解けなかった問題を整理するスレ

28： ◆ZFABCDEYl.：2006/10/30(月) 02:55:22: (1) 円(*)の方程式を (x-a)^2+(y-a^2)=r^2 (r＞0) とおく．また，
　　xの4次方程式 (x-a)^2+(x^2-a^2)^2=r^2 が相異なる正の実数解
　　をちょうど2個持つ条件をXとおく．条件Xを満たす正の実数rが
　　存在するためのaに関する必要十分条件を求めればよい．

f(x)=x^4-(2a^2-1)x^2-2ax+a^4+a^2-r^2 とおくと，
f'(x)=4x^3-(2a^2-1)*2x-2a
=2{2x^3-(2a^2-1)x-a}
　　 =2(x-a)(2x^2+2ax+1)．

　　[1] a^2-2≦0，すなわち，-√2≦a＜0 のとき
　　　　x＞0 で f'(x)≧0 となるので，f(x)=0 の正の実数解の個数は
　　　　高々1個である．よって，この場合は不適．

　　[2] a^2-2＞0，すなわち，a＜-√2 のとき
　　　　2x^2+2ax+1=0 の2解をα，β(α＜β)とおく．
　　　　α+β=-a＞0，αβ=1/2＞0 であるから，0＜α＜β．
　　　　0＜x＜α で f'(x)＞0，α＜x＜β で f'(x)＜0，β＜x で f'(x)＞0．
　　また，f(x)=(2x^2+2ax+1){(2x^2-2ax-2a^2+1)/4}+(1/4){(4a^3-8a)x-4r^2+4a^4+6a^2-1}
　　　　である．
　　
　　　　(i) f(0)≧0，f(β)＜0 のとき
　　　　　　r^2≦a^4+a^2，{(1/2)a^3-a}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)＜r^2
　　であるから，この2個の不等式を同時に満たす正の実数rが存在するための条件は
　　　　　　{(1/2)a^3-a}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)＜a^4+a^2
　　 ⇔ -2a^4+6a^2-1＜(4a-2a^3)√(a^2-2)・・・ア
　　　　　　である．

　　　　　　(A) -2a^4+6a^2-1≦0，すなわち，a≦-√{(3+√7)/2} のとき
　　　　　　　　アの右辺は正であるから，この場合，不等式アは成り立つ．

　　　　　　(B) -2a^4+6a^2-1＞0，すなわち，-√{(3+√7)/2}＜a＜-√2 のとき
　　　　　　　　アの両辺は共に正であるから，
　　　　　　　　ア ⇔ (-2a^4+6a^2-1)^2＜(4a-2a^3)^2*(a^2-2)
　　 ⇔ 8a^4-20a^2-1＞0
　　　　　　　　となるので，-√{(3+√7)/2}＜a＜-{√(5+3√3)}/2．

　　　　　　以上より，f(0)≧0，f(β)＜0 が成り立つとき，a＜-{√(5+3√3)}/2・・・イ

　　　　(ii) f(0)＜0，f(α)=0 のとき
　　　　　　 a^4+a^2＜r^2，r^2={a-(1/2)a^3}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)
　　であるから，この2個の不等式を同時に満たす正の実数rが存在するための条件は
　　　　　　 a^4+a^2＜{a-(1/2)a^3}√(a^2-2)+(1/2)a^4+(5/2)a^2-(1/4)
　　　　　　 ⇔ 2a^4-6a^2+1＜(4a-2a^3)√(a^2-2)・・・ウ
　　　　　　である．

　　　　　　 (A) 2a^4-6a^2+1≦0，すなわち，-√{(3+√7)/2}≦a＜-√2 のとき
　　　　　　　　ウの右辺は正であるから，この場合，不等式ウは成り立つ．

　　　　　　 (B) 2a^4-6a^2+1＞0，すなわち，a＜-√{(3+√7)/2} のとき
　　　　　　　　ウの両辺は共に正であるから，
　　　　　　　　ウ ⇔ (2a^4-6a^2+1)^2＜(4a-2a^3)^2*(a^2-2)
　　 ⇔ 8a^4-20a^2-1＞0
　　　　　　　　となるので，a＜-√{(3+√7)/2}．

　　　　　　　以上より，f(0)＜0，f(α)=0 が成り立つとき，a＜-√2・・・エ

求めるaの範囲はイ∪エであるから，a＜-√2・・・答

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