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『解析概論』輪読

37：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:38:30
よってI_n=[m_n,l_n]とおくとI_(n+1)⊂I_n.
任意の正の数εに対して,自然数n_0が存在してp>n_0なら
|a_p-a_(n_0+1)|<ε/2がなりたつのでn_0以上の自然数pに対して
a_(n_0+1)-ε/2<a_p<a_(n_0+1)+ε/2.
これは{a_p;p∈N,k≧n_0+1}⊂(a_(n_0+1)-ε/2,a_(n_0+1)+ε/2)であることを示しており,
すべてのn_0+1以上の自然数pに対してl_(n_0+1)≦a_pであるのでl_(n_0+1)<a_(n_0+1)+ε/2.
また,l_(n_0+1)<a_(n_0+1)-ε/2とすればl_(n_0+1)≦a_q<a_(n_0+1)-ε/2なるn_0+1以上
の自然数qが存在することになってしまい,
{a_p;p∈N,k≧n_0+1}⊂(a_(n_0+1)-ε/2,a_(n_0+1)+ε/2)に反する.
よってl_(n_0+1)∈(a_(n_0+1)-ε/2,a_(n_0+1)+ε/2).
同様の議論でm_(n_0+1)∈(a_(n_0+1)-ε/2,a_(n_0+1)+ε/2).
したがって0≦l_(n_0+1)-m_(n_0+1)<ε.
n_0+1以上の自然数nに対してl_(n_0+1)≦l_n≦m_n≦m_(n_0+1)なので0≦l_n-m_n<ε.
定理>>32によりすべての自然数nに対してm_n≦λ≦l_nを満たす実数λが存在する.
lim[n→∞](l_n-m_n)=0より任意の正の数εに対して,
ある番号以上のnでλ-ε<m_n≦λ≦l_n<λ+ε,即ち,ある番号以上のnで
λ-ε<a_n<λ+εが成り立つ.
これはlim[n→∞]a_n=λであることを示している.■
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