解けなかった問題を整理するスレ

12： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/28(土) 01:18:20: 問11

数列{a(n)}を次のように定める．
a(1)=3，a(2)=5，a(3)=7
{a(n-3)}*{a(n)}={a(n-1)}^2-{a(n-2)}^2 (n≧4)
このとき，任意の自然数に対して，|a(n)|＜14/√3 であることを示せ．

これはなんかヒントのようなカキコがあったのでそれをコピペしときます。

3.5.7という数字なので内角の1つが120°の三角形が活躍する予感がしますね。
トレミーの定理でウホウホやるのかな?
文字式の乱立で押しきるのであれば
{B(n)}{C(n)}をC(1)=3,C(2)=5,B(1)=13.B(2)=11
C(n)=(C(n-2)B(n-1)＋C(n-1)B(n-2))/14
B(n)=(B(n-2)B(n-1)-3C(n-2)C(n-1))/14 (但 n=3.4...)
と定義して
・3C(n)^2＋B(n)^2=14^2　(帰納法で示す)
・C(n-3)=(C(n-1)B(n-2)-B(n-1)C(n-2))/14 (右辺を変形して↑を使う)
を示した上で「∀n: A(n)=C(n)」を示してみれば (上で示した2つを用いる)
|C(n)|≦14/√3が言えるので不等号だけチェックすれば行けるはず。

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