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『解析概論』輪読

20：RSKTTM：2005/07/31(日) 13:45:27
(4)の証明

まずlim_[n→∞]1/b_n=1/βを証明する。
任意のε>0に対してあるn_0があってn>n_0のとき|b_n-β|<ε.
これは特にε=|β|/2としても成り立つ（β≠0より|β|>0に注意）。
n>n_1のとき|b_n-β|<β|/2になるとすると
n>n_1のとき|β|/2>|b_n-β|≧|β|-|b_n|.
ゆえに|β|/2<|b_n|.
したがってn>max{n_0, n_1}のとき
|1/b_n-1/β|=|(β-b_n)/b_nβ|=|(β-b_n)|/|b_nβ|≦2|(β-b_n)|/|β|^2<2ε/|β|^2.
以上よりlim_[n→∞]1/b_n=1/β.
よってこれと(3)より(4)は証明された。

また単調数列については次の重要な定理があります。

定理

上に有界な単調増加数列は収束する。
下に有界な単調減少数列は収束する。
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