解けなかった問題を整理するスレ - 1161965042

1： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:04:02: すみません。新スレを立てさせてください。。
ええとこのスレの趣旨は，僕が中学～高校時代に
2chとミルクカフェで見つけた問題のうち，解けなかった
というか放置してしまった問題をうｐして誰かに解いて
いただこうというスレです。中2～高3の5年間に記録した
問題のコピペです。
2： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:07:23: 問1

係数がそれぞれ集合{1,2,3,～,9}の異なる要素であるような５次の多項式のうち、
x^2-x+1で割り切れるものの総数を求めよ
3： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:08:45: 問2

xy平面に曲線C y=x^2があり、C上の点Pの座標を(a,a^2)とする。ただし、a＜0とする。
このとき、
「Pを中心とする円で、x＞0の範囲において曲線Cとちょうど2つの異なる共有点をもつ円」…(*)
が存在するようなaの値の範囲を求めよ。
さらに、円(*)がちょうど1つ存在するようなaの値を求めよ。
4： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:10:09: 問3

Q[1](x)=1+x、Q[2](x)=1+2xでm>=1のとき

　　　Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)
　　　Q[2m+2](x)=Q[2m+1](x)+(m+1)xQ[2m](x)

と多項式の列Q[n](x)を定義する。そしてx[n]をQ[n](x)=0の最大の実数解
とする。{x[n]}は増加数列であり、lim[n->∞]x[n]=0であることを示せ。
5： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:10:38: 問4

a,bは実数。
(3^a)+(13^b)=17^a
(5^a)+(7^b)=11^b
a<bを示せ。
6： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:11:05: 問5

赤球、青球、黄球がそれぞれｎ個計3n個ある。同じ色の球は区別しない。
これらの球を箱に1個ずつ入れる試行を常に赤球≧青球≧黄球をみたしながら
全ての球を箱に入れきる場合の数C(n)何通りか。
7： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:12:40: 問6

正の数 a,b,c が、ab+bc+ca+abc=4 をみたすとき
a+b+c ≧ ab+bc+ca を証明せよ。
8： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:13:33: 問7

n＝0, 1, 2,・・・に対して、Zn＝(Xn, Yn) は整数を座標とする点の上を
動くとし、ZnからZn+1への移動は毎回、1, 2, 3, 4 の番号札の入っている
箱から1つをとり、1ならば上へ、2ならば下に、3ならば左へ、4ならば右へ
1の長さを動くとする。出発は原点。
1) S＝√(X3^2＋Y3^2) とする時、Sの期待値E(S)を求めよ。
2) Tn＝Xn^2＋Yn^2 とする時、Tnの期待値E(Tn)がnであることを示せ。
9： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:14:27: 問8

方程式 x^3-kx+1 = 0　・・・(a)　を考える。
(1)　方程式(a)の持つ解の個数を求めよ。
(2)　方程式(a)はkが十分大きいとき異なる３つの解を持つ。その解を小さい方からα(1)、
　　　α(2)、α(3)とおく。このとき、n=1,2,3に対して極限
　　　lim[k→∞] α(n)/x^t　
　　　が０でない定数に収束するように実数tの値を定めよ。
10： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:15:26: 問9

複素数平面上で
ω=(1/2){z+(1/z)}によって
|z-(5/12)i|=13/12　
はどのような曲線にうつるのか
11： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:16:20: 問10

半直線OX, OYは為す角がθ(∈(0,π/2])で、OX上に動点A, OY上に動点Bがある。
AB=1 を満たすようにAとBを動かすとき、
線分ABの通過する領域の面積 S(θ) の最大値とそれを与えるθを求めよ。
12： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:18:20: 問11

数列{a(n)}を次のように定める．
a(1)=3，a(2)=5，a(3)=7
{a(n-3)}*{a(n)}={a(n-1)}^2-{a(n-2)}^2 (n≧4)
このとき，任意の自然数に対して，|a(n)|＜14/√3 であることを示せ．

これはなんかヒントのようなカキコがあったのでそれをコピペしときます。

3.5.7という数字なので内角の1つが120°の三角形が活躍する予感がしますね。
トレミーの定理でウホウホやるのかな?
文字式の乱立で押しきるのであれば
{B(n)}{C(n)}をC(1)=3,C(2)=5,B(1)=13.B(2)=11
C(n)=(C(n-2)B(n-1)＋C(n-1)B(n-2))/14
B(n)=(B(n-2)B(n-1)-3C(n-2)C(n-1))/14 (但 n=3.4...)
と定義して
・3C(n)^2＋B(n)^2=14^2　(帰納法で示す)
・C(n-3)=(C(n-1)B(n-2)-B(n-1)C(n-2))/14 (右辺を変形して↑を使う)
を示した上で「∀n: A(n)=C(n)」を示してみれば (上で示した2つを用いる)
|C(n)|≦14/√3が言えるので不等号だけチェックすれば行けるはず。
13： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:23:15: 問12

Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃは平面の点でＯＡ＝４, ＯＢ＝２√３, ＯＣ＝√２２。
このとき、三角形ＡＢＣの面積の最大値を求めよ。

この問題を解く際に分からないことは「固定して動かす」という行為が
独立的じゃないところです。
14： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:29:13: 問13

abc=a^2+b^2+c^2を満たす正整数の組をすべて求めよ。
15： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:30:58: 問14

kを3以上の定数とする。

実数a,b,cが
　a+b+c=k , a≧1,b≧1,c≧1
を満たすとき、
(a/b) + (b/c) + (c/a) のとり得る値の範囲を求めよ。
16： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:33:29: 問15

p≧3を素数とし、n≧2とする。このとき
{(2p+2)^m 　－1}/p^n　が整数となるような最小のmの値を求めよ。
17： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:40:16: 問16

３辺の長さが１，ａ，ｂの三角形の各頂点から対辺に引いた垂線の長さの最小値を
ｍとする。ａ，ｂがａ+２ｂ＝２をみたしながら変化するとき、ｍが最大となる
ａ，ｂの値を求めよ。
18： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:42:44: 問17

��[0≦n≦∞] {sin(nθ)}/(n!) = sin(sinθ)e^(cosθ) を証明せよ
19： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:45:16: 問18

a,b,cを正の実数として、abc=1を満たすとき
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) +(b^2+c^2)a/(b^3+c^3)+(c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ
20： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:47:52: 問19

ｍ,ｎを自然数とするとき、
f(x)(x-a)^m + g(x)(x-b)^n = 1
(ただし、a≠b)
を満たす、f(x)、g(x)を求めよ。
21： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:55:53: まだあるけど，とりあえずもう疲れたのでここらへんで。

しかし自分で言うのもなんだけど，５年弱もよく飽きずに
数学の問題を集めたり解いていたもんだな・・。

新しいパソコンに変えるため，中高時代の勉強データは捨てちゃうので
この掲示板をお借りして保存させていただきました。公開しておいたほうが
受験生の人にとっても役立つと思うので・・。あんまり受験的な問題じゃない
けど・・。
22：Je n'ai pas de nom!：2006/10/28(土) 08:20:09: >>◆ZFABCDEYl

それ「こけの部屋」に載ってないの？
23： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 10:10:04: おはようございます。

>>22
えーと，多分のっけてないと思います。解いたものはだいたいのっけた
んじゃなかなと。
24： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 22:41:25: >>3
問2をいま解いてみたんですが，

「Pを中心とする円で、x＞0の範囲において曲線Cとちょうど2つの異なる共有点をもつ円」…(*)
が存在するようなaの値の範囲を求めよ．

a＜-√2・・・答

さらに、円(*)がちょうど1つ存在するようなaの値を求めよ．

-{√(5+3√3)}/2≦a＜-√2・・・答

となりました。2個目の問が「値」でなくて「範囲」で出たんですけど
検証お願い致します・・。
25：ﾗﾒﾝ氏：2006/10/28(土) 23:46:53: ('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ
26：Je n'ai pas de nom!：2006/10/29(日) 10:18:52: >>24
>さらに、円(*)がちょうど1つ存在するようなaの値を求めよ．

曲線C上の点P以外のある点をQとすると、求めるaの値は、点Qにおける曲線Cの法線で点Pを通るものが二つ存在し、
かつ、傾きの大きい方（点Qが原点から遠い方）の法線において、原点と点Qが共に点Pから等距離にあるような点Pのx座標と思われ。
27： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/30(月) 02:54:11: >>26
図形的に考えるとそういうふうになりますね。何かそれで1つの値に
確定しそう。僕の解いた方法は機械的計算の結果なので違うのかも。
いちおうカキコしてから寝ます。計算ミス含めいろいろあるだろうけど
28： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/30(月) 02:55:22: (1) 円(*)の方程式を (x-a)^2+(y-a^2)=r^2 (r＞0) とおく．また，
　　xの4次方程式 (x-a)^2+(x^2-a^2)^2=r^2 が相異なる正の実数解
　　をちょうど2個持つ条件をXとおく．条件Xを満たす正の実数rが
　　存在するためのaに関する必要十分条件を求めればよい．

f(x)=x^4-(2a^2-1)x^2-2ax+a^4+a^2-r^2 とおくと，
f'(x)=4x^3-(2a^2-1)*2x-2a
=2{2x^3-(2a^2-1)x-a}
　　 =2(x-a)(2x^2+2ax+1)．

　　[1] a^2-2≦0，すなわち，-√2≦a＜0 のとき
　　　　x＞0 で f'(x)≧0 となるので，f(x)=0 の正の実数解の個数は
　　　　高々1個である．よって，この場合は不適．

　　[2] a^2-2＞0，すなわち，a＜-√2 のとき
　　　　2x^2+2ax+1=0 の2解をα，β(α＜β)とおく．
　　　　α+β=-a＞0，αβ=1/2＞0 であるから，0＜α＜β．
　　　　0＜x＜α で f'(x)＞0，α＜x＜β で f'(x)＜0，β＜x で f'(x)＞0．
　　また，f(x)=(2x^2+2ax+1){(2x^2-2ax-2a^2+1)/4}+(1/4){(4a^3-8a)x-4r^2+4a^4+6a^2-1}
　　　　である．
　　
　　　　(i) f(0)≧0，f(β)＜0 のとき
　　　　　　r^2≦a^4+a^2，{(1/2)a^3-a}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)＜r^2
　　であるから，この2個の不等式を同時に満たす正の実数rが存在するための条件は
　　　　　　{(1/2)a^3-a}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)＜a^4+a^2
　　 ⇔ -2a^4+6a^2-1＜(4a-2a^3)√(a^2-2)・・・ア
　　　　　　である．

　　　　　　(A) -2a^4+6a^2-1≦0，すなわち，a≦-√{(3+√7)/2} のとき
　　　　　　　　アの右辺は正であるから，この場合，不等式アは成り立つ．

　　　　　　(B) -2a^4+6a^2-1＞0，すなわち，-√{(3+√7)/2}＜a＜-√2 のとき
　　　　　　　　アの両辺は共に正であるから，
　　　　　　　　ア ⇔ (-2a^4+6a^2-1)^2＜(4a-2a^3)^2*(a^2-2)
　　 ⇔ 8a^4-20a^2-1＞0
　　　　　　　　となるので，-√{(3+√7)/2}＜a＜-{√(5+3√3)}/2．

　　　　　　以上より，f(0)≧0，f(β)＜0 が成り立つとき，a＜-{√(5+3√3)}/2・・・イ

　　　　(ii) f(0)＜0，f(α)=0 のとき
　　　　　　 a^4+a^2＜r^2，r^2={a-(1/2)a^3}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)
　　であるから，この2個の不等式を同時に満たす正の実数rが存在するための条件は
　　　　　　 a^4+a^2＜{a-(1/2)a^3}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)
　　　　　　 ⇔ 2a^4-6a^2+1＜(4a-2a^3)√(a^2-2)・・・ウ
　　　　　　である．

　　　　　　 (A) 2a^4-6a^2+1≦0，すなわち，-√{(3+√7)/2}≦a＜-√2 のとき
　　　　　　　　ウの右辺は正であるから，この場合，不等式ウは成り立つ．

　　　　　　 (B) 2a^4-6a^2+1＞0，すなわち，a＜-√{(3+√7)/2} のとき
　　　　　　　　ウの両辺は共に正であるから，
　　　　　　　　ウ ⇔ (2a^4-6a^2+1)^2＜(4a-2a^3)^2*(a^2-2)
　　 ⇔ 8a^4-20a^2-1＞0
　　　　　　　　となるので，a＜-√{(3+√7)/2}．

　　　　　　　以上より，f(0)＜0，f(α)=0 が成り立つとき，a＜-√2・・・エ

求めるaの範囲はイ∪エであるから，a＜-√2・・・答
29： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/30(月) 02:56:28: (2) 条件Xを満たす正の実数rがただ1つのみ存在するようなaの値を求める．
　　(ii)が成立し，(i)が成立しないaの範囲は -{√(5+3√3)}/2≦a＜-√2．
　　aがこの範囲にあるとき，条件Xを満たす正の実数rは
　　r=√〔{a-(1/2)a^3}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)〕
　　のみとなる．
　　∴ -{√(5+3√3)}/2≦a＜-√2・・・答
30： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/31(火) 21:37:42: >>25
さりげなく屁してるし・・
しかも腰を抜かすほどの強烈な屁を
31： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/04(土) 00:40:28: 問1が謎。総当り以外でうまい絞込み方法はないものだろうか。
台地氏おながい。問1，3を特に希望。。
32：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 01:57:34: 問1
mathnori
問3
増加数列であることは示せたが・・・
33： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:26:19: >>322
お。問3できましたか！
さすが。

ここに僕が取り上げた問題ってどうも入試問題から外れている系統ですよね。(´Д｀;)
僕はどうもそういうのが解けないみたいです。まあそれは当たり前何だけド。
(中高生のときは入試用に合わせた数学の勉強しかしていないから。加えて今は何にも数学の勉強をしてないわけですし。)

しかし，当時，あれだけ数学の勉強をしたのに，今現在
こんなにも忘れてしまっていることを考えると，
僕は相当に数学の才能がないのか，はたまた，
強引に詰め込んでいただけなのかのどちらかなんだと思う。

つまり，僕のようなタイプの人にとって，高校で数学を勉強する意味って
ないんじゃないかと。履修漏れという言葉が今世間で流行っていますが，
僕は「履修後漏れの人」です。
34： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:36:44: でも，大体の人が履修後漏れだって信じてます。じゃないと怖いし・・。
35：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 23:37:50: 3番は、m=1,2あたりで試してみると、Q[2m]'がQ[2m-2]の、Q[2m+1]'がQ[2m-1]の定数倍になりそう。
これを示せば何とかならないかな
36：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 15:24:35: でけた。

問3

まず，帰納的にQ[n](x)の各項係数は非負整数であり，Q[n](0)=1である．
これより，Q[n](x)=0の実数解は存在したとしてもすべて負である．
したがって特に，x[n]が存在するならばx[n]<0．――(＊)
このとき，Q[n](x)の各項係数は非負整数であることから，
Q[n](x)→∞(x→∞)であり，x[n]はQ[n](x)=0の最大の実数解であるので，
x>x[n]ならばQ[n](x)>0が成立する．――(＊＊)

{x[n]}が存在し単調増加となることを帰納法で示す．
x[1]=-1,x[2]=-1/2よりx[1]<x[2]
x[2m]まで存在し，x[k]<x[k+1]がk=2m-1まで成立していると仮定する．
Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)より
Q[2m+1](x[2m])=(m+1)x[2m]Q[2m-1](x[2m])
x[2m-1]<x[2m]<0であるので(＊＊)より，x[2m]Q[2m-1](x[2m])<0
よって，Q[2m+1](x[2m])<0．また，Q[2m+1](0)=1であるので，
中間地の定理より，Q[2m+1](x'[2m+1])=0なるx'[2m+1]が存在し，
x[2m]<x'[2m+1]
ゆえに，x[2m+1]は存在し，x[2m+1]の定義と(＊)より，x[2m]<x[2m+1]<0
同様に，x[2m+1]まで存在し，x[k]<x[k+1]がk=2mまで成立していると仮定すると
x[2m+2]が存在し，x[2m+1]<x[2m+2]<0なることが導ける．
よって，数列{x[n]}は存在し，単調増加である．
37：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 15:24:59: つづき。

次に，Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)より，
Q[2m+1](x)-Q[2m](x)=(m+1)xQ[2m-1](x)であり，
x[2m-1]<x[2m+2]<0と(＊＊)より，x[2m+2]Q[2m-1](x[2m+2])<0なので，
Q[2m](x[2m+2])>Q[2m+1](x[2m+2])
また，x[2m+2]>x[2m+1]>x[2m]なので(＊＊)より，
Q[2m](x[2m+2])>Q[2m+1](x[2m+2])>0となり，これより
Q[2m+1](x[2m+2])/Q[2m](x[2m+2])<1 ――(＊＊＊)
さらに，Q[2m+2](x)=Q[2m+1](x)+(m+1)xQ[2m](x)より
Q[2m+1](x[2m+2])+(m+1)x[2m+2]Q[2m](x[2m+2])=0なので，
x[2m+2]=-(m+1)^{-1}*Q[2m+1](x[2m+2])/Q[2m](x[2m+2])
(＊＊＊)より|x[2m+2]|<(m+1)^{-1}
よって，lim[m->∞]x[2m+2]=0
x[2m]<x[2m+1]<x[2m+2]よりlim[m->∞]x[2m+1]=0でもあるので
lim[n->∞]x[n]=0
38：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 16:33:47: 検証お願いします。
問1はきっと台地氏がなんとかしてくれると信じてます。
39： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 00:49:10: >>38
ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(ﾟ　)━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!!!
レスありがとうございます！！
ちょっと今は疲れているので，読む気力がないのですが，
あとでじっくり読まさせてください！

＃たまさんはｔ島岡女子学園出身の方ですよね？
同じ塾で同じ講座をとったこともあったんですよね(´Д｀;)。
当時は色々とテキストや模試の問題を提供してくださり本当に
お世話になりました。たまさんと競い合って問題を解いていて
結構楽しかったです。
40：geen：2006/11/10(金) 02:00:33: ここにいる人たちって、リアルでも交流しているんだね。
個人的にはこけ氏がどんな人なのか興味があるので会って見たいものだ。
41： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 05:52:44: >>40
リアルでの交流？はないけど，ｔ島のたまさんとは
夏冬共に同じ講座を取った方でした。だからたまさんは
僕を知っておりました。(´Д｀;)僕もたまさんを多分知っているというか。
思ったより成績は伸びなかったよね？と突っ込まれ，ええ・・悲しいけど。
とレスした記憶があります。