「敢えて無理やり日本語訳に差をつけたら」、「on the weekend」は「（土曜日と）日曜日に（〜をしようという活動の流れの『上』で）は」、「at the weekend」は「１週間という期間の終わり（『点』）には」という感じになるかと思います。「on the weekend」は通常の週休日の予定を考える感覚、「at the weekend」は英国（や欧州）では普通の月曜日から始まり日曜日に終わるカレンダーの週末を見ている感覚と言い替えてもよいと思います。米国（や日本）では普通の日曜日から始まり土曜日にに終わるカレンダーでは週末が土日ではないので週休日を意識して「on the weekend」と言うようになった、とまで言うと穿ち過ぎかもしれません。週休日には何か楽しいことをしようと考える米国人、週末には公園で寝そべるだけの英国人、というステレオタイプな見方もご参考になるかもしれません。
「「the」のひとつに決まるという方ですがこれは週末は一週間に何回もあるわけじゃないのでひとつに決まるということでいい」と思います。１週間の通常の予定を話題にしているわけですね。１箇月の通常の予定を話題にするなら、「on the last day of the month」と「at the end of the month」になるでしょう。「活動の流れの『上』」と「期間の終『点』」の違いは１箇月でも変わらないと思います。
