『解析概論』輪読

4：RSKTTM：2005/07/26(火) 23:05:39: 公理（Dedekindの公理）

実数の切断(A, B)について次のいずれか一方のみが成り立つ。

1. 下組Aに最大元max(A)が存在し、上組Bに最小限min(B)が存在しない.
2. 下組Aに最大元max(A)が存在せず、上組Bに最小限min(B)が存在する.

（本文中では定理 1.（Dedekindの定理））と書いてありますが、我々はこれを議論の出発点とするのでDedekindの公理と呼ぶことにします。また本文中の「実数の切断は、下組と上組の境界として、一つの数を確定する」という書き方はちょっとあいまいなので公理をこの形で述べることにします。）

これは直観的には数直線に途切れが無いことを意味しています。

3.　数の集合・上限・下限

定義（上界、下界、上に有界、下に有界）

Sを実数の集合とする。
(∀x∈S)(x≦M)なる実数Mが存在するときSは上に有界であるという。またこのようなMをSの一つの上界という。
(∀x∈S)(x≧M)なる実数Mが存在するときSは下に有界であるという。またこのようなMをSの一つの下界という。
Sが上に有界でかつ下に有界のときSは有界であるという。

ある数が上界ならばそれよりも大きい数はやはり上界です。下界についても同様です。

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