『解析概論』輪読

31：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:09:17: 例５.
数列{(1+(1/n))^n}は収束する.
lim[n→∞](1+(1/n))^n=eとすると2<e<3.

証明
a_n=(1+(1/n))^nとおくとすべての自然数nで
a_n=Σ[k=0,n](nCk/n^k)
=1+Σ[k=1,n]{n(n-1)…(n-k+1)/ n^k･ k!}
=1+Σ[k=1,n]1･(1-{1/ n})…(1-{k-1/ n})･{1/ k!}
≦1+Σ[k=1,n]1･(1-(1/(n+1)))…(1-((k-1)/(n+1)))･(1/k!)+(1/(n+1)^(n+1))
=1+Σ[k=1,n+1](n+1)Ck/(n+1)^k=a_(n+1)
であるから{a_n}は増加数列.
2=a_1≦a_n=Σ[k=0,n](nCk/n^k)=2+Σ[k=2,n](nCk/n^k)
=2+Σ[k=2,n]1･(1-(1/n))…(1-((k-1)/n))･(1/k!)
≦2+Σ[k=2,n](1/k!)=(5/2)+Σ[k=3,n](1/k!)
≦(5/2)+(1/2)Σ[k=3,n](1/3^(k-2))
=(5/2)+(1/2)･(1/3)･(1-(1/3^(n-1)))/(1-(1/3))<(11/4)<3
となるので{a_n}は有界で2,3はそれぞれ{a_n;n∈N}のひとつの下界と上界.
したがって定理>>20と定理４の証明の後段より 2≦e≦(11/4)<3.
実際には2=a_1<a_2<a_3<…だからe≠2.■

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