『解析概論』輪読

15：RSKTTM：2005/07/31(日) 13:38:32: 定理3.

収束数列の部分数列は、元の極限値に収束する。

ここで部分数列というのをきちんと定義しておいたほうがよいでしょう。『解析入門』（杉浦光夫著）を参照します。

定義（部分数列）

自然数の値をとる数列{n(k)}(k∈N)が狭義単調増加であるとき、{a_n}から作られた数列{a_n(k)}を{a_n}の部分数列（あるいは部分列）という。

ただし狭義単調増加を次のように定義します。

定義（単調増加・単調減少）

数列{a_n}が全ての自然数nに対しa_n<a_(n+1)を満たすとき、{a_n}は狭義単調増加であるという。
数列{a_n}が全ての自然数nに対しa_n>a_(n+1)を満たすとき、{a_n}は狭義単調減少であるという。
数列{a_n}が全ての自然数nに対しa_n≦a_(n+1)を満たすとき、{a_n}は広義単調増加であるという。
数列{a_n}が全ての自然数nに対しa_n≧a_(n+1)を満たすとき、{a_n}は広義単調減少であるという。

上のようにして部分数列を定義すれば、「数列の若干項を取り去った」場合が含まれるだけでなく、例えば偶数番目の項だけを残したような場合も含まれることになります。

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