『解析概論』輪読

33：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:10:35: 証明
I_(n+1)⊆I_nが各自然数nに対して成り立つことより
a_1≦ a_2≦… a_n<b_n≦b_(n-1)≦…≦ b_1,
すなわち数列{a_n}は有界な単調増加数列,{b_n}は有界な単調減少数列である.
定理>>20より{a_n},{b_n}は極限値lim[n→∞]a_n=α,lim[n→∞]b_n=βを持つ.
m,nを自然数とするとn≦mならばa_n≦a_m<b_m≦b_n,
n>mならばa_m≦a_n<b_n≦b_m.いずれにしてもa_n≦b_m.
mを固定してn→∞とすればα≦b_m.
mは任意の自然数であるからm→∞としてα≦β.
lim[n→∞](b_n-a_n)=0なので,任意の正の数ε>0に対してある自然数n_0が存在し,
n>n_0のとき0≦ b_n-a_n<εが成り立つ.
ここでn→∞とすれば定理5(2)により0≦β-α<ε.
これはβ=αであることを示している.
m,nを任意の自然数としてa_n≦b_mであるが,mを固定してn→∞とすればα≦ b_m,
nを固定してm→∞とすればa_n≦α.
したがって任意の自然数m,nに対してa_n≦α≦b_m.
とくにm=nとすれば,任意の自然数nに対してα∈I_n.■

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