『解析概論』輪読

95：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/11(日) 05:45:51: 命題　任意の点Aに近づく点列{P_n}に対して数列{f(P_n)}が収束するなら,
これらの数列は皆同じ値に収束する.またこの極限値をlとおくと,lim{P→A}f(P)=l.

証明　lim{n→∞}P'_n=A,lim{n→∞}f(P_n)=l,lim{n→∞}f(P'_n)=l'であるとする.
点列{P''_n}をP''_{2n-1}=P_n,P''_{2n}=P'_nと定義するとlim{n→∞}P''_n=A.
したがって{f(P''_n)}は収束する.lim{n→∞}f(P''_n)=l''とおくと,
{f(P_n)}も{f(P'_n)}も{f(P''_n)}の部分列であるので,>>15の定理3よりl''=l=l'.
lim{P→A}f(P)=lでないとすると,ある正数εがあって,
任意の正数δに対してAP<δであるが|f(P)-l|≧εなるPが存在することになる.
したがって任意の自然数nに対してAQ_n<1/nであるが|f(Q_n)-l|≧εなるQ_nがとれる.
したがって選択公理によりAに近づく点列{Q_n}でlim{n→∞}f(Q_n)=lとならないものが
あることになる.不合理.■

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