『解析概論』輪読 - 1122386530

『解析概論』輪読

68：RSKTTM：2005/09/07(水) 03:06:03: 試験は終わりましたが今日から運転免許取りにまた合宿に行かなくてはならないので・・・はぁ
とりあえず今までの部分のコメントを。

>>15の定理3. の証明は、{n(k)}を自然数の値をとり+∞に発散する数列としても、
同様の議論が成り立つので、そうするとある意味で定理3. が拡張できたことになります。

>>26
たしかにそうですね。本文(P.3)によれば「どんな数も・・・一方"のみ"に属する」とありますから。
こんな風に考えるのはどうなんでしょうか。
x∈Aかつx∈Bなる実数xが存在したとする。このとき実数の切断の定義（>>3の(鄴)）より
x<xでなければならないが、これは矛盾である。
ゆえにA∩B=∅ฺ.

よく言われることですが、>>28, >>29でnが十分大きいときの数列の"強さ"の比較ができます。
すなわちn^k<<a^n<<n!.

>>31
本文中には「古典数学では、それ（{(1+1/n)^n}）の極限値をもってeなる数の定義とした。」
とありますが、今ではΣ[n=0,∞](1/n!)をeの定義にしているのでしょうか。

>>33
10～13行目で、ここが正しいのは分かるのですが、すでにlim[n→∞](a_n)=α, lim[n→∞](b_n)=β
の存在が分かっているので、定理5. を直接使って
0=lim[n→∞](b_n-a_n)=lim[n→∞](b_n)-lim[n→∞](a_n)=β-α.
∴α=β.
というのは駄目なんでしょうか。
{a_n}も{b_n}も収束するとき、もしその極限値が違ったら、定理5. より{b_n-a_n}の極限は
0になりません。
あと本文中に「α以外に各区間に共通なる数の存在しないことは仮定(2°)によって明白である。」
とありますが、僕にとってはそんなに明白ではありませんでした（なかなか直感が働かないので）。
これが「lim[n→∞](a_n)=lim[n→∞](b_n)=αによって明白である」と書いてあるのなら、かなり明白です。
例えばx<αなる実数xも全ての区間に共通だとすると、lim[n→∞](a_n)=αよりx<a_n<αなるa_nが
存在するはずなので矛盾します。
※仮定(2°)とはlim[n→∞](b_n-a_n)=0のこと。

>>36
この条件にある「任意のε>0に対応して番号n_0が定められて
p>n_0, q>n_0なるとき|a_p-a_q|<ε」を満たす数列{a_n}をCauchy列または基本列といいます。

>>37
5行目の「これは{a_p;p∈N,k≧n_0+1}⊂…」のところのkはpでよいのではないでしょうか。
あと6～10行目のlはmだと思います（l_n=sup{a_n, a_(n+1), …}だから）。

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