『解析概論』輪読

36：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:37:42: 6. 収束の条件 Cauchyの判定法
定理
数列{a_n}が収束するための必要十分条件は,
任意の正の数εに対して,自然数n_0が存在し,p>n_0かつq>n_0ならば|a_p-a_q|<ε
が成り立つことである.

証明
数列{a_n}がある数αに収束するなら,任意の正の数εに対して,自然数n_0が存在し,
n>n_0であるなら|a_n-α|<ε/2が成り立つ.よってp>n_0かつq>n_0であるなら
|a_p-a_q|≦|a_p-α|+|a_q-α|<εが成り立つ.
数列{a_n}が,任意の正の数εに対して,自然数n_0が存在し,p>n_0かつq>n_0ならば
|a_p-a_q|<εであるという条件を満たすならば,自然数Nが存在してp>Nのとき
a_N-1<a_p<a_N+1が成り立つ.
Mを{|a_1|,|a_2|,…,|a_N|,|a_N-1|,|a_N+1|}の最大数とすると,
すべての自然数nに対して|a_n|≦M.
自然数nに対してl_n,m_nを{a_k;k∈N,k≧n}のそれぞれ上限,下限とする.
m_(n+1)<m_nとするとm_(n+1)≦a_(n_1)<m_nを満たすn+1以上の自然数n_1が存在することになり,
m_nの定義に反するのでm_n≦m_(n+1).
同様の議論でl_(n+1)≦l_n.また,すべての自然数nに対して
m_n≦a_n≦l_nである.

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