金融工学　初歩の初歩

1：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:56: １．計量分析

１．１　時間価値

・将来価値（ＦＶ）＝ＰＶ（１＋ｒ）＾ｎ
・現在価値（ＰＶ）＝ＦＶ／（１＋ｒ）＾ｎ
・年金の将来価値（ＦＶＯＡ）＝ＰＭＴ［（１＋ｒ）＾ｎ－１］／ｒ
　※ＰＭＴ：定額年金
・年金の現在価値（ＰＶＯＡ）＝（ＰＭＴ／ｒ）［１－（１＋ｒ）＾（－ｎ）］
　※ＰＶＰＥＲ＝ＰＭＴ／ｒ
　※ＰＶＰＥＲ：永久年金のＰＶ
・ＦＶ＝ＰＶ・ｅ＾ｒｎ
　※ｅ：自然対数の底
　※上式は、連続複利計算によるＦＶの算出式
・ＰＶ＝ＦＶ・ｅ＾（-rn）

［追加］
・永久年金のＰＶは定額年金を金利（ここではあらかじめ与えられていると仮定する）ｒで除算したものに等しいから、
　ＰＶＰＥＲ＝ＰＭＴ／ｒ
・これをｎ年後の将来価値に置き換えると
　（ＰＭＴ／ｒ）・（１＋ｒ）＾ｎ　・・・（Ａ）
・これに対し、ｎ年経過時点におけるＰＭＴの現在価値は、（ｎ＋１年後以降も金利ｒは不変と仮定しているので）
　（ＰＭＴ／ｒ）　　　　　　　　　・・・（Ｂ）
　となり、当初求めた現在価値と変化しない。
・したがって、ｎ年間にわたりＰＭＴを受け取る場合の将来価値は
　（ＰＭＴ／ｒ）・｛（１＋ｒ）^n－１｝
・これとは逆に現在価値を求めると
　ｎ＋１年以降の年金の現在価値を０時点での年金の現在価値から差し引けば良いのであるから、
　（ＰＭＴ／ｒ）・｛１－（１＋ｒ）^(-n)｝
2：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:56: １．２　省略
１．３　確率（基礎）

・期待収益率（expected rate of return）
　　E(x)=Σ｛p(xi)*xi｝
　※ｘ：確率変数（random variable）
　※確率変数は「平均値」と「分布具合」により測定可能
　※確率変数の平均値（mean）＝期待値（expectaion）
・分散（Variance）＝σ^2(x)＝Σ［p(xi)＊｛xi－E(x)｝^2］
・標準偏差（standard deviation）＝σ(x)＝V(x)^(1/2)
　※分散あるいは標準偏差の相対的な値が大きい場合、これを「リスクが高い」と表現する。
・ポートフォリオの期待収益率
　　E(Rp)＝W1*E(r1)＋W2*E(r2)
　※上式は、２証券（r1とr2）から構成されるポートフォリオのケース
　※一般式は、E(Rp)＝ΣWi*E(ri)
・ポートフォリオの分散
　　V(Rp)＝W1^2*V(r1)＋W2^2*V(r2)＋2*W1*W2*cov(r1,r2)
　　　　＝W1^2*σ(r1)^2＋W2^2*σ(r2)^2＋2*w1*w2*ρ(r1,r2)*σ(r1)*σ(r2)
　※cov(r1,r2)：２証券（r1,r2）の共分散
　※ρ(r1,r2)　：２証券（r1,r2）の相関係数
　※ρ(r1,r2)＝cov(r1,r2)／｛σ(r1)*σ(r2)｝
　　∴－１≦ρ(r1,r2)≦１
・チェビシェフの不等式(Chebyshev's inequity)
　　P(｜X－μ｜≧λ*σ)≦1/λ^2
　※確率変数と平均値との乖離幅がσのλ倍以上となる確率は1/λ^2以下である。
　※言い替えれば、確率変数と平均値との乖離幅がσのλ倍以下となる確率は（１－1/λ^2）以下となる。
　※チェビシェフの不等式は、確率分布の形を問わない。（もちろん、正規分布等にこだわる必要がない。）
3：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:57: １．４　正規分布

・正規分布（Normal distribution）
・特徴
　①釣鐘型（Bell shape）
　②左右対称（Symmetry）
　③平均値（μ）は、常に中央
　④左右の裾は限りなくゼロに近づく（だが、ゼロにはならない）（Asymptotic）
　⑤中心から±σの範囲内に全体の約68％が含まれる。
　⑥中心から±2σの範囲内に全体の約95％が含まれる。
　⑦信頼区間では
　　　90%＝±1.645σ
　　　95%＝±1.96σ
　　　99%＝±2.58σ
　⑧歪度はゼロ
4：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:57: １．５　標準化正規分布

・正規分布の取り扱い上の問題点である「平均値と標準偏差の大きさにより分布の位置と広がりが異なる」ことを解消すること
・標準化（Normalization）
　※μ＝0、σ＝1とする
・標準化正規変数（standardized normal variable）
　　z＝（x－μ）／σ
　※z値を用いることにより、例えば、次のような事例にも適用できる。
　　μ＝10％、σ＝５％のとき、少なくとも収益率がマイナスにならない可能性
　　　ｚ＝(0－10)／5＝-2
　　　正規分布上、-2σ以上となる可能性は、単純に考えて1-(1-0.95)/2＝0.975→97.5%
5：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:57: 1.6　標準誤差

・標準誤差（Standard error of the sample mean）
　※標本抽出の過程において算定された複数の平均値xは、母集団の平均値μに近似する分布を構成する
　※平均値xは、標本サイズｎが大きくなるにしたがって正規分布に近似する
　※平均値xの分布上の平均値μ(x)と当該分布の標準偏差σ(x)は、次のような性質を有する
　　　μ(x)＝μ
　　　σ(x)＝σ／n^(1/2)　←　σ(x)は（標本数^(1/2)）に反比例する
　　言い替えれば、観測のための標本数が大きくなればなるほど、σ(x)≒σの関係に近づく
　※中心極限定理による解釈
　　どのような分布であっても、xはnの増大に比例して、μ、σ/ｎ^(1/2)の正規分布に近似する
6：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:57: １．７　区間推定と信頼限界

・信頼係数(confidence coefficient)
・有意水準(significant level)
　　有意水準＝１－信頼係数
・信頼限界(confidence limit)
・μの下方信頼限界　μL＝x－z＊σ／n^(1/2)
　※z値の公式から
　　　z＝(x－μ(x))／σ(x)
　　ここで標本平均及び標準誤差を導入して
　　　ｚ＝(x－μ)／（σ／ｎ^(1/2)）
　　これを展開して
　　　μ＝x－z＊σ／n^(1/2)
・μの上方信頼限界　μU＝x＋z＊σ／n^(1/2)
　※信頼係数95%のとき
　　　μU＝x＋1.96σ／n^(1/2)
・母平均の区間推定値
　　x－z*σ／n^(1/2)≦μ≦x＋z*σ／n^(1/2)
　※標本平均値xには、±z*σ/n^(1/2)の誤差が含まれているといえる。
7：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:58: １．８　仮説検定

・帰無仮説（Null Hypothesis）＝Ｈ0
・対立仮説（Alternative Hypothesis）＝Ｈ1
　※仮説検定は、H1を証明するために、これと相反するH0を立て、H0があり得ない（少なくとも統計上は有意（significant）である）ことを証明し、これを棄却（reject）することによって間接的にH1を証明しようとするものであり、背理法の一種である。
　※z値に注目し、正規分布上のz値と標本から算出したz値の比較により統計上の優位性を検証することが多い。　
　※あくまで仮説検定は正しいか否かを推定するにとどまるものである。
・TypeⅠerror：事実は真である仮説を棄却してしまう（reject）エラー
　※このタイプのエラーをIRT（I reject True.）ともいう。
・typeⅡerror：事実は偽である仮説を受け入れてしまう（accept）エラー
8：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:58: １．９　仮説検定

・標本数が少数であるとき、t値による仮説検定（t-test）を行う。
・ｔ分布における自由度＝標本数n-1
・ｔ分布の特徴は次のとおり。
　①自由度が小さいほど、t分布は正規分布よりも広がりが大きい
　②自由度が大きいほど、t分布は正規分布に近づく
　③自由度が無限大のとき、ｔ分布は正規分布に一致する
・t値の算出式
　　ｔ(n-1)＝(x－μ)／(s／n^(1/2))
　ただし、s：標本標準偏差
・t検定は、上式から求めたt値（※実際にはt値の一覧表から求める）が臨界点(critical value)を超えているかどうかで有意であるか否かを判断する
・正規分布を前提とするか、それともt分布を前提とするのかの違いは、z値(=（x－μ）／σ*n^(1/2))では母集団の標準偏差（σ）を用いるのに対して、t値（=(x－μ)／s*n^（1/2））では標本の標準偏差(s)を用いているところである。
　※言い替えれば、「標本平均－母平均」という誤差を、標準誤差で除算する、という考え方そのものは同じである。
9：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 18:09: １．１０　カイ二乗検定

・分散σ^2の検定を行う場合には、カイ二乗検定（Chi-squared test）を用いる。
・カイ二乗分布　X^2＝(n-1)s^2／σ^2
　ただし、s^2：標本の分散
　　　　　σ^2：仮説の分散
　　　　　n　：標本数
・カイ二乗分布表から臨界値（critical value）を求め、与えられたデータから求めたカイ二乗（X~2）との大小比較を行い、統計上有意にX^2が臨界値から乖離していれば、HOを棄却(reject)し、H1を採用する。
10：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 20:55: １．１１　Ｆ検定

・二つの標本から算定した分散の大小の必然性に関する検定
・Ｆ＝s1^2／s2^2
　ただし、s1>s2
・常に分子（numerator）に分母（denominator）よりも大きい数が置かれるので、Ｆ＞１の関係が成立する。
・ｆ分布（F-distribution）の例えば5%有意水準に対応する棄却域の臨界値（critical value of the distribution at 5percent of significant）を設定し、データから求めたＦ値（＝s1^2／s2^2）の値が棄却域にあるのか否かでHOを棄却する（reject H0）のか、受け入れる(fail to reject HO)のかを決定する。
11：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 21:04: １．１２　相関係数

・共分散(Covariance)　
　　Cov(x,y)＝｛1/(n-1)｝Σ｛(xi－μ(x)）(yi－μ(y))｝
・相関係数(Correlation coefficient)＝ρ
　　ρ＝Cov(x,y)/（σ(x)*σ(y)）
　※－1≦ρ≦１
　※ρが-1に近いほど、負の相関関係にある（第２象限及び第４象限に集中）
　※ρが１に近いほど、正の相関関係にある（第１象限及び第３象限に集中）
12：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/17(月) 00:11: １．１３　回帰分析

・回帰分析(regression statistic)
相関関係を示した散布図等に基づき、当てはまりの良い曲線（直線を含む。）を導出する方法
・独立変数(independent variable：原因変数ともいう。)をx、従属変数（dependent variable：結果変数ともいう。）をyとして、回帰直線を推定(linear regression)すると次式のようになる
　　y＝α＋βx
　ただし、α：切片(intercept)、β：傾き(slope coefficient)
　※βは最小二乗法(least square method)により推定することが多い
・最小二乗法による推定
　　β＝Cov(x,y)/σ(x)^2
　すなわち、xとyの共分散をxの分散で除算するわけである
・実測値と推定値の乖離については、誤差(error)又は残差(residual又はstandard error of estimate＝unsystematic risk)として、次式のように反映される
　　y(i)＝α＋βx＋ei
　ただし、ei：残差項
・残差項eiは独立した変数であり、Ｅ(ei)＝０、σ(i)の正規分布に従う
　※最小二乗法そのものが、min［ei^2］となる回帰線を求めることに他ならない
13：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/17(月) 00:11: 1.14　決定係数

・決定係数（R^2）
　回帰式の説明力を表す尺度
・変動要因
　回帰式そのものは、散布図にプロットされた点との近似を推定するものである
　したがって、実測されたyiの変動は、回帰直線上にある推定値ｙi~の変動と誤差eiの変動から構成される
　　Σ(yi-μ(y))^2＝Σ(yi~－μ(y))^2＋Σei^2
　　全変動(SST)　＝推定値変動(SSR) 誤差変動(SSE)
　※SST：sum of square total
　※SSR：sum of square regression
※SSE：sum of square error
・SST＝SSR＋SSE
　これをSST(全変動)で除算すると
　　1＝SSR/SST＋SSE/SST
　このうち、SSR/SSTを決定係数といい、全変動に占める推定値の変動の割合を意味する
　　SSR/SST＝Ｒ^2　(Ｒ-squared)
・Ｒ^2＝SSR/SST＝1－SSE/SST
　　　＝Σ(yi~－μ(y))^2／Σ(yi－μ(y))^2＝1－Σei^2／Σ(yi－μ(y))^2
・決定係数Ｒ^2の取り得る範囲
　　0≦Ｒ^2≦1
・Ｒ^2＝ρ^2
　決定係数は相関係数の2乗に等しい
14：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/17(月) 00:12: ◇これまでの簡単なまとめ

〔期待値について〕

・確率論でいうところの期待値は、事象が発生した場合の結果（成果）に当該事象の発生確率を乗じた加重平均値である。

〔分散・標準偏差について〕

・分散(variance)と標準偏差(standard deviation)は、確率変数（random variable）であるxが、その期待値であるμ(x)を中心として、どのように分布しているのかを示す指標である。
・分散（Variance）＝σ^2(x)＝Σ［p(xi)＊｛xi－E(x)｝^2］
　※分散の単位：％^2（パーセントの二乗）
・標準偏差（standard deviation）＝σ(x)＝V(x)^(1/2)
　※標準偏差の単位：％

〔共分散について〕

・共分散(covariance)
　２変数間における相関の強度を示す尺度
・σ(x,y)＝Cov(x,y)＝Ｅ[(x－μ(x))*(y－μ(y))]
　ただし、μ(x)及びμ(ｙ)は、確率変数xとyの期待値

〔相関係数について〕

・相関係数(correlation coefficient)
　-1から1までの範囲の数値を取り、当該数値の大小によって、2変数間の相関強度を表す
・ρ(x,y)＝cov(x,y)／[σ(x)*σ(y)]
・-１≦ρ(x,y)≦1
・ρ＝0のとき、2変数は完全に独立であるという
15：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/23(日) 01:14: ダメだ・・・マルコフ連鎖・・・わからねぇ・・・

金融工学 初歩の初歩