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「集合・位相入門」輪読会
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§４ 写像に関する諸概念
A) 写像による像および原像
AからBへの１つの写像fが与えられたとする。
PをAの任意の部分集合とするとき、Pの元aのfによる像f(a)を全部集めてできる集合、より正確に言えばf(a)=bとなる
Pの元aが(少なくとも1つ)存在するようなBの元b全体からなる集合を、fによるPの像といい、f(P)で表す。すなわち
f(P)={b｜∃a∈P(f(a)=b)}
もちろんf(P)はBの部分集合である。特に、定義域Aのfによる像f(A)は、明らかに、fの値域V(f)と一致する。
Pが内包的記法によってP={a｜C(a)}のように表されているときには、f(P)をf(P)={f(a)｜C(a)}と書くこともある。
たとえば、明らかにP={a｜a∈P}であるから、f(P)={f(a)｜a∈P}。特にf({a})={f(a)}(対応の特別な場合としての写像の本来の
定義では、この右辺が、fによるaの像であった)なお、f(P)=Φ⇔P=Φであることは、いうなでもない。
QをBの任意の部分集合とするとき、Aの元で、その像がQの中にはいるようなもの全体の集合を、fによるQの原像または逆像といい、f^(-1)(Q)
で表す。すなわち、
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