at the weekendはweekendをあくまで点として意識していると思います。
その時、何々をしていたってやつですね。時間的な幅の意識はものすごく狭いと思います。
その時点での活動にフォーカスが当たるような気もします。
on the weekendは何か流れとして感じる活動にonしているようなイメージ。
on a picnicとかon a tripなどと同じでしょうか。
そこにはある程度の時間的な幅を感じます。
何かイロイロ活動がなされているような印象を受けます。
Papa is at a picnic.
Papa is on a picnic.
訳による意味はほぼ同じですよねぇ。ですが意識がやはり違うでしょう。
時点での活動にフォーカスか、ピクニック、
その流れとして感じる活動にonして活動中なのかだと思います。
at the weekendのtheは共通イメージのtheだと思います。
みんなが思い描くweekend。あ、そーゆーもの！という感覚だと思います。
週末って言ったら皆さん思い描くことができる共通イメージが
あると思うんですけどね。
だから1つに決まるのだと思います。
一般論の the week が前提になっているのではないかと思います。 day, week, month, year, ... という期間のうち、ひとつに決まる the week という期間に関する一般的な習慣の話。 the week のひとつに決まる端だから the weekend。 the weekend は端点（the end は点）という意識から at。
米国で at the weekend でなく on the weekend となるのは、110さん>>2の「活動」に加えて、 on Monday, on Tuesday, ... という on the weekdays の流れで the weekend も端点ではなく the day(s) at the end of the week と意識され、おそらく on (a) holiday(s) にも強く影響されて、定着したからではないかと推測します。
「敢えて無理やり日本語訳に差をつけたら」、「on the weekend」は「（土曜日と）日曜日に（〜をしようという活動の流れの『上』で）は」、「at the weekend」は「１週間という期間の終わり（『点』）には」という感じになるかと思います。「on the weekend」は通常の週休日の予定を考える感覚、「at the weekend」は英国（や欧州）では普通の月曜日から始まり日曜日に終わるカレンダーの週末を見ている感覚と言い替えてもよいと思います。米国（や日本）では普通の日曜日から始まり土曜日にに終わるカレンダーでは週末が土日ではないので週休日を意識して「on the weekend」と言うようになった、とまで言うと穿ち過ぎかもしれません。週休日には何か楽しいことをしようと考える米国人、週末には公園で寝そべるだけの英国人、というステレオタイプな見方もご参考になるかもしれません。
「「the」のひとつに決まるという方ですがこれは週末は一週間に何回もあるわけじゃないのでひとつに決まるということでいい」と思います。１週間の通常の予定を話題にしているわけですね。１箇月の通常の予定を話題にするなら、「on the last day of the month」と「at the end of the month」になるでしょう。「活動の流れの『上』」と「期間の終『点』」の違いは１箇月でも変わらないと思います。
一週間を一本の線のような物とイメージすればその端点である
週末はatで表現するのは自然でいいと思いますね。
もちろん端点はonでも表現できるんですが・・、もうキリキリの
ギリギリである端っこに接している感じになりますね。
ですのでこの考え方の場合はもうちょっと余裕のある、
端のあたりを点と捉えるatを使った方が自然でしょうね。
onの場合は"on saturday""on December 1"など期間を表すonと同じ感覚で"on the weekend"と表現しているのかもしれませんね。
あくまで切りよく線と表現しやすい（することに決めている？）
期間に接している感覚で、活動・・は考えすぎたかもしれません。。
We often eat outの説明にat the weekendなので共用イメージ（一般的）だと思うんですけどねぇ。
これは現在形で習慣のお話ですね、その説明に週末は一週間に何回もあるわけじゃないのでひとつに決まるとなると、僕の場合は頭の中に？が沸いてしまうんですが。。
他の週にも週末ってたくさんありますよね。
例えば木曜日にみんなが共用できる強いイメージってないと思うんです。
だけど週末は・・、なんだか頭の中にイメージが沸いてきませんか？
聞き手にも共用のイメージが思い浮かぶ、それがtheを呼び込んでいるんだと思うんですけどね。
みんなが思い浮かぶ一般的な週末、というイメージなのだと思います。
確かに「共用イメージ（一般的）」という側面もあると思いますが、それだけだと at weekends との意識の違いがハッキリしないと思うんですよね。例えば COBUILD English Usage には、 The tower is often open to the public at weekends. （英国）や On weekends we would sit in St Philip's graveyard with our sketchbooks on our knees. （米国、豪州）という例が載っています。このように、現在／過去の「習慣」の話で at/on weekends と言うこともよくあると思います。特定されない複数の週末を意識した普通の言い方ですね。すると、「習慣」の話で at/on weekends と言わず at/on the weekend と言うときの意識は何か？私が聞き手なら、話し手は複数の週末を思い浮かべて「週末にはよく」というより通常の一週間の過し方を思い浮かべて「週末になるとよく」という意識で話しているのだなと受け取ります。（「木曜日」の「習慣」の話なら、 on Thursdays と言い、 on the Thursday とはまず言わないと思います。これは、後者に「共用イメージ（一般的）」がないというよりは、後者が特定の木曜日を意味して「習慣」の話に使えないという意識の方が強いのではないかと思います。）
ついでに、英国人と米国人の会話で at the weekend と on the weekend の違いが気になるかというご質問>>6についてですが、日本語の異なる方言話者同士の会話とほぼ同じと考えてよいと思います。違いを聞き慣れていれば気にならず聞き過ごす、聞き慣れていなければ聞き返すこともあるかもしれない、というところだと思います。二十歳前後の英米からの留学生と話すことも少なくないのですが、この手の違いに留学生同士互いに初めて気づいたときには違いだけで話が盛り上がることもありますが、 at と on の違い程度ならほとんど気にしないと思います。
at weekendsは無冠詞複数ですから、具体性とかはないですけど
単に漠然と週末ですよね。
at the weekendを皆さんの共用イメージでtheに限定されているとして考えてみます。
土日は仕事がなくて、自由な時間で好きなことするぞーみたい感じでしょうか。
それだけtheに限定されていることもあり一般的と言えますが、
ある程度イメージもはっきりして生き生きとしているのかもしれません。
もちろん文脈により特定の週末をtheで限定する使い方もあると思います。
まぁあくまで私の持っている知識の範疇からの予想であり、自信はあまりありませんけど。
Longmanのweekendの項には解説に
Saturday and Sunday, especially considered as time when you do not work:
とあるんですよ。後半が共用イメージみたいな物なのかなと思いました。
