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『解析概論』輪読

28：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:07:38
例２.
a>1,k>0ならばlim[n→∞](a^n/n^k)=∞.

証明
k=1のとき
a^n=(1+(a-1))^n>nC2(a-1)^2=(a-1)^2n(n-1)/2より
a^n/n^k>{(a-1)^2(n-1)/2}.
任意のMに対して{2M/(a-1)^2}+1より大なる自然数nをとれば,
M<(a^n/n^k)となるのでlim[n→∞](a^n/n^k)=∞.
0<k<1のときはn^k≦nであるので(a^n/n^k)≧(a^n/n)>{(a-1)^2(n-1)/2}.
任意のMに対して{2M/(a-1)^2}+1より大なる自然数nをとれば,
M<(a^n/n^k)となるのでlim[n→∞](a^n/n^k)=∞.
1<kのとき,a^(1/k)>1.よって任意の1より大きいMに対して,ある一定以上の自然数nで
(a^n/n^k)=[{(a^(1/k))^n/n}]^k>M^k>Mだから
lim[n→∞](a^n/n^k)=∞.■
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