レス数が1スレッドの最大レス数(1000件)を超えています。残念ながら投稿することができません。
「集合・位相入門」輪読会
-
とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
-
俺はいつ始めてもOKです。
先生や他の皆さんの都合を聞かせてください。
-
とりあえず９さんの合格が確定するまで待ってはどうかと思いますが
-
まぁ確かにそうですけど…
俺自身、正直大学の勉強をはやく始めたいし。
他の方々の都合さえつけばすぐにでも開始したいです。
-
まあもちつけ
-
日程については掲示板の特性を利用して、何日何時に集合って形じゃなくて、
担当者がどんどん講義のような格好で解説していって、それ読んだ担当以外の者が
「>>***の*行目はなんでですか？」とか
「>>**?の?行目!うそつくな!」とか書き込めばいいんでは。
順番については、とりあえず、初回は管理人さんね。
初回どこまで読むかは適当に決めてください。節ごととかに機械的に
区切ってもいいですけど。で、2回目の担当は候補者を募って、いなかったら
９ちゃんが指名してください。それでもいなかったら2回目は私が担当します。
とりあえず、最初のほうからゆっくりと書いてみればどう？
-
>>6
わかりました。
では準備ができ次第、講義を始めますｗｗｗ
初回は第1章§1-2の簡単な説明と問題の解説くらいでいいでしょうか。
-
>>7
簡単な説明ってのはどの程度のことを想定してるのかわかりませんが、
テキスト持ってない人にもわかる程度の丁寧さがあればいいと思います。
-
>>5
と言うわけなんで、９ちゃんがやる気だしてるし、>>6のような
形式だったら始めちゃっていいんじゃないでしょうか？
-
>>8
わかりました。適当にがんばってみます。
-
とりあえず今日はもう体力的に無理なので、
明日からスタートさせてもらいますｗｗｗｗ
-
2セクション解説するのって思ってたよりもずっとキツいですね…
前言（>>7）を撤回しますｗｗｗｗ
初回は第1章§1の簡単な説明と問題の解説をします。
-
では輪読会を始めます。
質問・疑問・別解などあればどんどん発言してください。
（たぶん初回はそんなにないと思うけど…）
第1回担当；９−ｍａｎ
第1回内容；第1章―§1「集合の概念」
なお、俺は図書館から借りてきた、1968年発行の第1刷を使っているので、
皆さんのとは若干異なるかもしれません。ご注意を。
# 特殊な数学記号を書き込みたいときは、下記URLを参照してください。
http://f7.aaacafe.ne.jp/~recchiki/sp_char/chr02.htm
-
A) 集合と元
まず、集合とは皆さんもよくご存じのとおり、
いくつかのものを一まとめにして考えた”ものの集まり”のことです。
Aを1つの集合とするとき、Aの中に入っている個々の”もの”を
Aの元（または元素、要素）と言います。
”もの”aが集合Aの元であることを、記号で
a∈A または A∋a
と書きます。これを「aがAに属する」「aはAに含まれる」「Aはaを含む」などと言います。
a∈Aの否定は、
a∉ฺA または A∌ฺa
と書き表します。
ある集合Aとものaを考えるとき、
「a∈A または a∉ฺA のいずれか一方のみが成立し、
両方同時に成立したり、両方同時に不成立であったりしない」場合に限って、
Aを”集合”と呼んでよいことにします。
-
B) 集合の記法
集合の記法は大きく2通りあります。
1つは、元 a, b, c, … により成る集合を
{a, b, c, …}
という記号で表す、「外延的記法」です。
もう1つは、変数xについての条件（または性質）C=C(x)を用いて
{x| C(x)}
という記号で表す、「内包的記法」です。
ところで、ある条件Cを考えた場合、
その条件を満たすものが1つも存在しないといこともあり得ます。
たとえば、”xは x^2+1=0 となる実数である”という条件を
満たすようなものは1つも存在しません。このような場合をも含めて、
{x| C(x)} をいつも集合として取り扱うことができるようにするために、
”元を全く含まない集合＝「空集合」”を考えます。
空集合はφという記号で表します（つまりこの場合、{x| C(x)}＝φである (註1)）。
空集合φは元を1つも含まないから、どのようなものaに対しても
a∉ฺφ
が成立します。なお、外延的記法を用いれば、
φ={ } (註1)
と書くこともできます。
(註1) 集合の相等については以下のレスを参照のこと。
-
C) 集合の相等
集合は、その中味―元の全体―によって決定されるものだから、
中味が全く同じでありながら、なおかつ異なるような2つの集合は存在しません。
そこで、集合の相等は次のように定義されます：
集合A, Bは、全く同じ元からなるとき、すなわち
Aの任意の元は同時にまたBの元であり、Bの任意の元は同時にまたAの元でもあるとき、
等しいと言い、それを A=B と書く。
つまり、
A=B ⇔ 任意の対象xについて (x∈A ⇔ x∈B) が成立する。
ということになります。
外延的記法の場合について、元を書き並べる順序は任意に変えても差し支えありません。
ex) {1, 2, 3, 4}={2, 4, 1, 3}={4, 3, 2, 1}.
また、同一の元を重複して書くことも特に禁じられてはいませんが、
同じものをいくつ書いても、その効果はただ1つ書いたときと同じです。
ex) {1, 1, 1, 2, 2, 3, 4}={1, 2, 3, 4}.
-
D) 部分集合
任意のものxについて、
x∈A ⇒ x∈B
が成立するとき、AはBの部分集合であると言い、
A⊂B または B⊃A
と書きます。このことをまた、「AはBに含まれる」「BはAを含む」などとも言います。
この否定は
A⊄ฺB または B⊅ฺA
で表します。
AがBの部分集合であると言うときには、A=Bである場合も除外しないことにします。
A⊂B でかつ A≠B であるとき、AはBの「真部分集合」であると言います。
ex) N⊂Z, N≠Z だから N={1, 2, 3, …} は Z={0, ±1, ±2, …} の部分集合。
# ⊆や⊇の記号を使って真部分集合のときと区別する流儀もありますが、
この記法は今日び流行らないそうです。（第1刷曰く）
定義から明らかに、
A=B ⇔ A⊂B, A⊃B
です。
また包含関係については次の推移性：
A⊂B, B⊂C ⇒ A⊂C
が成立します。
-
ところで、空集合φは元を1つも含まない集合であるから、それは、
いわば”最も小さい集合”だと考えることができます。
したがって、どんな集合Aに対しても、φはAに含まれるとみなすのが自然です。
そこで我々は、任意の集合Aに対して、
φ⊂A
であると約束することにします。
これは論理法則上の一般的な既約：
(a) qが無条件に正しいならば、pの正否に関わらず p⇒q は正しい。
を用いれば証明できます。
(a)において p→q' (qの否定), q→p' (pの否定) とすれば
(a') p'が無条件に正しいならば、q'の正否に関わらず q'⇒p' は正しい。
すなわち p⇒q は正しい。
となりますが、「p'が正しい」ことと「pが正しくない」ことは同値なので、
(b) pが正しくないならば、qの正否に関わらず p⇒q は正しい。
が言えます。
B)より、任意のxに対して x∉ฺφ であるから、
(b)より、x∈φ ⇒ x∈A が正しいことになります。
∴ φ⊂A.
-
問題の略解（簡単そうな問題は省略しました。）
1. a∈A ⇔ (x∈{a} ⇒ x∈A) ⇔ {a}⊂A.
2. {1, 2, 3}={x| x∈[1, 3]∩Z}
3. 略
4. A={a+b√2| a, b∈Q}.
(i) x=a+b√2, y=c+d√2 として実際に計算。
(ii) Aの乗法における単位元は 1+0√2 である。
Q-{0} は四則演算について閉じており、
2p^2-q^2=0 ⇔ (p, q)=0 であるから、
(a,b)≠(0, 0) のとき (a+b√2)^(-1)={b/(2b^2-a^2)}+{a/(a^2-2b^2)}√2∈A.
A'={a+b√2| a, b∈Z} については、(i)は成立するが(ii)は成立しない。
5. 正則行列の意味がわかりません…。
とりあえず a^2+b^2≠0 ⇔ (a, b)≠(0, 0) でなければ逆行列が存在します。
それは巻末の解答に載っている通りです。
-
以上です。ふぅ〜疲れた。
こんな感じでよかったんでしょうか。
とりあえず質問とかあればどうぞ。
-
>>20
正則行列とは逆行列を持つ行列のことです。
-
>>21
了解です。
>>19の5番の解答を訂正。
A∋X=([a b], [-b~ a~]) について detX=|a|^2+|b|^2 であるから、
detX≠0 ⇔ (a, b)≠(0, 0) のとき X は正則行列であり、
Cは加・減・乗法について、C-{0}は除法について閉じているので、
X^(-1)∈A である。
これでいいでしょうか。
-
>>18
φ⊂A
であることを約束するならそれは証明不要のはずなのに
なぜ証明しているのでしょうか。
またその証明ですが、⇒は「ならば」ですよね
→は何でしょうか
結果的に(b)が正しいことは真理表を書けばわかるのですが
(a)からどうやって導いたのかがちょっとわかりにくいです。
>>18 8行目のp,qと9行目のp,qは同じものですか？
-
>>22
問題は
Aが([a,b],\-b~ a~])の形の2時の正方行列全体の集合としたとき
Aが和、差、積で閉じており、零行列でないAの元Xは正則で
Xの逆行列もAの元であることをいえ
ですか？
-
>>23
えーっと、確かに日本語が曖昧でした。
先に（直感から）約束した事柄が、
これまでに掲げた定義から論理展開しても矛盾せず、
妥当なものであることを確認するために、
「証明」って言い方をしたんだと思います。
⇒は「ならば」です。
→は「おきかえる」の意味で使いました。
ココも曖昧で申し訳なかったです。
(a)のp, qと(a')(b)のp, qは全く別物です。
一応本書の表記に合わせましたが、
ここは別の文字にしたほうがよかったですね。
-
>>24
その通りであります。（恐れ入りました）
-
PCのﾊﾞｯﾃﾘなくなった。
温泉へ行く途中ですので
残りの疑問は後ほど。
-
>>24
× Aが([a,b],\-b~ a~])の形の2時の正方行列全体の集合
○ Aが([a,b],[-b~ a~])の形の2次の正方行列全体の集合
でした。ごめん。
>>22
＞Cは加・減・乗法について、C-{0}は除法について閉じているので、
＞X^(-1)∈A である。
なんで？
>>19
＞1. a∈A ⇔ (x∈{a} ⇒ x∈A)
なんで？
あと、問題文は面倒でしょうが書いといたほうがよかろうかと。
略もちょっといただけないのでは。問題3なんか高校生向け
の問題かもしれないけど。
|
|
掲示板管理者へ連絡
無料レンタル掲示板
