数学について - 1571462879 - したらば掲示板

13：横山信幸：2019/10/19(土) 23:50:13: あぁ、読み進めたら

「このように位相空間は、もともと実数直線のもっている収束などトポロジー的の概念を公理1~5を満たす位相で与え一般の集合にまで拡張した概念です」

とありました。これですね。
14：夫正彦：2019/10/21(月) 16:41:42: 位相とかトポロジーとか全然知らないのですが、面白そうなので興味深く拝見しました。
やっぱり私には難しくて、３つの点から成る集合Xが実数Rの開集合になるというのが理解できません。
定義からすれば、閉集合になるように思えるのですが。
Xが開集合なら、集合族Tは開集合になるというのはなんとなく理解できたのですが。
15：村田：2019/10/21(月) 18:41:57: ３点からなる集合は閉集合じゃないのですか？
３点からなる集合の補集合は開集合でしょう。
それなら３点からなる集合は閉集合なのでは？
16：久保共生：2019/10/21(月) 18:47:40: >３つの点から成る集合Xが実数Rの開集合になるというのが理解できません。

いや、そうではありません。
上の例では、全体集合はRではなく、Xです。
X={a,b,c}という3点集合を全体集合と考えるのです。
そして、このXの部分集合族T={∅,{a},{a}∪{b},{a}∪{c},X}は、開集合の公理を満たすので、Tの元は開集合と見做されうるのです。
これについては >>10 を参照してください。
17：久保共生：2019/10/21(月) 19:07:09: >>15

例えば、全体集合をRとして、通常のユークリッド距離を入れた距離空間においては、3点からなる集合は閉集合であり、開集合ではありません。
しかし上の例では、X={a,b,c}が全体集合なのです。
このXはユークリッドの距離空間ではありません。
もっと抽象的な3点の集合です。
これだけ抽象化しても、開集合の公理をもとに開集合族を作ることができる、というのがここでのアイデアです。
18：横山信幸：2019/10/21(月) 19:13:01: その当該の文章の一部pdfを挙げます

ttp://sets.cocolog-nifty.com/blog/files/isoukuukan.pdf
19：横山信幸：2019/10/21(月) 19:15:15: 3つの点からなる集合の話はp127のあたりです
20：ムラタ：2019/10/21(月) 20:29:18: n次元ユークリッド空間の話でなく位相空間の話だったんですね。
よく読んでなかったです。すいません。
数直線からの流れで元でなく点と書いていたので誤解してしまいました。
21：横山信幸：2019/10/21(月) 21:22:22: もうひとつ教えてもらえますか

１つの点だけの集合でも開集合になりえるってことですか？

たとえば、
X={a}
だとしても、その部分集合族Tを
T={Φ,{a}}
ととれば、Xは開集合になる
ってことでしょうか
22：ムラタ：2019/10/21(月) 21:38:07: >>21
開集合になるのではないでしょうか。
>>7で挙げられている公理をすべて満たしているので。
23：久保共生：2019/10/21(月) 22:22:56: >>21
その通りです。
ちなみに、Xが1点の集合の場合に限らずとも、T={∅,X}は常にXの位相です。
このTを密着位相といいます。
24：夫正彦：2019/10/23(水) 09:40:35: 理解したことを書きこみます。
集合Xが位相空間ならば、その部分集合（Xの部分集合族の元）は開集合である。
集合X自体は集合Xの部分集合なので、全体集合Xに対してXそれ自身は開集合である。

「実数直線の開集合族がみたしている定理２を公理系としてとりあげ」とあるので、
Xのような集合の部分集合が開集合であるかどうかを証明することなしに、公理とする、
ということなのかな、と。

横山さんのPDFのP126ページに実数を位相空間とした場合のことが書かれてますが、
べき集合２^Rを考えたときにこのべき集合は公理１～５をすべて満たすので、Rは
一つの位相空間となるのですね。とすると、Rの部分集合はかならずRのべき集合の元に
なるので、開集合であるわけですが、しかし、Rの部分集合で開集合でないものを
想定することができる（最初の３つの点からなる集合Xとか）。この辺り面白い。
25：横山信幸：2019/10/24(木) 23:13:06: 「定理　空間Xの部分集合��とXは両者とも開集合であり、また閉集合である」（野口廣「トポロジー」）

って、なんか位相空間っていろいろびっくり
26：横山信幸：2019/10/24(木) 23:13:59: 「定理　空間Xの部分集合ΦとXは両者とも開集合であり、また閉集合である」
27：横山信幸：2019/12/17(火) 15:55:05: すみません。また、わかる方いらっしゃれば教えてください。
性懲りなく「差異と反復」を読んでるんですが、そこに、「カントの非一致対称物の問題（対称的事物のパラドクス）」ってのが出てきたので調べています。
水平面図形は裏返して一致するなら合同だが、立体で裏返して一致する場合は合同とするべきかという問題です。ライプニッツは合同だとし、カントは合同ではないとしたらしいです。これ、単なる図形の問題でなく空間自体の捉え方や感性悟性の捉え方とも関連して高度に存在論的な問いであるみたいで、結構興味深いです。

それで、普通の現在の一般的な数学では、裏返しの立体は合同とされるのかどうかを知りたいのですが、僕の力ではネット検索できませんでした。
数学に詳しいかた、教えてください。よろしくお願いします。
28：ウラサキ：2019/12/17(火) 16:24:54: Wikipediaの「合同」の項目に次のような説明がありました。
「場合によっては、形と大きさが同じである他に、一方が他方の鏡像である場合を含める。」
「裏返しの立体」も「鏡像」なのでは？
29：横山信幸：2019/12/17(火) 19:03:20: 一般的には裏返しの立体は合同。でも違うときもある。というところでしょうか。

wikipediaの「鏡映」には「3次元の物体や現象（特に分子）が鏡映対称であって、合同ではないことを掌性と呼ぶ」とされてありました