『解析概論』輪読

6：RSKTTM：2005/07/26(火) 23:11:05: 命題

集合Sに最大元M=max(A)が存在するならばMはAの上限である。
下限についても同様のことがいえる。

証明

先ほどの命題を利用する。最大元の定義からして、Mは(1)を満たす。またa´<MとするとM∈Sであるからa´<xを満たすSの元xが最低一つは存在することになる。よってMは(2)をも満たすのでSの上限である。

定理2. （Weierstrassの定理）

Sは空集合でないとする。
集合Sが上に有界ならばSには上限が存在する。
集合Sが下に有界ならばSには下限が存在する。

証明

Sが上に有界だとして、Sに上限が存在することを示す。
RをSの上界でない実数全体の集合AとSの上界全体の集合Bに分ける。
このとき(A, B)は実数の切断である。

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