数学について

24：夫正彦：2019/10/23(水) 09:40:35: 理解したことを書きこみます。
集合Xが位相空間ならば、その部分集合（Xの部分集合族の元）は開集合である。
集合X自体は集合Xの部分集合なので、全体集合Xに対してXそれ自身は開集合である。

「実数直線の開集合族がみたしている定理２を公理系としてとりあげ」とあるので、
Xのような集合の部分集合が開集合であるかどうかを証明することなしに、公理とする、
ということなのかな、と。

横山さんのPDFのP126ページに実数を位相空間とした場合のことが書かれてますが、
べき集合２^Rを考えたときにこのべき集合は公理１～５をすべて満たすので、Rは
一つの位相空間となるのですね。とすると、Rの部分集合はかならずRのべき集合の元に
なるので、開集合であるわけですが、しかし、Rの部分集合で開集合でないものを
想定することができる（最初の３つの点からなる集合Xとか）。この辺り面白い。

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