【数学】面白い数学問題を出し合うスレ【算数】 - 1641798536

1：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/10(月) 16:08:56 ID:KPtG2zvw: 面白い数学の問題を紹介したり、オリジナルの問題を出し合うスレです
ということで早速オリジナル問題を出してみるので考えてみてください
239：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:32:36 ID:zJniWhjk: 「y=x^x^…が0<x≦e^(1/e)≒1.4446...で収束する」という結論の面白い所は、x>1でもy=x^x^…は収束し得るという所ですね。普通ならこういう冪系の収束はx<1のみに限られそうなものですが、この場合においてはそうではないというお話です。
例えば、√2はe^(1/e)よりも小さいので、√2^√2^√2^…は値を持ち、その答えは2となります。

この設問の着想元は、昔twitterで見かけた物で、正に「2=x^x^…を満たすxは何か？」という問題だったと思います。解は2=x^2でx=√2とわかるのですが、色々物議があって投稿者が撤回してしまったというような記憶があります。なので具体的な出典が示せません、ｾﾝｾﾝｼｬﾙ!　
　そういったやり取りを思い出して、ではx^x^…が収束するxはいくつか？という問いを立てて何とか証明し、問題として出題した次第です。結論としては、【重要ヒント】で示したような素朴な関係の繰り返しと、無限数列の収束に関する基本的な定理から、その結果が導けてしまうという事でした。
　解けなかったとしても、証明を追って頂いて楽しんで頂ければ幸いです。

>>225
鋭い…鋭くない？　（まだ見ぬ能力を備えている可能性が）濃いすか？

>>235
そういえば極限を詳しくやるのは数３でしたっけ……悲しいなあ

>>237
一応「y=x^x^…が収束して値を持つ」という前提に立っているので、xの肩にあるx^x^…は必然的にyとならねばならない、則ちy=x^yが正当化されるという話になります。ま、細かい事は多少はね？　似たような話に直面したらノリでやってしまってもｲｰﾖｰ
240：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 22:58:24 ID:GJdJ0xrc: お疲れ様でした
実を言うと私ネタバレを発見してしまいまして解くのを控えさせて頂いた者になります
というのも
冪乗の繰り返しってグラハム数で記法がなかったっけ→テトレーションっていうのか～→wikiに答えが載ってる！
ということで気になる方はテトレーションでwikiを調べて頂ければ幸いです
ただこのwikiには e^-e≦x≦e^(1/e)において収束すると書かれてあるので下限についてはもう少し議論が必要なのかも知れません
241：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/01/30(日) 23:27:21 ID:zJniWhjk: >>240
マジっすか（素）
ざっと見た感じe^-eで奇数極限と偶数極限が一致しないらしいのでそのあたりに不備がある感じですかね
もう少ししっかり裏打ちすべきでした

不備のある問題を長々とひりだしてしまいｾﾝｾﾝｼｬﾙ！
242：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/01(火) 21:55:50 ID:eDRQdIbU: 次回もお待ちしてナス！
243：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 22:48:16 ID:N5oGH8x.: 数年前に考え付いた問題を頭から掘り起こしてるけどどうにも答えに辿り着かない
設定しか思い出せないので今一度作り出すしかない
244：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 22:59:42 ID:wN/R8R92: がんばえー
245：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/02(水) 23:16:56 ID:rAa0GZkU: (x^2+x+1)t=x^2+5x+6
みたいなやつでtの範囲を数2Bの範囲で解けたはずなんだけどどうやってやるんだっけ（痴呆）
-2≦x≦2の範囲を一応つけておきます
246：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 00:50:56 ID:vcFWjfLg: >>245の出題者なんですけど風呂に入っても忘れたままです
代わりの問題も考えましたがこれは同じシチュエーションもっとうまくて楽しい設問ができそうです

ダーツの的を円を1から20までではなく、円を1からn（nは2以上の自然数）まで分割させたものとする
このダーツをプレイヤーは必中させ、同じ数字kに当てるごとに2回目にkのk倍、3回目にさらにk+1倍、k回目にさらにk+k-2倍の得点を得るものとする（一度当てただけでは得点はえられない）
(1)プレイヤーAがn回投げて12点を得る確率を求めよ
(2)プレイヤーAがn回投げて10点を得る確率を求めよ
(3)n=100のとき、p回投げた場合の得点の期待値E(p)が2番目に低いときのpとE(p)を求めよ
隠れ問題（解けるのかわからない）(4)プレイヤーAがn回投げて810点を得る確率を求めよ
247：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 00:54:48 ID:vcFWjfLg: ちなみに>>245は予備校の東大文系コースの教科書に類題があったので確実に数2Bで解けるはずです
248：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 01:39:43 ID:z/ru/9Ss: >>245
t=1は別として、
y = (t-1)x^2+(t-5)x+t-6 の放物線とx軸の交点の存在範囲を考えればいいはず
249：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 01:48:17 ID:vcFWjfLg: >>248
あ、そっかあ…
t=(x^2+5x+6)/(x^2+x+1)(0<x^2+x+1より)
に拘っちゃってたゾ
250：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 02:27:51 ID:KEurClNE: 「このダーツをプレイヤーは必中させ、同じ数字kに当てるごとに2回目にkのk倍、3回目にさらにk+1倍、k回目にさらにk+k-2倍の得点」
ここの最後のところ
k回目にさらにk+k-2倍の得点→n回目にさらにk+n-2倍の得点
ですかね？
251：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 02:31:53 ID:vcFWjfLg: >>250
そのとおりです
252：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 06:23:41 ID:vcFWjfLg: 問題文を少し整理してできるのかわからない問題をもう一つ付け足します（最後の問2つがはじめに考えついた問題でした）

ダーツの的を円を1から20までで分割したものでなく、円を1からn（nは2以上の自然数）までで分割したものとする
このダーツの得点は同じ数字k（kは1≦k≦nの自然数）に2回以上当てたときに得られ、その得点は2回目ではkのk倍点、3回目ではさらにそのk+1倍、…、n回目ではさらにk+n-2倍された得点を得る
このダーツのプレイヤーはダーツを必中させ、かならず何かの数字に当てるものとする
このとき次に続く問に答えよ
(1)プレイヤーAがn回投げて12点を得る確率を求めよ
(2)プレイヤーAがn回投げて10点を得る確率を求めよ
(3)プレイヤーAがn回投げてすべて1に当たった場合の得点を求めよ
(4)n=100のとき、p回（pは1≦p≦nの自然数）投げた場合の得点の期待値E(p)が2番目に低くなるようなpとE(p)を求めよ
解法がわからないチャレンジ問題
(5)プレイヤーAがn回投げたとき、810点を得る確率を求めよ
(6)n=100で、プレイヤーAが必ず得点を得られるとき、もっとも得点の期待値が低くなるようなpとE(p)を求めよ
253：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 12:38:17 ID:3WF.L/h2: 12点とか小さな数字ならなんとかなりますが810点とかこれもうわかんねえな
具体的な点数表作って解く以外に何か方法がある可能性が微レ存...？
とりあえず(1)は(nP5/12)[(n-2)^(n-5)/n^n]（n≧5）他のnは0、(3)はn(n-1)/2になりました。
254：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 13:43:08 ID:vcFWjfLg: (5)(6)についてはシンプルな解法があったらすごいな（出題者の屑）、と思うレベルなのですが
(1)は2×2×3以外に12を得る方法が存在しないので、少なくともn≧3です
255：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 13:58:16 ID:3WF.L/h2: あれ、もしかしたら勘違いしてるかもしれませんね....
一回目の命中は必ず0点で、二回目以降は点数をその都度加算するという形ではないですかね？
僕の場合、計12点になるのは1を三回で3点、3を二回で9点の1パターンしかないという考えになりました
256：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 14:38:43 ID:vcFWjfLg: その得点は2回目ではkのk倍点、3回目ではさらにそのk+1倍、…、n回目ではさらにk+n-2倍された得点を得る
なので
k×k(k+1)(k+2)(k+3)…(k+n-2)点がkに複数回当てたときに得られる得点になります
257：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 14:41:26 ID:3WF.L/h2: あっなるほど勘違いしていました。ありがとうございます。
258：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 17:51:48 ID:rdy9LcBg: ダーツろくにやらない陰者なので「12点を得る」ってのがいまいち理解出来てないんですけど、
>>254の例だと2に当てるのを三回だよ三回ってことですよね

これって例えばn=3の時は三連続で2に当てたところで試行回数が尽きて強制終了ってことでしょうけど、
n=4で123回目を2に当てた時は4回目は外さないと12点を得たとは言えないってことですかね？

あと、例えばn=10だとして、
その中で3連続で2当てたけど3連続で3も当てたってときは
後者で得た36点が優先されるために12点を得たとは言えないって認識でいいですか？
259：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 19:11:18 ID:vcFWjfLg: >>252での「○点を得る」は合計獲得得点のつもりでしたので、こちらの配慮が足りていませんでした
なので、n=4のときは2以外にあてなくてはなりませんし、n=10のときに3にも複数回当ててしまってはいけません
260：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 19:54:09 ID:KEurClNE: あっ合計点かぁ…
そうなると(1)は
nが3～7のとき →2に3連続命中を1回決める確率(=Pa)
nが8～10のとき →2に2連続命中を3回決める確率(=Pb)とPaの和
nが11～17のとき →3に2連続命中を1回と1に2連続命中を3回決める確率(Pc)とPaとPbの和
nが18～26のときは 2に2連続命中を2回と1に2連続命中を4回決める確率(Pd)とPa～Pcの和
nが27～34のときは2に2連続命中を1回と1に2連続命中を8回決める確率(Pe)とPa～Pdの和
nが35～のときは1に2連続命中を12回決める確率(Pf)とPa～Peの和
って感じで場合わけかな？
261：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 20:03:18 ID:KEurClNE: 勝手に連続であてる必要があると思い込んでたけどそんなこと一言も書いてなかったゾ(池沼)
262：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 20:04:46 ID:vcFWjfLg: 複数回当てたときなので、連続で当てる必要はありません
そんな難しいのは>>245がわかってなかったわし(大問53)が(1)で出せないっす
263：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 22:49:22 ID:9Ow8W/uA: 6!で720まで行くので複数回数の最高としては1による7回でしょうか
逆に29^2が841なので複数の目の最高は28ですね
その範囲から810になる組み合わせを気合いで集めて更にそれぞれの確率を求める
これくらいしか思いつかない
264：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/03(木) 22:54:56 ID:vcFWjfLg: ゴールドバッハの予想の拡張じみてしまっているからnを絞ってもいいかもしれませんね
n=20とかでも
265：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/04(金) 07:43:56 ID:DxEOupFE: (1)～(4)までの設問はもう皆さん答えられてて答えだしちゃっていい感じなんですかね？
(4)をちゃんと導出するのクソめんどくさいですね（人間の屑）
期待値はE(p-1)が関わってきそうで漸化式みたいにできそうな気もするから(5)より(6)のほうが簡単な気がしてきたゾ
266：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 00:54:32 ID:YXIeXeEo: 2度目ワクチンの副反応で土日はヤバそうなので(1)だけ示しておきます
なかば朦朧としているので記法がガバガバだったら許し亭ゆるして
(3)はそのまんま(n-2)!です、(4)はp=2について地道に総和を使ってE(2)を求めてください
(1)
1≦k≦nの自然数kにおいて、いずれのkについてもkにダーツが当たる確率は1/n
計12点を得るパターンは、2に3回当てることによって2×2×3点を得て、それ以外の数字について得点を得られないときである
n回投げてそのような結果を得るには、2に3回的中させ、のこりのn-1個の数字のうちのn-4個の数字に一回ずつダーツを的中させたときだけである。(n≧2)
このとき、何回目にどの数字に当てたかは求める確率に無関係である
このような確率は
nC3×(1/n)^3×n-1Cn-4×(1/n)^n-3(n≧3)
で求められる
計算すると、n-1Cn-4=n-1C3より
n(n-1)(n-2)/(3×2×1)×(1/n)^3×(n-1)(n-2)(n-3)/(3×2×1)×(1/n)^n-3
=n(n-1)^2(n-2)^2(n-3)/36×(1/n)^n
=(n-1)^2(n-2)^2(n-3)/36n^n-1(n≧3)
が求める確率である
267：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 01:03:12 ID:YXIeXeEo: n≧4についてはさっきの式で、
n=3については1/27です
途中n≧2となっていますがn≧3の誤記で、n≧3となっているところはn≧4ですね…
268：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 05:58:24 ID:YXIeXeEo: 熱にうなされながら30までだと7,8,23がこのゲームで得られない点数であることは計算したんですけど
なにか法則性が得られそうで得られない感じがもどかしい

28^2+5^2+1^2
27^2+9^2
26^2+10^2+5^2+3^2
これがすべて810なんですが全部数え上げるのはダメみたいですね…
n=20にして解いていだたくと幸甚です
269：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 13:47:47 ID:iYNzsTVM: >>266
n-1Cn-4になるのがんまぁちょっとよくわかんないです(クソ雑魚)
なんでPじゃないんですかね
270：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 14:49:01 ID:6AoAPH7M: ぼくもそこはPかと思いました
n=5として
22342と22432って別物っすよね
271：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/05(土) 15:27:37 ID:YXIeXeEo: n=4のとき
2について4C3(1/4)^3なら、これに3/4を掛ければよい
だけ計算して検算した気になってました
数字は当然それぞれ区別されるので、n-1Pn-4通りあるので
正しくは
(n-1)(n-2)n-1Pn-4/6n^n-1
ですね
272：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 16:26:27 ID:HxqHmR/Q: (2)は(1)と同じ感じで解けばいいっすね
1が2回と3が2回とあとは被らないように数字を1個ずつ使うのがn-4回だから
分子がnC2・n-2C2・n-2Pn-4、分母がn^nになるんすかね
こっからきれいに整理できるのかは知らなーい

(4)はE(2)を求めること自体はシグマでﾊﾟﾊﾟﾊﾟってやれば終わるだろうけど、
E(2)が2番目に低いことの説明の仕方がよく分からないっす
そしてこれを説明できるなら(6)もE(2)が答えですよんって言って尾張平定では？

(5)はナオキです(即答)
273：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 16:52:12 ID:V.x5JpeA: (2)は2×2と1×1×2×3でも作れますね
足し算がめんどくさそう
(4)はk投目での得点にくらべてk+1投目での得点はかならず同じか大きくなるのだから、P(k)<P(k+1)はあきらかなのでは？
(6)は「必ず得点を得られる」というのが0点を含むのか否かで変わるでしょうね…
含むのであればP(1)=0で終わり！平定！もうみんな帰っていいよ！
274：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 17:12:26 ID:HxqHmR/Q: 2×2と1×1×2×3もありますねえ！(屑)

(4)は投げる回数が増えたら得点が増える方向に動くのは自明として、それが投げる回数の増加分以上に期待値増加に貢献していることを言う必要があるんじゃないですかね…？
275：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/07(月) 17:20:18 ID:V.x5JpeA: たぶんこれまでの問と同じく（合計得点の）期待値なのだと思われます
(6)は求めさせたいpが個人的には明らかなので（解けるとは言ってない）
276：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/09(水) 13:27:08 ID:bQBouCfg: 出題者ですけど(4)までの答えは一応出揃ったんですじゃ、流しますね…
>>275兄貴の言うとおり合計得点の期待値のつもりでした
このあとE(3)を計算するときにE(2)が必要になりそうなので自分が想定していたE(101)（鳩の巣原理より）と漸化式で計算可能なのかなと思いましたが、問題設定の不備といい自分の力不足を感じる結果になりました
277：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 17:58:16 ID:caCL7o5E: 皆さんは「エイトクイーン」という遊戯をご存じでしょうか
チェス盤の上に8個のクイーンを、どの駒も互いに取られないような位置に置くというパズルです
日本にも利かずの駒並べというパズルがあるようで、今回はこれを拡張した「n-飛車」について考えたいと思います

2n×2nのマスを持つ将棋盤の上に、n個の飛車をお互いが他の飛車の利き筋にならないように置いて行きます
この時の置き方の総数をN(n)とします
では以下の極限値を求めてください
https://imgur.com/a/Zdxdiu6
278：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 18:03:21 ID:caCL7o5E: 補足ですが、飛車は上下左右に何マスでも進める駒です
また画像を間違えましたので再投稿致します、申し訳ありません
https://imgur.com/a/uW90SqH
見にくければすみませんが画像のルートはn乗根のつもりです
279：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 18:07:50 ID:caCL7o5E: また、本問題の最終段階で数学的には少し危ないことをやっています
素人製作の問題として大きい目で見ていただければ幸いです
280：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/11(金) 23:20:16 ID:caCL7o5E: 数学的に危ないというのはこの問題の本質ではないです
そこに辿り着くまでの過程に面白さがあるので是非挑戦して頂ければと思います
281：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 02:22:38 ID:0KcBb75I: 自分の中では、N(n) / n^n = N(n) * n^n / {n^n}^2 にして y=log(1+x) と y=log(1/x) の二つで区分求積することでn乗ルートのない log {N(n) / n^n} が収束してくれるんだけど、どこが間違ってるか分からんしダメみたいですね(諦め)
282：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 04:48:12 ID:s.9KdSRQ: https://imgur.com/5VDLvQf
駒は区別しない感じでいいんですかね？
最後の0log0の部分は対数の発散よりも多項式の収束の方が速いから0みたいな感じでぇ…(ふんわり数学)
283：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 13:39:13 ID:0KcBb75I: あっそっかぁ区分求積の細かい長方形の幅が 1/n になるの忘れてたゾ(池沼)
0log0に関しては、x=1/t として xlogx = 1/t * log(1/t) = -logt / t 、t→∞で t >> logt ってのを習ったんですけどいいんですかね？(疑問)
284：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/12(土) 23:09:08 ID:EG3Mme.o: 一応明日解答出します
結構難易度高い問題だと思ったんですけどね(畏怖)
285：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 00:24:21 ID:iXyvBO4c: エイトクイーンはレイトン教授にも出てましたね
286：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 16:53:28 ID:mKWRLX.E: 解答になります
https://imgur.com/a/pAIPtlm
答えは4log2-1になり、>>282さん見事正解です！
パーミュテーションやコンビネーションから区分求積法に繋がるといった点が本問題の面白さです
287：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 16:56:56 ID:mKWRLX.E: 最初に言った「数学的に危ないところ」であるlogxの(0，1］における積分についても注釈を入れました
https://imgur.com/a/yotuKuF
これはいわゆる広義積分というもので、大学数学の範囲になりますがこの程度であれば適当にやっても問題ないかもしれません
広義積分と定積分を混ぜて計算していいのかは良く知りません、数学の先生許して！
288：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/02/13(日) 17:02:33 ID:mKWRLX.E: 注釈で触れたロピタルの定理は、使用条件は省きましたが使えれば非常に強力な武器になりますので高校生兄貴は覚えておくといいかもしれません

本問題は2010年京都大学前期数学第6問から着想を得て作りました
https://www.densu.jp/kyoto/10kyotospass.pdf
この問題は工夫により先述の広義積分にならないように設定されており、さすが京大と言った感じですね
拙問を解いて頂きありがとうございました
289：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 10:47:57 ID:xOUrcb9Y: 春休みに暇な方のために上げておきます
ある自然数(n,k)に対して
3^n+2n-1=k^2
が成り立つという
(1)上の式を満たすk^2の奇偶を求めよ
(2)上の式を満たすような(n,k)をすべて求めよ

比較的筋肉で計算する方法しか思いつかなかったのでエレガントなのがあったら期待したいです
290：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 15:13:01 ID:3TJxSbcs: この問題超助かる！
さっそく挑戦してみますよ～
291：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 19:17:14 ID:3TJxSbcs: なかなか難問ですね…
(1)はすぐだけどこれをどう次に活かすかで悩んでます
あと自然数が(n、m)ではなく(n、k)なのは意味があるんだろうか(邪推)
292：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 20:36:54 ID:xOUrcb9Y: m,nにしなかったのは大学への数学の有名問題のリスペクトってだけなんですが
たぶんキーになるのがnの存在範囲なのでヒントになってるのかもしれない（適当）
293：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/22(火) 22:01:04 ID:mMDFhwv2: 2nと-1がくっついてるから3=2+1にバラして二項定理的にしたらいけるかと思ったけどまんまと泥沼に入ったゾ
294：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/24(木) 10:07:07 ID:7QtRnZTo: mod3の計算をミスって絞り込みできる範囲を勘違いしてました…（ガバ出題）
とりあえず(n,k)=(1,2)のときに成り立って
n≧3のときk>nだから、3^n=k^2-2n+1>k^2-2k+1=(k-1)^2というのが役立ちそうな気がします
元の問題は3^n=k^2-40で、これは(1)のアプローチだけでどうにかなりますので、こちらのほうが有意義ですね…
295：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/25(金) 23:35:15 ID:LTzFsreo: nが偶数の時はn=2mとして
(3^m)^2 < 3^2m+4m-1 < (3^m+1)^2なので等式は成立しないですね

nが奇数の時は、うーん…
296：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/26(土) 00:58:31 ID:rumOu50U: 両辺のmod3をとるとn≡±1(mod3)なので
n=3m±1で同じ変化にはできそう
297：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 17:01:20 ID:s3VGLI1A: 受験生のホモも落ち着いたと思うのでわかればサクッと解ける問題を出します
わからなかったら泥沼なので大学受験には出ないと思います
数2Bで解けます

810
∑｛√1/3x-x^2+(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
について考える
(1)xが実数解を取る方程式√（1-x^2）+√(4-x^2)=l（lは実数）について、lとxの範囲をそれぞれ求めよ
(2)上の式について、最大値とそのときのxの実数解をすべて求めよ
298：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 17:11:21 ID:s3VGLI1A: >>297
与式は正しくは
810
∑√｛x/3-x^2+(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
でした。スマホで数式打つのめんどくさいっすね…
299：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/29(火) 20:08:11 ID:s3VGLI1A: グラフ書かないとめんどくさそうだから掲示板向けの問題ではなかったかもしれない（懸念）
300：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/30(水) 00:03:37 ID:QTbM20aY: 最近問題出してくれる兄貴が多くて嬉しい
301：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/03/30(水) 20:22:55 ID:m9AuG6zI: (1)を厳密に論述させるのってもしかして実はかなりめんどくさかったりしますかね？
そうだったらTDN誘導なので文言を変えますが

>>289って
>>296と>>295を使ってmが自然数、すなわちn≧2のときにこの不等式が成り立つから
(n,k)=(1,2)以外では成り立たないとしちゃっていいんですかね
302：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 00:12:35 ID:2Kl36d5Q: YOSHIKIがよくわかんないっす
これシグマを解くまでもなく最大値とるとしたらx=1/6の時でしかありえないけどそのときもk=1のときとかに√の中身がマイナスになってしまうから最大も最小もクソもなくなりませんかね
303：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 00:36:41 ID:lFn.pQvg: 810
∑√｛x/3-x^2-(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2｝
k=1
が正しい与式でした、申し訳ナス！
304：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:01:18 ID:2Kl36d5Q: あっそういうことかあ…
それならx=1/6を入れて式を整理したらシグマの中身が1/k-1-1/k+1になってくれるんで答えは810/811ですかね(途中計算を省く屑)
(1)は数学的厳密性についてはよぐわかんないすけど虚数にならないように考えたらxは-1~1でlは√3~3
305：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:09:50 ID:2Kl36d5Q: シグマの中身書き間違えたゾ…
1/k-1/(k+1)です
306：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/01(金) 01:29:37 ID:lFn.pQvg: そのとおりです！正解されるのが気持ちいい！
数学オリンピック予選の過去問改変ですが、どちらにしろめちゃくちゃこけおどしです
-(k^4+2k^3+k^2-36)/36k^2(k+1)^2
が単なる
1/k^2(k+1)^2-1/36であるみたいなことは入試では共通テストレベルでもままあることなので受験生のホモは覚えておいてください
1/n(n+1)の総和もよく出ます
(1)もすごく国立大学っぽいなとは思いつつ想定した解答は>>304のとおりなんですが数学的厳密性が成り立ってるのかはわかんないです
（複素数）+（複素数）が実数になる場合と左辺を比べればいいのでたぶん大丈夫ですが
307：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 06:51:23 ID:DM.Wvhv.: 東工大の2019年大問4（空間をn個の面で切ったときにできる空間の数）が伝説の難問だったらしくていくつか解説を見たんですが
その最大がnC3+nC2+nC1+nC0になる理由がエレガントになるらしいんですけど、そこの部分がどこにもありませんでした
これの二次元バージョン（平面を直線で区切ったときにできる領域の数）がnC2+nC1+nC0で、同じことができるらしいんですけど
参考書で見たことあった解答は地道に漸化式使う方法だったんで知りたいです
これが(1)で(2)(3)は途中で解説見るのやめるレベルのシンプルにクソ問でした
308：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 10:19:36 ID:sjiJdQUs: 出題というか質問になってしまうのですが大丈夫でしょうか
出題者いわく、中卒でも解けるが高一以上が適正レベルらしいです

x^2+xy+y^2=49
y^2+yz+z^2=144
z^2+zx+x^2=169
x>0, y>0, z>0のとき、x, y, zを求めよ
309：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 18:11:38 ID:VwzKVR8s: 1番上の式から、yが7以上で有れば破綻することが最初の一歩ですかね
仮定と合わせて0<y<7なのでその範囲で1番上の式に総当たりしてみる
そうすると(x、y)＝(3、5)、(5、3)の組しか無い
yが3か5なのでそれを真ん中の式に入れて二次方程式を解く
そうすると(x、y、z)＝(3、5、7)のみになる
最後これを代入して与式が成り立つことを言って終わりだと思います

x、y、zが自然数じゃなかったら知りません…
310：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/02(土) 18:55:17 ID:DM.Wvhv.: (x+y)^2-xy=7^2で計算すれば割と暗算のみでいけます
(x+y+7)(x+y-7)=xyでもよさそうです
二式を引くとy-zとかでくくれるのでそこから計算してもいいです
自然数じゃなかったら知りません
三式足して(a+b+c)^2と比較したりすんのかなと思ったけどそっち方面はわかりませんでした
311：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 12:16:12 ID:58qGHElw: 整数問題を作るのが難しかったので初投稿です
三次方程式の解の関係使うの結構難しいですねこれ

xy平面上の点Pから引かれたx^2+y^2=1への接線の2つの接点をA,Bと置く
△ABPが正方形となるとき、Pの軌跡を求めよ
312：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 12:16:37 ID:58qGHElw: 正方形じゃなくて正三角形です…
313：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/03(日) 15:55:45 ID:pKSDs7F6: 308ですが、つべのチャット欄で投げられてた問題なので、自然数云々など問題自体がガバガバな所もあったかもしれません。回答してくださった方々ありがとうございます
314：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/04(月) 11:57:10 ID:MmmWnA5g: >>311が（たぶん）中学生にもすぐ解けることに気づいたので問題追加です
(1)は中学生のホモがいたら解いてみてください

xy平面上の点Pから引かれたx^2+y^2=1への接線の2つの接点をA,Bと置く
(1)△ABPが正三角形となるとき、Pの軌跡を求めよ
(2)四角形OABP（Oは原点）の面積が√3となるとき、Pのとりうる領域を求めよ
315：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/06(水) 15:15:04 ID:hEkLQCdg: (2)の四角形ってもしかしてOAPBですかね？
だとすると(1)と(2)って答え一緒になる気がしますが
316：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/06(水) 20:46:02 ID:kZHDq52w: (1)だけであることを示すのが意外と面倒くさいんですけど
∠OAB=θ(0≦θ≦180°)とおいて地道に導いたらsinθ+sinθ(1-cosθ)/(1+cosθ)=2√3とか出てきたんですけどなんなんすかねこれ
最大最小なら導けそうですけど
317：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:51:04 ID:k9kYcBMA: OAPBは対角線が直角な四角形だから面積はAB×OP×1/2で求められる
対角線の交点をMとしてAB・OPを求めていく
ABについては、∠OAB=ΘとするとAM=cosΘなのでAB=2AM=2cosΘ
OPについては、OP＝OM+MPとみて考える。
OM=sinΘ。PMについては、⊿APMと⊿OAMが相似になってるので比を利用してPM=cosΘ^2/sinΘ
よってOP＝sinΘ+cos^/sinΘ=1/sinΘ
よって面積=AB×OP×1/2=1/tanΘ
これが√3になるのでΘは30°一つに決定される
Θが一つしかないからOPの長さも一つに固定されるからとりうる領域はそれをぐるっと回した円になる(雑)

∠∠∠∠∠∠
318：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:52:32 ID:k9kYcBMA: 答案書くのに∠いっぱい使うかと思って下の方に溜めといたの消し忘れたゾ(池沼)
319：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 03:59:48 ID:k9kYcBMA: 相似なんて考えなくても直角三角形OAPでOAが1だから斜辺OPは1/sinΘで終わりっ！て考えられますねえ
320：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/07(木) 05:22:41 ID:NnrfUK6M: ∠AOB=θとしてA(1,0)とB(cosθ,sinθ)にする王道パターンだと比較的計算地獄に陥りそうですねこれ
ABが√(2-2cosθ)とかやりはじめると
321：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/13(水) 22:54:21 ID:DhvlmpBs: 面白い問題拾ったので初投稿です
xy平面上の原点を中心とする半径１の円周上にN個の点を無作為に配置し（すなわち各点は円周上に一様かつ互いに独立に分布）、各点で円周を分割してN個の円弧を作成する。このとき点(1,0)を含む円弧の長さの期待値を求めよ。
ヒント：1/Nじゃないゾ
322：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/13(水) 22:59:30 ID:DhvlmpBs: すみませんガバりました
円周の長さは2πなので
ヒント：2π/Nじゃないゾ
が正しいヒントですね
323：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 00:02:02 ID:Wc/oybvk: 2π/Nだと思ったけど違うんですね
なんとなくの直観で点が(1、0)上にあるときが重要な気がする(小並感)
324：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 00:25:07 ID:vSjo9y7k: A(1,0)から数直線で考えると重なるときと重ならないときで点の数が変わるから場合分け？
Aの左隣（Aを含む）に打った点から数直線引こうと思ったらなんかめんどくさい気がしたので
それとも三角関数やθが関わったりするのだろうか
325：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 07:47:40 ID:eSfbVlrs: 点が重なる確率はゼロなのでそういう事象は度外視できるはず
大学レベルの確率統計を前提とした問題ですかね
一様分布とか一応高校数学でも扱ったっけ？
326：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 07:56:39 ID:vSjo9y7k: 一応数2Bでやります（大昔はC）
ただセンターや共通テストでベクトルやるのがめんどくさい人がやるものではある
(1,0)は単位円上の点だし点N_1(cosθ1,sinθ1),…,N_N(cosθN,sinθN)(0≦θk<2π)で考えても除外できないんじゃないかと
327：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/14(木) 09:14:20 ID:eSfbVlrs: 一応高校でやるんですね
一様分布に従う変数がある一点にたまたま重なる確率はゼロなのでそういう事象は無視する(期待値計算には影響しないし)、みたいな議論は大学の確率統計じゃないとやらなそうですが
328：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/16(土) 18:06:12 ID:/bwgyz6c: ヒントオナシャス！
329：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:45:34 ID:iZ0hhfPs: >>321のヒントです
まず基本的な大前提として、こういう確率論の問題では確率０の事象（点がたまたま重なる）は無視して考えましょう
コインの裏表が50％っていったときに、じゃあコインが立ったらどうなるのかみたいな話をしたらキリがありませんからね

そもそもなぜ期待値が2π/Nにならないかですが、N個作成されたうちから無作為に円弧を取ってくれば確かに2π/Nなのですが、ここでは「予め指定された一点を含む」という条件がついてきます
ある一点を含む確率は長い円弧の方が短い円弧よりも高いので、答えは必然的に2π/Nより大きな値になります

具体的解法ですが、これは２通りの解き方があります
１つ目の解法はひらめき重視なのでヒントは出しにくいのですが、「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/(N-1)」という事実に注目、とでも言っておきます
２つ目の解法は数学的に厳密だけど力ずくで、大学レベルの確率論の知識が前提です
それぞれの点の弧度法による位置θ1,...,θNは(0,2π)上の一様分布に従うので、点(1,0)を含む円弧の長さをθ1,...,θNの関数として表現し、期待値を計算しましょう
330：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 14:49:45 ID:iZ0hhfPs: すみません、また記述ガバです
「N個の点のうち最初に打った点の両側の円弧の長さの期待値はそれぞれ2π/N」が正しいですね
331：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/17(日) 15:01:23 ID:GKJAH7rg: （複素平面上でe^iθとかするほうが楽なんだろうという想像はできそうなんですが数2Bまでしかやって）ないです。
(1,0)に近い3点を定めてどちらの円弧に(1,0)をふくむかとか考えると余計共役複素数とか出てきそう
332：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/04/28(木) 17:17:11 ID:ti.atY9A: 単位円を(1,0)から始まり終わる数直線にして
N+1個の点を打って、(1,0)からの距離の絶対値が一番小さい点P_N+1を一つ取り除けば必ず題意を満たすN個の点が打たれた単位円ができる
ところで、点P_N+1から伸びる円弧の長さの期待値は(2π/N+1)×2=4π/N+1であるから、これが求める期待値なんかな
確信がないわ、言うのやめとくわ
333：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/01(日) 22:19:57 ID:MK8LQDVA: 問題思いついたのでそろそろ次の問題出したい…
答え教えて下さい！おなしゃす！
334：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/01(日) 22:44:14 ID:VVc.A92E: >>332が正解です、レス見落としてて申し訳ない
解法１
円は対称なので、N+1個の点を打った時に最初に打った点を(1,0)と見なせば、「最初に打った点を含む２つの円弧の期待値」を求める問題に帰着でき、答えは4π/(N+1)
解法２
>>329のように(θ1,...,θN)を定義すると、点(1,0)を含む円弧の長さはmin{θ1,...,θN}+2π-max{θ1,...,θN}と示される。累積分布関数Fに従うN個の独立な確率変数の最大値の累積分布はF^Nであることを利用して、期待値を計算すると（計算は省略）、やはり答えは4π/(N+1)
335：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/03(火) 23:09:10 ID:LL1eGhwQ: 問題を出します
11…11のように1がk個並ぶ数があります(1≦k≦8101919)
この形の整数のうち少なくとも1つは8101919の倍数であることを示してください
336：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 00:58:06 ID:8ttxOOZ6: >>335
全ての桁が1な8101919個の整数の中に8101919の倍数が無いと仮定する
それらを8101919で割った余りは1以上8101918以下であるから多くても8101918種類、よって余りが同じとなる数が最低2つある
その二数の差は（全ての桁が1の数）×（10の何乗か）で表され、8101919の倍数である
10は8101919と互いに素だから（全ての桁が1の数）が8101919の倍数でなければならないがこれは仮定に矛盾する
337：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 03:03:01 ID:yiKx5FB6: 数2Bをやったことのあるホモなら、整数a,b,c,d(a≠0,d≠0)を係数に持つ三次方程式
ax^3+bx^2+cx+d=0
を因数定理で解こうとするとき、
x=(dの約数)/(aの約数)…①
を代入することによって解こうとしたことがあるはずです。
ところで、上記のxに関する三次方程式は、①で表されない有理数解を持ちうるでしょうか？
持っているなら、それはどんなものでしょうか？
338：名前なんか必要ねぇんだよ！：2022/05/04(水) 20:43:49 ID:yiKx5FB6: >>337を出す間に、π<√10を示せという問題が出せたら面白いなと思いましたが
ちょっと調べたら具体的な数値を使わずに初等的に示すならバーゼル問題使わないといけないみたいでびっくりしました（それでも難しい）