解けなかった問題を整理するスレ - 1161965042

1： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:04:02: すみません。新スレを立てさせてください。。
ええとこのスレの趣旨は，僕が中学～高校時代に
2chとミルクカフェで見つけた問題のうち，解けなかった
というか放置してしまった問題をうｐして誰かに解いて
いただこうというスレです。中2～高3の5年間に記録した
問題のコピペです。
32：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 01:57:34: 問1
mathnori
問3
増加数列であることは示せたが・・・
33： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:26:19: >>322
お。問3できましたか！
さすが。

ここに僕が取り上げた問題ってどうも入試問題から外れている系統ですよね。(´Д｀;)
僕はどうもそういうのが解けないみたいです。まあそれは当たり前何だけド。
(中高生のときは入試用に合わせた数学の勉強しかしていないから。加えて今は何にも数学の勉強をしてないわけですし。)

しかし，当時，あれだけ数学の勉強をしたのに，今現在
こんなにも忘れてしまっていることを考えると，
僕は相当に数学の才能がないのか，はたまた，
強引に詰め込んでいただけなのかのどちらかなんだと思う。

つまり，僕のようなタイプの人にとって，高校で数学を勉強する意味って
ないんじゃないかと。履修漏れという言葉が今世間で流行っていますが，
僕は「履修後漏れの人」です。
34： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:36:44: でも，大体の人が履修後漏れだって信じてます。じゃないと怖いし・・。
35：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 23:37:50: 3番は、m=1,2あたりで試してみると、Q[2m]'がQ[2m-2]の、Q[2m+1]'がQ[2m-1]の定数倍になりそう。
これを示せば何とかならないかな
36：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 15:24:35: でけた。

問3

まず，帰納的にQ[n](x)の各項係数は非負整数であり，Q[n](0)=1である．
これより，Q[n](x)=0の実数解は存在したとしてもすべて負である．
したがって特に，x[n]が存在するならばx[n]<0．――(＊)
このとき，Q[n](x)の各項係数は非負整数であることから，
Q[n](x)→∞(x→∞)であり，x[n]はQ[n](x)=0の最大の実数解であるので，
x>x[n]ならばQ[n](x)>0が成立する．――(＊＊)

{x[n]}が存在し単調増加となることを帰納法で示す．
x[1]=-1,x[2]=-1/2よりx[1]<x[2]
x[2m]まで存在し，x[k]<x[k+1]がk=2m-1まで成立していると仮定する．
Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)より
Q[2m+1](x[2m])=(m+1)x[2m]Q[2m-1](x[2m])
x[2m-1]<x[2m]<0であるので(＊＊)より，x[2m]Q[2m-1](x[2m])<0
よって，Q[2m+1](x[2m])<0．また，Q[2m+1](0)=1であるので，
中間地の定理より，Q[2m+1](x'[2m+1])=0なるx'[2m+1]が存在し，
x[2m]<x'[2m+1]
ゆえに，x[2m+1]は存在し，x[2m+1]の定義と(＊)より，x[2m]<x[2m+1]<0
同様に，x[2m+1]まで存在し，x[k]<x[k+1]がk=2mまで成立していると仮定すると
x[2m+2]が存在し，x[2m+1]<x[2m+2]<0なることが導ける．
よって，数列{x[n]}は存在し，単調増加である．
37：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 15:24:59: つづき。

次に，Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)より，
Q[2m+1](x)-Q[2m](x)=(m+1)xQ[2m-1](x)であり，
x[2m-1]<x[2m+2]<0と(＊＊)より，x[2m+2]Q[2m-1](x[2m+2])<0なので，
Q[2m](x[2m+2])>Q[2m+1](x[2m+2])
また，x[2m+2]>x[2m+1]>x[2m]なので(＊＊)より，
Q[2m](x[2m+2])>Q[2m+1](x[2m+2])>0となり，これより
Q[2m+1](x[2m+2])/Q[2m](x[2m+2])<1 ――(＊＊＊)
さらに，Q[2m+2](x)=Q[2m+1](x)+(m+1)xQ[2m](x)より
Q[2m+1](x[2m+2])+(m+1)x[2m+2]Q[2m](x[2m+2])=0なので，
x[2m+2]=-(m+1)^{-1}*Q[2m+1](x[2m+2])/Q[2m](x[2m+2])
(＊＊＊)より|x[2m+2]|<(m+1)^{-1}
よって，lim[m->∞]x[2m+2]=0
x[2m]<x[2m+1]<x[2m+2]よりlim[m->∞]x[2m+1]=0でもあるので
lim[n->∞]x[n]=0
38：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 16:33:47: 検証お願いします。
問1はきっと台地氏がなんとかしてくれると信じてます。
39： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 00:49:10: >>38
ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(ﾟ　)━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!!!
レスありがとうございます！！
ちょっと今は疲れているので，読む気力がないのですが，
あとでじっくり読まさせてください！

＃たまさんはｔ島岡女子学園出身の方ですよね？
同じ塾で同じ講座をとったこともあったんですよね(´Д｀;)。
当時は色々とテキストや模試の問題を提供してくださり本当に
お世話になりました。たまさんと競い合って問題を解いていて
結構楽しかったです。
40：geen：2006/11/10(金) 02:00:33: ここにいる人たちって、リアルでも交流しているんだね。
個人的にはこけ氏がどんな人なのか興味があるので会って見たいものだ。
41： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 05:52:44: >>40
リアルでの交流？はないけど，ｔ島のたまさんとは
夏冬共に同じ講座を取った方でした。だからたまさんは
僕を知っておりました。(´Д｀;)僕もたまさんを多分知っているというか。
思ったより成績は伸びなかったよね？と突っ込まれ，ええ・・悲しいけど。
とレスした記憶があります。
42： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/11(土) 20:23:09: あらためて，たま神はすごいな・・。

しっかし，この問題はかなり技巧的で変則的な問題だなあと感じました。
数学的帰納法の使い方が変則的だし，lim[n→∞]x(n)を求める際にも
ひとひねり必要だし。おまけに，係数が全部0以上であるということから，
実数解が存在するならば，それは負に限られるんだいう極めて素朴な
考察も必要なわけで。入試問題とも模試とも雰囲気が違うし，おそらく数おり系
でもないと思うし，一体元ネタは何なのだろうかと。
添削系でもここまでやらせないと思うし，ひょっとして大数系かなあ・・。
43： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/11(土) 20:39:14: この問題はｎ厨氏から貰った数列の問題に似ているかも。
はさみうち多重構造な所が。
一番シンプルなはさみうち多重構造(2重構造)の問題が先生が作った問題かな。
lim[n→∞]a(n)の値が求められるようになっていて，その値を
f(a(n))＜b(n)＜g(a(n)) という不等式における最左辺と最右辺の極限値を求める
際に利用するというパターン。で，結果として同じ値に収束してlim[n→∞]b(n)が求まるという図式。
44：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/16(木) 22:16:26: >>39
なんか非常に申し訳ないんですが、t島岡女子学園出身ではないので
そのたまさんと僕は別人です。勘違いさせちゃったみたいでごめんなさい。

>>42
えと、この問題はそんなに技巧的じゃないんじゃないかなと思います。
なんだろな、大学的な微積分の証明に慣れてると証明の流れ自体は
結構妥当に見えるんじゃないでしょうか。
後半の評価はちょっと思いつきにくいかもしれないけど。
45： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/18(土) 08:50:10: >>44
別人さんでしたか。。すみません。

>技巧的じゃない
どおりで僕ができないわけだ(´Д｀;)。
大学的な問題に近いのかあ・・。本来逆ですよね。
入試的だと技巧的で大学で学ぶ数学が正統派本格派。
高校まで理系にいて，大学で理系的な学問を離れると，
とても歪んだ認識で終わるのかな・・。
46： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/18(土) 09:13:55: 高校数学(入試数学)は本来の数学とはかけ離れた変な所多いですよね。
微分から習って次に積分を学ぶのは歴史に逆行している。
しかも定積分の定義が∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)だとしているのはおかしいらしい。
定理を定義としている所がマヤカシ的というか。高校で一生懸命数学を勉強した
結果，実は全部ネタでした♪っていうのはちょっとどうかと。だから何も学んでない
状態として本を読まないと全然身につかないんですよね。
47：green：2006/11/29(水) 21:42:43: ＞高校で一生懸命数学を勉強した
＞結果，実は全部ネタでした♪っていうのはちょっとどうかと。

ここ藁
48： ◆ZFABCDEYl.：2007/04/18(水) 02:07:48: 現役時代に解けなかった問題を発見しますた。
で，今やってみたんだけど解けません・・。
人生オマタ＼(-o-)／
49： ◆ZFABCDEYl.：2007/04/18(水) 02:14:20: 解けなかった問題を集めた古いcd-rが出てきました。
最初音楽cdだとオモたら，古いメモ帳とpdfがどっさり・・。
50： ◆ZFABCDEYl.：2007/04/19(木) 00:38:50: いちおうここにカキコ。
2002年8月に自分がどっかのスレで見つけた問題で，
出典は謎です。数列の問題で

(1)
a(1)=t (0＜t＜1)，a(n+1)=a(n){1-a(n)} (n=1，2，・・・) のとき，
lim[n→∞]n*a(n)を求めよ。

(2)
a(1)=t (0＜t＜1)，a(n+1)=a(n)〔1-{a(n)}^2〕(n=1，2，・・・) のとき，
lim[n→∞](√n)*a(n)を求めよ。

です。
51： ◆ZFABCDEYl.：2007/04/19(木) 00:54:43: すべての実数x，yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)
が成り立つとき，f(x)を決定せよ。

定数関数f(x)=Cになると思うんですが，f(0)の値が決まらない・・。
52： ◆ZFABCDEYl.：2007/04/19(木) 00:55:18: 次の条件をみたす実数yを全てもとめよ。

｢任意の実数xに対して{x-(p/q)}^2+{y-(1/(2q^2))}^2≦{1/(2q^2)}^2
を成り立たせる整数p,qが存在する。｣

これ，どっかのスレでヒントを教えてもらったんだけど忘れてしまいまいた。
53： ◆ZFABCDEYl.：2007/04/30(月) 01:16:00: >>52の解答ありました。y=1/2, 1/5だそおです。
この問題は考え方がとても面白かった。これは入試的には
初見のアイデアじゃないだろうかと思いました。
(類題がない新種というか。)

色々な考え方があるのを知るのって楽しいでつね。。
54： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/02(水) 23:25:37: どなかの降臨をお待ちしております。。

というか，これって回答不能な問題なのかな。
出展が分からないところが好きだったわけですが，
逆に言うと解答がある問題なのかどうかの判定もつかないですよね。
55：にん猫：2007/05/05(土) 01:22:19: >>50
強引に計算
1は1
2は0.707?

>>51
x>0だと1っぽい?
56： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/07(月) 03:01:00: >>55
おお。どおやったんでしょうか・・。

GWが終わり鬱な気分。まあそれでも仕方ないか。寝よ・・
57： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/09(水) 01:04:44: >>55

y=x(1-x)とy=xを考えると、lim[n→∞]a(n)は1に逝きそうですよね。
だから，たぶん，na(n)も1くらいかなと曖昧模糊予想。
(2)は√がついているけどa(n)が2乗になっているから収束するんだろうか。。
何ていい加減な予想じゃ・・（＾－＾）
58： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/09(水) 01:10:59: 数列の収束の問題で，三角関数がバックグラウンドになっているパターンってありますよね。
あれって，必ず，lim[n→∞]n^α{β-a(n)} みたいな形ですよね。
αはα＞1の定数で，βはlim[n→∞]a(n)=β となる定数。
三角関数がバックグランドにない問題でも，ときどきこの形が出てくるので，
この問題もこの形に帰着させる問題じゃないかなとも考えているんです。
59：Je n'ai pas de nom!：2007/05/09(水) 02:16:14: >>56
int型いっぱいいっぱいのnまで計算させて見ました
もひとつのはまともな形の関数だとするとf(x)=1以外ありえなかったんで
60： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/10(木) 03:23:40: >>59
おおお。プログラムですか。

こないだからカテキョをはじめたので，中高時代の遺物を引っ張り出してみました。
いろんなノート類がうじょうじょ出てきましたが，とても汚ねぇ字で鬱。
それで色々な数学と英語のノートが出てきました。その中で数3の奇妙な
お受験公式を発見したんですが，それが証明できませぬ。
駿台のノートじゃなくて高校の授業のノートに記載されていたので，
高校のχ先生から直接教わったネタだと思われます。
その公式とは，∫[a,b]{|sin(nx)|*f(x)}dx=(2/π)∫[a,b]f(x)dx
です。ｎ厨氏が使っていた積分と微分の順序を入れ替えるテクニックを
使うのかも知れないけど。証明というか説明を高校レベル的に解説して
いただければと思いまして。
61： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/10(木) 03:30:29: まちがいました・・。

lim[n→∞]〔∫[a,b]{|sin(nx)|*f(x)}dx〕=(2/π)∫[a,b]f(x)dx

です。

よろしくおながいします。
62： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/10(木) 03:49:23: >>55
0.707…というと，1/√2=sin(π/4) あたりが臭いな・・。
となるとやっぱこの数列も三角関数ネタかぁ。

三角関数は知らない間にあなたの背後に潜んでいます。
恐ろしい。
63：にん猫：2007/05/10(木) 04:13:45: 区間内でf(x)が非負な単調関数じゃないと成り立たないような
そうだとするならt=nxっておいて積分区間区切る問題ですけど
64：green：2007/05/11(金) 00:48:36: 俺にはレベルが高すぎてついていけんorz
65： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/13(日) 03:38:06: >>63
少なくともf(x)が連続のときだけですよね。でもまあ，受験で出るタイプの
問題ではほぼ全部使えるぽいですね。そおいえばこれはたしか個人的に先生に
聞いたことだったかも知れませぬ。所詮はお受験公式ということで。

>>64
僕も全然わからないことだらけです。そもそも出典が掲示板の落書きだからねぇ・・
答があるかどうかも分からないという受験生にとっては両刃の刃。
66：にん猫：2007/05/15(火) 01:44:09: 単調性はなくても成り立ちそうだけど証明はできるかなあ
67： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/20(日) 01:37:20: >>50の(1)は減少数列だから，lim[n→∞]n*a(n)を考えるとき，
t≦1/2であると考えてもおｋ。
まあ，t=1/2 として考えてたら，はさみうちの不等式ができた。
a(n)の上限と下限をn*a(n)→1となるような式で，はさむことを考え
上限はすぐに分かりました。1/(n+1)となります。
下限がなかなか厳しかったけど，1/(1+√n)^2 で成功しました。。
これはちょっと手厳しい不等式の証明となるけど，手計算で強引に押し通せました。
つまり，nが十分大きくて，t≦1/2となるとき，1/(1+√n)^2≦a(n)≦1/(1+n)
になるから，n*a(n)→1となりました。

1/2に設定すると，
はさみうちが出来た。
68： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/20(日) 01:48:31: >>67
下の2行は無視してくだされ・・。

(2)のほうだけど，これもにん猫氏の計算してくれた結果から考えると，
1/√2あたりに収束すると予想できます。ということは，√n*a(n)が
1/√2に収束する不等式を作るとイイわけですが，
これについては計算するのもシンドイ。。(；一_一)
でも必ず存在するとは思ふ。でも作れたとしても不等式の証明部分で，
計算不可能になる可能性も出てきそう。
69： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/21(月) 01:12:53: どんな整級数でも収束域内で初頭関数的に表せるものなんでしょうか。
��[n=2,∞]x^n/{n(n-1)}とかだとうまく変形できて，
収束半径1，(1-x)log(1-x)+x　(-1＜x＜1)
になる(と思う・・)けど，��[n=2,∞]x^n/{n^2*(n^3-1)}
とかだと可能でしょうか。
70： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/22(火) 01:06:18: >>69はどお考えても不可能か・・

独学でも案外，数学の勉強ってできそうな気がしてきた(^。^)
もちろん実生活では数学はじめ理系科目とはだんだん疎遠になりつつあり，
専門に学んでいる人とは比較にならないけど，それでも科学の本とか読むの
楽しいでつね。勉強するという感覚はなくて，何ていうかもっと軽い感じで。
71：zaru：2007/10/09(火) 23:00:00: maxima使ったら微分とか一瞬じゃん
http://ougames.web.fc2.com/
72：Ｄ：2009/01/10(土) 15:02:21: 数Ⅲです。
p＞0、q＞0とする。
点(x、y)がx^p＋y^q＝1の上(x＞0、y＞0)を動くとき、z＝xyの最大値を求めよ。

っていう問題だけど、
x＝(cosΘ)^(2/p)、y＝(sinΘ)^(2/q)
の媒介変数表示を使って解きたいけど、出来ないです。

普通に文字を減らしては出来ます。ちなみに答えは
{q/(p＋q)}^(1/p)・{p/(p＋q)}^(1/q)
です。※「・」はかけるの意味。
ヨロシクお願いしまーす。
73： ◆ZFABCDEYl.：2009/01/11(日) 00:13:05: >>72
ｆ（Θ）＝(cosΘ)^(2/p)*(sinΘ)^(2/q) (0＜Θ＜π/2)
としてΘで微分するのはたしかにつらいですよね・・。
この問題を媒介変数表示で解くことは不自然な気がする。
74：いうおいおｒうぃじょｆ ◆EhHbCq6J3.：2009/01/19(月) 11:36:43: >>72
媒介変数使うと返ってきついですね。こういうときはx,yは敢えてそのままで
合成関数の微分を使うとよいのでは？
d/dx(z)=y+x*dy/dx
x^p+y^q=1の両辺をxで微分してpx^(p-1)+dy/dx*qy^(q-1)=0⇔dy/dx=-px^(p-1)/qy^(q-1)
上に代入d/dx(z)=y-px^p/qy^(q-1)={q-(p+q)x^p}/qy^(q-1) (∵x^p+y^q=1)
これよりx={q/(p+q)}^(1/p)でzは極大かつ最大。このときのyは{p/(p+q)}^(1/q)
これで答になると思います
75：Je n'ai pas de nom!：2009/02/23(月) 21:34:08: z = xy + λ(1-x^p-y^q).
∂z/∂x = y - pλx^{p-1} = 0.
∂z/∂y = x - qλy^{q-1} = 0.
∂z/∂λ = 1 - x^p - y^q = 0.
76：ﾗﾒ：2009/03/04(水) 02:00:29: ラグランジュって最大と最小の区別つくのかな？
無知でｽﾏｿ。
77：名無しさん：2009/06/27(土) 12:19:23: xについての二次方程式
　x2＋(３－a)xー３a＝０
　　x2ー(b＋１)x＋b＝０
x2ー(2a＋5b)x＋10ab＝０
がある。
それぞれの解の集合をＰ､Ｑ､Ｒとする。
集合Ｐ∩Ｑ∩Ｒがただ1つの負の数からなるとするとき，この負の数を求め，そのときのa,bの値を求めよ。
78：Je n'ai pas de nom!：2009/06/30(火) 22:48:26: -3
a=-3/2
b=-3
79：あおい：2009/07/05(日) 14:28:03: 3^nコの同じ数字からなる整数(n≧1）は3^nで割り切れることを証明せよ。
〈例〉
222→3で割り切れる
222222222→3^2で割り切れる
80：ﾗﾒ：2009/07/05(日) 23:57:07: 帰納法
81：かかろと：2010/03/15(月) 05:07:22: >76 つかないはず