『解析概論』輪読

101：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/10(月) 23:01:41: 函数xは連続であるからある正数δ_1が存在して|h|<δ_1なるhに対して,
|x+h-x|<|x|/2.よって|x+h|>|x|/2.
任意の正数εに対して,ある正数δ_2が存在して|h|<δ_2なるhに対して,
|x+h-x|<ε|x|^2/2とできるので,
任意の正数εに対してδ_1,δ_2の大きくないほうをδとすると
|h|<δなるhに対して
|sin{1/(x+h)}-sin{1/x}|≦{|x+h-x|/|x||x+h|}<ε
とできる.よってsin{1/x}はx≠0で連続,命題>>90よりx≠0でf(x)も連続.
x>0なら|f(-x)-f(0)|=|f(x)-f(0)|≦xだからf(x)はx=0でも連続である.

例>>79の函数をf(x)とおけばf(x)は各点で不連続である.
その証明.　x∈(0,1]のとき,[(10^n)x]/10^n=x_nとおくと
数列{x_n}は{x_n}⊂(0,1]∩Qで,lim_{n→∞}x_n=xでlim_{n→∞}f(x_n)=0.
すべての自然数nに対してn√2/(n√2+1)は無理数であり,lim_{n→∞}(n√2/(n√2+1))=1.
よって(n√2/(n√2+1))x_n=y_nとおくと,数列{y_n}は{y_n}⊂(0,1]∩Q^cで,
命題>>90よりlim_{n→∞}y_n=xでlim_{n→∞}f(y_n)=1.
よって命題>>94と命題>>95により{lim_{t→x}}f(t)は存在しない.
x=0で不連続であることも同様に示される.実際lim_{n→∞}{1/n}=0で,
lim_{n→∞}f(1/n)=0だが,lim_{n→∞}{1/√{2}n}=0で,lim_{n→∞}f(1/√{2}n)=1.■

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