∈A(f(a)=b)}∩{b| ∃a∈P^c(f(a)=b)}
この２つがどうして成り立つといえるのか教えてください。
上のやつは∪を∩に、∨を∧にしても成り立つのでしょうか？だとすれば(4.3)は=になるような気がするんですが。
下のやつが成り立つのならば(4.3)は=になるような気がするんですが。
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P^c、Q^cの全体集合は何でしょうか？
f(P^c)、f^(-1)(Q^c)が定義されるためにはP^cはAの部分集合、Q^cはBの部分集合
である必要があると思うんですが。
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PのときはA、QのときはBですか。
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(4.3)の証明はp32にはf^(-1)(Q1∩Q2)⊂f^(-1)(Q1)∩f^(-1)(Q2)を示してる
部分があるけど、これって要らないような気がするんですが、どうでしょう？
９も書いてなかったけど。
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>>335
＞(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}
これは、a∈(P_1∪P_2) ⇔ a∈P_1∨a∈P_2 より自明ではないでしょうか。
この同値変形をあえて日本語で解釈するのなら、
左側は「P_1またはP_2に属するaが存在して、f(a)=bとできる」
右側は「P_1に属するaが存在して、f(a)=bとできるか、または
P_2に属するaが存在して、f(a)=bとできる」
となると思います。
＞{b| (∃a∈A∩P^c)(f(a)=b)}＝{b| ∃a∈A(f(a)=b)}∩{b| ∃a∈P^c(f(a)=b)}
これマズいですね…すいません。
たぶん (左辺)⊂(右辺) になりますね。うーん。
＞上のやつは∪を∩に、∨を∧にしても成り立つのでしょうか？だとすれば(4.3)は=になるような気がするんですが。
うーん。「または」「和集合」のときだけ成り立つような気がします。
ちょっと考える時間をください。
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>>336
P^cの全体集合はA, Q^cの全体集合はBとしました。
一応>>330の3行目にも書いておきましたがわかりにくかったですね。ｽﾏｿでした
>>338
俺は要らないと思ってあえて書きませんでしたが
どこかに先ほどのようなミスがあるかも…
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>>331
【補題1】の証明.
f:R→R,f(x)=e^xとし、P=(0,∞)とすると
f(P)=(1,∞),f(P)^c=(-∞,1],P^c=(-∞,0],f(P^c)=(0,1]で
f(P^c)⊃f(P)^cとはならないのでは
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すいません。>>331の
【補題1】 f(P^c)⊃f(P)^c.
ですが、P^cの全体集合はA, f(P)^cの全体集合はf(B)（=V(f)）です。
>>341の例の場合だと、
f: R→R, f(x)=e^x, P=(0, ∞) のとき
f(R)＝(0, ∞), f(P)＝(1, ∞), f(P^c)＝(0, 1] なので
f(P^c)＝f(P)^c になります。
f が単射じゃないときに、f(P^c)⊃f(P)^c になると思います。
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あ、、つーか【補題1】って(4.4)そのものですね…
うぐ。。。
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>>332
(4.2)',(4.3)'の証明で
fをf^(-1)で置き換えるといってますが
写像を写像でないかもしれないもので置き換えることになるかも知れません。
あと細かい話で前にもいったと思いますが
「f→f^(-1)と置き換える」という表現は「fをf^(-1)で置き換える」といったほうが
やはり誤解が少ないと思いますよ。
>>333
(4.4)'は(4.3)'が示せてるなら【補題2】を使って
f^(-1)(B-Q)=f^(-1)(B∩Q^c)=f^(-1)(B)∩f^(-1)(Q^c)
=f^(-1)(B)∩(f^(-1)(Q))^c=A-f^(-1)(Q)でいいんじゃないですか。
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>>338
いらないと思います。９の証明も正しいし
松坂の証明も正しいと思いますよ。
(2.2)'(2.3)'(4.1)が使えることを教育的に示したかったのかな。
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＞【補題2】 f^(-1)(Q^c)＝(f^(-1)(Q))^c.
［補題2の証明］（以下、普遍集合をAとする。）
f(a)∈Q, f(a)∈Q^c のどちらか一方のみが真なので、
f^(-1)(Q^c)＝{a| f(a)∈Q^c}＝{a| f(a)∈Q}^c＝(f^(-1)(Q))^c. （終）
最後の式ですが、Q^cの全体集合はBで、{a| f(a)∈Q}^cの全体集合はAですよね。
こういうのはアリなんでしょうか？
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>>346
a∈{a| f(a)∈Q^c}⇔f(a)∈Q^c⇔¬(f(a)∈Q)⇔¬(a∈{a|f(a)∈Q})
⇔a∈{a|f(a)∈Q}^c
では納得いきませんか。
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>>347
９のも先生のも納得いきます。
ただ、途中で全体集合が変わってもいいのかな？と思った次第です。
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>>348
X, Yを集合とします。A⊆X,B⊆Y。
φ:2^X→2^X,ψ:2^Y→2^Y
を考えたときφ(X-A)=ψ(Y-B)となることはあっても
不思議じゃないのではないでしょうか。
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すいませんわかりました。何も問題ないですよね。
また2ch見れない・・・いかりや長助の死因は何だったんでしょう？
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>>350
ttp://dailynews.yahoo.co.jp/fc/domestic/obituary/
です。
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>>351
ありが㌧。
親父も癌だけに気になる・・・
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>>344
前半；すいません、マズかったですね。
てっきり f^(-1) も写像だと思い込んでて…
でも証明過程は同じでいいですよね？？
後半；納得です。
>>345
了解です。
えーっと、とりあえずこれだけでしょうか？
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さくらスレの>>133〜見てね
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(4.2), (4.2)', (4.3)', (4.4) が未解決ってことですね。
後でもう一度まとめてみます。
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定理3（一部のみ・再掲） fをAからBへの写像とするとき、
fによる像および原像について、次のことが成り立ちます。
# P, P_1, P_2 はAの部分集合、Q, Q_1, Q_2 はBの部分集合。
(4.2). f(P_1∪P_2)＝f(P_1)∪f(P_2).
(4.2)' f^(-1)(Q_1∪Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∪f^(-1)(Q_2).
(4.3)' f^(-1)(Q_1∩Q_2)＝f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2).
(4.4). f(A−P)⊃f(A)−f(P).
［(4.2)の証明］
>>332を参照。それに対する疑問は>>335、返答は>>339
［(4.2)'の証明（改訂）］
a∈f^(-1)(Q_1∪Q_2) ⇔ ∃b∈(Q_1∪Q_2)(f(a)=b)
⇔ {∃b∈Q_1(f(a)=b}∨{∃b∈Q_2(f(a)=b)}
⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∨a∈f^(-1)(Q_2) ⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∪f^(-1)(Q_2). （終）
［(4.3)'の証明］
>>332を参照。特にマズい点は見当たりませんが…
［(4.4)の証明］
うーん、わかんなくなってきた。どうしたらいいんでしょうか。
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>>354
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
のスレのことをさくらスレって言うんですか？なんでやろ
>>356
(4.4)のf(A-P)だのf(A)だのf(P)だのの普遍集合はBなんでしょう？
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>>356
(4.2)ですが、
(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)} は成り立つのに
(∃a∈(P_1∩P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∧{∃a∈P_2(f(a)=b)} が成り立たないのはなぜなんでしょう？
>>357
なんででしょ？数学板でそう呼んでるんで使ってみたんですが、理由は知りません。
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>>358
どうしよう。もうちょっと考えてみませんか？
(あまり機械的に考えないようにすれば分かるのでは)
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拳宅じゃんくて自宅ですた。>>357以降。
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>>357
はい、それらの普遍集合はBです。
>>358
それ、論理式で厳密に示すことができない。。
fが単射のときは下のやつも成り立つと思うんですけど。
なんか、写像の1つの特色ですよね。
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途中抜けますたｽﾏｿ
なんか、（「または」と「かつ」で様子が違ってくるのは）写像の1つの特色ですよね。
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(4.4)はどうしよう。そんなに困らないと思ったけど…。
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>>362
どこかに書いたけど、逆像なら比較的ラフに扱えるんですがね。
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>>363
Aの像からPの像を取り除いた集合が、
(A−P)の像全体に含まれるんですよね。
自分の頭の中では、感覚的にはほぼ自明なんですけど、
式で示そうと思うと…。
>>358のやつも頭では理解してるっぽいんだけど、
式にできないんです。
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>>365
えーっとね。できるだけ自明って言葉は使わないことにしませんか？
「説明できないことと自明なことってのは別だよ」って指導教官にいわれてた人がいました。
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>>366
あ、はい。もちろんそれも解かってます。
(4.4)と>>358もう一度考えてみます。
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むぅぅ
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＞LAR-men氏
(4.4)できます？？？俺はもう全然だめぽなんですけど…
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9ｶﾞﾃﾞｷﾅｲﾉﾆｵﾚｶﾞﾃﾞｷﾙﾜｹﾈｰﾖ
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工エｴェｪ(´д｀)ｪェｴエ工
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二つの同じ文字が出てきたらそれらは普通同じものだと思ってしまいますよね。
直接証明にこだわらなくても…
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工エｴェｪ（・３・）ｪェｴエ工
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(4.4). f(A−P)⊃f(A)−f(P).
⇔ B−f(A−P)⊂f(P)
？？？混乱するだけ・・・
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>>374
途中までは普通にA⊂B型の命題を証明する風に。
そんで、あとは…。
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うぐぅ。先に進めない
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>>376
(4.4)だけ私がしましょうか？
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>>377
>>358の上の疑問もおねげえしますだ
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おながいします
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>>378
(4.4)
x∈f(A)-f(P)⇔(x∈f(A))∧¬(x∈f(P))
⇔(∃a∈A;f(a)=x)∧¬(∃b∈P;f(b)=x)
⇔(∃a∈A;f(a)=x)∧(∀b∈P,f(b)≠x)
この条件のもとで
¬(x∈f(A-P))であるとすると
¬(x∈f(A-P))⇔¬(∃c∈A-P;f(c)=x)
⇔∀c∈A-P,f(c)≠x.
不合理.
>>358
x∈f(P_1)∩f(P_2)
⇔x∈f(P_1)∧x∈f(P_2)
⇔(∃b∈P_1;f(b)=x)∧(∃c∈P_2;f(c)=x).
これから
∃d∈P_1∩P_2;f(d)=x
はいえなくても不思議ではないのでは。
-
>>380
前半…うわぁぁっぁあああん納得ですー！！！！
後半…「または」の場合↓はなぜ言えるんでしょうか。
自明としてもいいんでしょうか。
(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b) ⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)}
-
>>380
納得です・・・
ふぅ。うぐぅ。
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>>381
えーっと。
考えてみませんか？
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>>380後半
b,c,dとか文字を変えて考えるべきでした。
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>>381
(∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=x) ⇔ {∃b∈P_1(f(b)=x)}∨{∃c∈P_2(f(c)=x)}
としたほうが誤解がなくてよいと思う
-
>>385
あ、なるほど〜。それだけでもずいぶん掴みやすくなりますね。
(左辺)⇒(右辺) は明らか、(右辺)⇒(左辺) は背理法でOKですね。
-
じゃ次いきますか
-
B) 全射、単射、全単射
fをAからBへの写像とすれば、写像の定義によって、その定義域D(f)は
始集合Aと一致するが、値域V(f)=f(A)は、一般には、終集合Bと一致しない。
特に、f(A)=Bが成り立つとき、fはAからBへの全射である、あるいは、fは
AからBの上の写像であるという。f:A→Bが全射であるというっことは、Bの
どの元bに対しても、f^(-1)(b)≠Φであること、すなわちf(a)=bとなるような
Aの元aが少なくとも1つ存在することにほかならない。
注意 上の語法に対応して、AからBへの一般の写像を、AからBの中への写像
ということがある。
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>>388
AからBの上の写像であるという。
→AからBの上への写像であるという。
ではないですか？
-
>>389
すいません。そうです。
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