金融工学　初歩の初歩

1：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:56: １．計量分析

１．１　時間価値

・将来価値（ＦＶ）＝ＰＶ（１＋ｒ）＾ｎ
・現在価値（ＰＶ）＝ＦＶ／（１＋ｒ）＾ｎ
・年金の将来価値（ＦＶＯＡ）＝ＰＭＴ［（１＋ｒ）＾ｎ－１］／ｒ
　※ＰＭＴ：定額年金
・年金の現在価値（ＰＶＯＡ）＝（ＰＭＴ／ｒ）［１－（１＋ｒ）＾（－ｎ）］
　※ＰＶＰＥＲ＝ＰＭＴ／ｒ
　※ＰＶＰＥＲ：永久年金のＰＶ
・ＦＶ＝ＰＶ・ｅ＾ｒｎ
　※ｅ：自然対数の底
　※上式は、連続複利計算によるＦＶの算出式
・ＰＶ＝ＦＶ・ｅ＾（-rn）

［追加］
・永久年金のＰＶは定額年金を金利（ここではあらかじめ与えられていると仮定する）ｒで除算したものに等しいから、
　ＰＶＰＥＲ＝ＰＭＴ／ｒ
・これをｎ年後の将来価値に置き換えると
　（ＰＭＴ／ｒ）・（１＋ｒ）＾ｎ　・・・（Ａ）
・これに対し、ｎ年経過時点におけるＰＭＴの現在価値は、（ｎ＋１年後以降も金利ｒは不変と仮定しているので）
　（ＰＭＴ／ｒ）　　　　　　　　　・・・（Ｂ）
　となり、当初求めた現在価値と変化しない。
・したがって、ｎ年間にわたりＰＭＴを受け取る場合の将来価値は
　（ＰＭＴ／ｒ）・｛（１＋ｒ）^n－１｝
・これとは逆に現在価値を求めると
　ｎ＋１年以降の年金の現在価値を０時点での年金の現在価値から差し引けば良いのであるから、
　（ＰＭＴ／ｒ）・｛１－（１＋ｒ）^(-n)｝
13：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/17(月) 00:11: 1.14　決定係数

・決定係数（R^2）
　回帰式の説明力を表す尺度
・変動要因
　回帰式そのものは、散布図にプロットされた点との近似を推定するものである
　したがって、実測されたyiの変動は、回帰直線上にある推定値ｙi~の変動と誤差eiの変動から構成される
　　Σ(yi-μ(y))^2＝Σ(yi~－μ(y))^2＋Σei^2
　　全変動(SST)　＝推定値変動(SSR) 誤差変動(SSE)
　※SST：sum of square total
　※SSR：sum of square regression
※SSE：sum of square error
・SST＝SSR＋SSE
　これをSST(全変動)で除算すると
　　1＝SSR/SST＋SSE/SST
　このうち、SSR/SSTを決定係数といい、全変動に占める推定値の変動の割合を意味する
　　SSR/SST＝Ｒ^2　(Ｒ-squared)
・Ｒ^2＝SSR/SST＝1－SSE/SST
　　　＝Σ(yi~－μ(y))^2／Σ(yi－μ(y))^2＝1－Σei^2／Σ(yi－μ(y))^2
・決定係数Ｒ^2の取り得る範囲
　　0≦Ｒ^2≦1
・Ｒ^2＝ρ^2
　決定係数は相関係数の2乗に等しい
14：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/17(月) 00:12: ◇これまでの簡単なまとめ

〔期待値について〕

・確率論でいうところの期待値は、事象が発生した場合の結果（成果）に当該事象の発生確率を乗じた加重平均値である。

〔分散・標準偏差について〕

・分散(variance)と標準偏差(standard deviation)は、確率変数（random variable）であるxが、その期待値であるμ(x)を中心として、どのように分布しているのかを示す指標である。
・分散（Variance）＝σ^2(x)＝Σ［p(xi)＊｛xi－E(x)｝^2］
　※分散の単位：％^2（パーセントの二乗）
・標準偏差（standard deviation）＝σ(x)＝V(x)^(1/2)
　※標準偏差の単位：％

〔共分散について〕

・共分散(covariance)
　２変数間における相関の強度を示す尺度
・σ(x,y)＝Cov(x,y)＝Ｅ[(x－μ(x))*(y－μ(y))]
　ただし、μ(x)及びμ(ｙ)は、確率変数xとyの期待値

〔相関係数について〕

・相関係数(correlation coefficient)
　-1から1までの範囲の数値を取り、当該数値の大小によって、2変数間の相関強度を表す
・ρ(x,y)＝cov(x,y)／[σ(x)*σ(y)]
・-１≦ρ(x,y)≦1
・ρ＝0のとき、2変数は完全に独立であるという
15：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/23(日) 01:14: ダメだ・・・マルコフ連鎖・・・わからねぇ・・・
16：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/25(火) 23:27: ①区間推定とは、一定の幅（＝区間）を持たせて推定すること

②離散量をグラフ化するときは棒グラフが適している
　連続量をグラフ化するときは折れ線グラフが適している

③データが大量にあるときは『要約』に心がけること
　（例）度数分布にまとめる　→　ヒストグラムにする
　
④２変量分析を行うときは、変量間での相関関係を求めておくこと

⑤多変量分析を行う場合は、レーダー・チャートにまとめておくこと
　（レーダー・チャート化しておけば、各サンプルの特徴を視覚化できる）

⑥アンケート調査のようにクロス集計を行う場合にはステレオグラムにまとめるとよい

⑦チャーノフの顔グラフでまとめても面白い

⑧統計量の検定を行う場合の大まかな手順は以下のとおり
　ａ．仮説H0を立てる（＝対立仮説H1を立てる）
　ｂ．検定統計量T0を算出する
　ｃ．検定統計量T0が棄却域に入っていたら、仮説H0を棄て、対立仮説H1を採用する

⑨仮説とは、母集団に対して立てる仮説のことである

⑩棄却域とは、「滅多に起こらないところ」のこと
　仮説H0が棄却域に入っていたら、仮説は間違っている可能性が強いことになる
17：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/25(火) 23:28: （その２）

①検定統計量がｔ分布に従っている場合、当該検定をｔ検定と呼ぶ

②ｔ検定の前にＦ検定を行うことがある
　→　２つの母分散σ1^2とσ2^2の状況によっては検定統計量ｔが異なることがあるため
　　　つまり、仮説H0：σ1^2とσ2^2の検定を行っているわけ・・・
　　　厳密に言えば、２つの正規母集団の母平均について、仮説H0：μ1＝μ2の検定を行う前に
　　　当該２つの母集団の母分散が同じか否かを検定したうえで、２つの母平均の差を検定する

③ｔ検定において母平均の差が出にくいケースは
　・データの分散が大きいとき
　・データの数が小さいとき
　→　ともに検定統計量が小さくなるため、有意差が出にくくなる

④仮にＦ検定でH0：σ1^2＝σ2^2が棄却されたとき、t検定ではなく、ウェルチの検定に進む

⑤いうまでもなく、このような検定の方法は『検定対象となる母集団は正規分布に従う』
　という前提が満たされる場合にのみ可能であって、母集団に正規性が見られない場合には
　ノンパラメトリックの検定を行う必要が生じる
18：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/25(火) 23:28: （その３）

①検定対象のグループが３つ以上ある場合には、一元配置の分散分析を行う
　→　これがＡＮＯＶＡ(ANalysis Of VAriance)である！
　　　※ＡＮＯＶＡ：分散分析(表)　

②一元(one-way)配置とは、データの配列のことである

③仮説H0：μ1＝μ2＝μ3

④ＡＮＯＶＡでは、グループ間のどこに差があるのかは分からない
　あくまでグループ間に差があるか否かが分かるだけである

⑤差がどこにあるのかを知るためには、多重比較を行う
　具体的には「ボンフェローニの方法」等がある
　※有意差が出やすい方法としては、段階法の一種である「ダンカンの方法」や
　　「ニューマン＝クルーズの方法」等がある

⑥段階法では、あらかじめ標本平均を算定しておき、それを小さい順に並べておき、
　最も小さい標本平均x(1)と最も大きい標本平均x(a)の差を調べ、差がなければ作業終了
　差がある場合には、２番目に小さな標本平均x(2)と最も大きな標本平均x(a)とを比べて・・・
　この繰り返しを行う
　次に、最も大きな標本平均x(a)と差が認められた標本平均群と次に大きな標本平均x(a-1)との
　差を調べる・・・
　この繰り返しを行う
19：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/25(火) 23:39: 少しだけ・・・補足

一元配置とはデータの並び方のことであり、一元配置の分散分析とは、
要するに母平均の差の検定を一般化して、３つ以上のグループ間に差が
あるかどうかを調べることをいう。

厳密には、３つ以上の正規母集団の母平均が互いに等しいという仮説H0
を検定するものであり、仮説H0が棄却されるとグループ間に少なくとも
一組の間に差が存在することになる。

この際に利用される検定統計量がＡＮＯＶＡのＦ値である。

当然のことながら、このような分析を行うためには、母集団の正規性が
前提となるので、母集団の正規性が疑わしい場合には、クラスカル・
ウォリスの検定のようなノンパラメトリックのＡＮＯＶＡを行う必要が
ある。
20：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/25(火) 23:50: （その４）

①ノンパラメトリック検定とは、「パラメータを使用しない」もしくは
　「データ分布の形によらない」というような意味である
　ここでいう「パラメータ」とは「母数」のことに他ならないから、
　ノンパラメトリック検定とは、母平均や母分散を使用しないで検定す
　る方法のことをいう
　　
②ノンパラメトリック検定では「平均値」の代わりに「中央値」を用いる

③「中央値」は分布の位置を示す、すなわち、分布の位置を代表する値と
　考えられるため、「中央値」によって、２つの母集団の分布の位置を比
　較することができる（と考えても合理性を損なうことはない）
　つまり、仮説H0は、「２つの母集団の分布の位置は同じ」というものに
　なる

④検定統計量は、測定値の順位和
21：（´・ω・`) （D/ULnvDs）：2004/05/29(土) 12:26: 回帰分析の整理－

・回帰分析とは
　原因（説明変数）と結果（被説明変数）を回帰式という一次関数で表現するための手法

・回帰分析の方法

　①パラメータのcorrelation（相関関係）を調べる

　②例えば最小二乗法で回帰直線を求める

　③R-SQUARE（決定係数）を求める　→　回帰直線の当てはまり度合いを判定

　　※できればAdjusted R-square を求めておく

　　※あるいはANOVA-Tableを利用しても良い
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　ANalysis Of VAriance

　　　　　　　　sum of squares DF　 mean of square F-VALUE
　　Regression　　　　Ａ　　　　１　　　　　Ａ　　　　XX.XXX　　　　　　　　　　　
　　Residual　　　　　Ｂ　　　　n-2　　　Ｂ／(n-2)　
　　TOTAL　　　　　Ａ＋Ｂ　　　n-1

　　※例によってH0（帰無仮説）を棄却できるか否かを確認
　　　この場合のH0は次のように立てる
　　　　「この回帰式は対象となる事象の予測には有効ではない」
22：（´・ω・`) （D/ULnvDs）：2004/05/29(土) 12:51: 重回帰分析の整理－

・重回帰分析とは
　回帰分析の一般化のことである。

・重回帰分析の方法

　①・・・重回帰分析ソフトに必要なデータを入力する・・・

　　おわり・・・
　　　　　　　　　　Multiple Regression Analysis

　　　　　　　PARTIAL REG COEFFICIENT STANDARD PARTIAL REG COEFFICIENT
　　X1　　　　　　　　XXX.XXXX　　　　　　　　　　　XXX.XXXX
　　X2　　　　　　　　XXX.XXXX　　　　　　　　　　　XXX.XXXX
　　↓
　　Xn　　　　　　　　XXX.XXXX　　　　　　　　　　　XXX.XXXX
　　CONSTANT　　　　　XXX.XXXX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
　　※要するに「偏回帰係数」と「標準偏回帰係数」を求めれば“終わり”というわけである。

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いけない・・・忘れていたでつね。

回帰式　：Ｙ＝Ａ＋ｂＸ

重回帰式：Ｙ＝Ａ＋b1Ｘ1＋b2Ｘ2＋・・・＋bnＸn
23：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/30(日) 19:45: 主成分分析の整理－

・主成分分析とは
　測定可能な複数の要因を総合（統合）して、それだけでは測定不可能な概念に尺度を与えることをいう。
　ちなみに、このような行為を「変量の総合化」ということがある。
　※心理学の因子分析は、この主成分分析の逆の行為を行うのである。

・基本式
　　Z＝b1*f1＋b2*f2＋・・・＋bn*fn
　　※上式のように、主成分分析では各変量に有意な係数が付加される。

・SPSSを利用すると・・・

　　　　　　　　　PLINCIPAL COMPONENT ANALYSIS
　　　　EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF THE CORRELATION MATRIX
　　　　　　PRIN1　　　　PRIN2
　　X1　　　　Ａ　　　　　Ｃ
　　X2　　　　Ｂ　　　　　Ｄ　　

　　※EIGENVALUE：固有値、EIGENVECTOR：固有ベクトル

　　→　第１主成分：Z1＝ＡX1＋ＢX2
24：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/30(日) 19:46: カイ（CHI：X^2）検定の面白さは自由度(DF)がわずか“２”でも問題なく検定できるというところでつね。
25：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/30(日) 19:48: 統計処理（検定：test）において意味があること（←変な言い方だが・・・）

　「H0：帰無仮説を棄却し、H1：対立仮説を採用すること」

にある。
よって、一定の有意水準（概ね５％もしくは１％）で棄却できなければ、有効な検定を行ったことにはならない。
なぜなら、検定の結果、H0が棄却できなかったとしても、「H0が成立しないとはいえない」だけであって、結論めいたモノは何ら求めることができないからである。
26：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/30(日) 21:28: 共分散構造分析

・異なる概念間での因果関係を調べるための方法

・回帰分析における「原因」と「結果」の因果関係を一般化したもの

　（例）回帰分析の例
　　　　Ｙ＝b*Ｘ＋Ａ
　　　　※ＹとＸは「観測変量」であり、実際に観測することができる変量である
　　　　※ｂ：回帰係数、Ａ：定数項

・これに対し「概念」とは、潜在変量、すなわち観測するによって数量化することが（一般的に）困難とされる
　※これを明示するために原因と結果の前後関係を「パス」を記述することがある。

・「概念」を取り上げる場合、原因としては内的要因と外的要因というような両面からのアプローチが欠かせない

・結局、潜在変量としての「概念」を考える場合であっても、「概念」の構成要素を観測変量に分解しておかなければ因果係数を求めることはできない
　言い替えれば、起点となる観測係変量群から終点となる観測変数群の間に潜んでいるであろう（と推定される）潜在変量を求めるために共分散構造分析が有効になるのである。
27：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/30(日) 23:44: 時系列分析

面倒なので簡単に・・・

・トレンド分析　→　基本的に中長期分析に用いる
　※指数平滑化etc.

・循環変動分析　→　基本的に１年以上の周期分析に用いる

・季節変動分析　→　基本的に１年間での周期分析に用いる

・ＡＲＭＡ：Auto Regressive Moving Average

・ＡＲＩＭＡ：Auto regressive Integrated Moving Average

・ＡＲＭＡとＡＲＩＭＡは、ある時点の値は、その直前の値の影響を受けているので、これを利用して次の時点の値を予測すること

金融工学 初歩の初歩