解けなかった問題を整理するスレ

36：たま ◆U4RT2HgTis：2006/11/09(木) 15:24:35: でけた。

問3

まず，帰納的にQ[n](x)の各項係数は非負整数であり，Q[n](0)=1である．
これより，Q[n](x)=0の実数解は存在したとしてもすべて負である．
したがって特に，x[n]が存在するならばx[n]<0．――(＊)
このとき，Q[n](x)の各項係数は非負整数であることから，
Q[n](x)→∞(x→∞)であり，x[n]はQ[n](x)=0の最大の実数解であるので，
x>x[n]ならばQ[n](x)>0が成立する．――(＊＊)

{x[n]}が存在し単調増加となることを帰納法で示す．
x[1]=-1,x[2]=-1/2よりx[1]<x[2]
x[2m]まで存在し，x[k]<x[k+1]がk=2m-1まで成立していると仮定する．
Q[2m+1](x)=Q[2m](x)+(m+1)xQ[2m-1](x)より
Q[2m+1](x[2m])=(m+1)x[2m]Q[2m-1](x[2m])
x[2m-1]<x[2m]<0であるので(＊＊)より，x[2m]Q[2m-1](x[2m])<0
よって，Q[2m+1](x[2m])<0．また，Q[2m+1](0)=1であるので，
中間地の定理より，Q[2m+1](x'[2m+1])=0なるx'[2m+1]が存在し，
x[2m]<x'[2m+1]
ゆえに，x[2m+1]は存在し，x[2m+1]の定義と(＊)より，x[2m]<x[2m+1]<0
同様に，x[2m+1]まで存在し，x[k]<x[k+1]がk=2mまで成立していると仮定すると
x[2m+2]が存在し，x[2m+1]<x[2m+2]<0なることが導ける．
よって，数列{x[n]}は存在し，単調増加である．

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