『解析概論』輪読

34：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:11:10: なおこの定理においてI_nが閉区間であることは重要である.
I_n=(-2^(-n),2^(-n))とすると-2^(-n)<-2^{-(n+1)}<2^{-(n+1)}<2^(-n)だから
I_(n+1)⊆I_nであり,lim[n→∞](2^{-n}-(-2^{-n}))=0-(-0)=0であり,
lim[n→∞]2^{-n}=lim[n→∞](-2^{-n})=0は,すべての自然数nに対して0∈I_nとなるが,
I_n=(0,2^{-n})であるとすると
0<2^{-(n+1)}<2^{-n}だからI_(n+1)⊆I_nでありlim[n→∞](2^{-n}-0)=0であり,
lim[n→∞]0=lim[n→∞]2^{-n}=0であるが0はどのI_nの元でもない.

これまでDedekindの公理>>4を仮定し,そこからWeierstrassの定理>>6を導き,
Weierstrassの定理>>6から定理>>20を導き,定理>>20から定理>>32を導いてきた.
いま定理>>からDedekindの公理>>4を導くことができればこれら4つの命題は
皆論理的に同値である.そこで定理>>を仮定し,Dedekindの公理>>4を導く.

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